近4年立体几何全国卷高考大题整理

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高考真题体验∙对方向
新题演练提能∙刷高分
(1)证明 由题设可得,△ABD≌△CBD,从而AD=DC.又△ACD是直角 三 角形,所以∠ADC=90°.
取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.
又由于△ABC是正三角形,故BO⊥AC. 所以 ∠ DOB 为 二 面 角 DACB 的 平 面 角 . 在 Rt△AOB 中,BO2+AO2=AB2,
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高考真题体验∙对方向
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新题演练提能∙刷高分
4.(2017全国Ⅲꞏ19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC; (2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相
等的两部分,求二面角DAEC的余弦值.
新题演练提能∙刷高分
4.(2015全国Ⅰꞏ18)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平 面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,
BE=2DF,AE⊥EC.
(1)证明:平面AEC⊥平面AFC; (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
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正弦值.
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高考真题体验∙对方向
新题演练提能∙刷高分
2.(2017全国Ⅰꞏ18)如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,且 ∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明 平面PAB⊥平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角APBC的余弦值. (1)证明 由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD. 又AB⊂平面PAB,
面 角 MABD 的余弦值.
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高考真题体验∙对方向
新题演练提能∙刷高分
(1)证明 取PA的中点F,连接EF,BF.
1
因为 E 是 PD 的中点,所以 EF∥AD,EF=2AD. 由∠BAD=∠ABC=90°得 BC∥AD,
1
又 BC=2AD,所以 EF BC,
四边形 BCEF 是平行四边形,CE∥BF, 又 BF⊂平面 PAB,CE⊄平面 PAB,故 CE∥平面 PAB.
所以|cos<n,ᵄCᵃ5>|= |ᵅ[ꞏᵄCᵃ5| = , 6
|ᵅ[|ꞏ|ᵄCᵃ
4
即直线
PB
与平面
5|
BDE
所成角的正弦值为
6
4.
空间位置关系证明与二面角求解
1.(2018全国Ⅲꞏ19)
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(1)证明:平面AMD⊥平面BMC; (2)当三棱锥MABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的
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高考真题体验∙对方向
新题演练提能∙刷高分
(2)解 设G为AB的中点,因为AD=AB,∠BAD=60°, 所以△ABD为等边三角形,故DG⊥AB; 因为AB∥CD,所以DG⊥DC.
又PD⊥平面ABCD,所以PD,DG,CD两两垂直.
以 D 为坐标原点,ᵃ7ᵃ:为 x 轴、ᵃ7ᵃ6为 y 轴、ᵃ7ᵄC为 z 轴建立空
所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)解 在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F.
由(1)可知,AB⊥平面 PAD,故 AB⊥PF,可得 PF⊥平面 ABCD.
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以 F 为坐标原点建立如 图所示的空间直角坐标系 Fxyz.
3.(2017 全国Ⅱꞏ19) -39-
(1)证明直线 CE∥平面 PAB; (2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°,求二
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高考真题体验∙对方向
新题演练提能∙刷高分
(1)证明 由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF, 所以BF⊥平面PEF.
又BF⊂平面ABFD, 所以平面PEF⊥平面ABFD.
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高考真题体验∙对方向
新题演练提能∙刷高分
2.(2018全国Ⅱꞏ20)
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高考真题体验∙对方向
新题演练提能∙刷高分
3.(2016全国Ⅲꞏ19)如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC, AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的 中点.
(1)证明MN∥平面PAB; (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
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高考真题体验∙对方向
系证明与线 卷 卷 卷 1卷8 卷19
19
18 20
面角求解
空间位置关
系证明与二 19 18 面角求解
18
18 19 19
19
折叠问题、
命题 点到平面的
19
角度 距离
3
探究性问题
命题
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高考真题体验∙对方向
新题演练提能∙刷高分
空间位置关系证明与线面角求解
1.(2018全国Ⅰꞏ18)
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
高考真题体验∙对方向
新题演练提能∙刷高分
(1)证明 设F为PD的中点,连接EF,FA.
因为 EF 为△PDC 的中位线,所以 EF∥CD,且 1 E又F=A2BC∥DC=D2.,AB=2,所以 AB EF,
故四边形 ABEF 为平行四边形,所以 BE∥AF. 又 AF⊂平面 PAD,BE⊄平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD.
高考真题体验∙对方向
新题演练提能∙刷高分
2.(2018辽宁抚顺一模)如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD, 底面ABCD为梯形,AB∥CD,∠BAD=60°,PD=AD=AB=2,CD=4,E为 PC的中点.
(1)证明:BE∥平面PAD; (2)求直线PB与平面BDE所成角的正弦值.
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间直 角坐标系 Dxyz,则
P(0,0,2),B(
3,1,0),E(0,2,1),ᵃ7ᵃ8=(0,2,1),ᵃ7ᵃ5=( 3,1,0),
设则nᵅ=ᵅ0[[ꞏ(,ꞏxᵃ,ᵃ7y7ᵃ,ᵃz58)为==平0,即面
BDE 的一个法向量, 3ᵆe +2ᵆᵆff += ᵆg = 0,
令 y=1,则 n= 3 ,31,20..又ᵄCᵃ5=( 3,1,2),
高考命题规律 1.每年必考考题,主要考查空间位置关系的证明和空间角的求解. 2.题,12分,中档难度. 3.有4种命题角度,分布如下表.
2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年
2019 年高考必备 Ⅰ
ⅡⅠⅡⅢⅠⅡⅢⅠ
命题 角度
1 命题 角度
2
ⅡⅢ 空间位置关 卷
Ⅱ卷Ⅰ卷 卷 卷 卷 卷 卷