伴随矩阵的性质及其应用

摘要：伴随矩阵在矩阵中占有重要地位，因此，总结伴随矩阵的性质及其相关应用对学习线性代数有很大帮助。

本文就是带着这个目的出发，首先总结一下伴随矩阵的性质，然后用例子的形式来说明伴随矩阵的相关应用。

关键词：伴随矩阵；逆矩阵；行列式
中图分类号：o151.2 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2015）36-0195-02
设n阶方阵a=
a的行列式a的各个元素的代数余子式a所构成的如下矩阵：a=称为矩阵a的伴随矩阵，简称伴随阵。

这个定义可以在文献[1]中找到。

由伴随矩阵的定义及转置矩阵的定义，很容易得到下面的性质：（a）=（a），其中，a表示矩阵a的转置矩阵。

由于矩阵ka的（i，j）元的代数余子式为：
（-1）=
ka，因此，（ka）=ka.
由伴随矩阵的定义及矩阵的乘法运算马上有下面的性质成立：aa=aa=ae （1）
其中e为n阶单位矩阵。

若n阶方阵a是非奇异的，即a≠0，此时矩阵a是可逆的。

由（1）得a=a=e
结合逆矩阵的定义，有a=，
即a=aa，其中a表示矩阵a的逆矩阵。

若n阶方阵a是非奇异的，此时矩阵a是可逆的，由（1）得a=a=e
由矩阵逆的定义知：（a）= （2）
同时对（1）两边同时取逆，根据逆矩阵的性质有：（a）a=
即有（a）= （3）
结合（2）、（3）得到伴随矩阵的如下性质：（a）=（a）
若对（1）两边同时取行列式，由行列式的相关性质可得：a
a=a
e=a （4）
对于（4）式，若a≠0，则有
a=a
若a=0，由（1）得，aa=o （5）
此时假设
a≠0，则矩阵a可逆，在等式（5）两边同时右乘（a）得a=o.
由伴随矩阵的定义得a=o，从而有
a≠0矛盾，于是有，若a=0必有
a=0.居于以上分析，我们很容易得到下面的性质：
a=a.
设矩阵a为一n阶方阵，现总结其伴随矩阵的性质如下：
（1）（a）=（a）；（2）（ka）=ka；（3） aa=aa=ae；（4）
a=a.
此外，若a还是可逆矩阵，则有如下性质成立：
（5）a=aa；（6）（a）=；
（7）（a）=（a）.
下面举例来说明伴随矩阵性质的应用。

例1：设a为4阶方阵，a=，求
3a
-4a。

解：由伴随矩阵的性质（5）得，3a+2a=3×aa-4a=-3a，从而有
3a
-4a=
-3a=
3a=3
例2：设a为4阶方阵，且a的伴随矩阵的行列式
a=8，求
a
+a。

解：由伴随矩阵的性质（4）得a=
a=8，从而有a=2；再结合性质（5）得：
a
+a=
+a=（）
a=.
例3：设a为n阶方阵，证明a+（a）是对称矩阵。

证明：由性质（1）得：（a+（a））=（a）+（（a））=（a）+（（a））=（a）+a=a+（a）.
从而，a+（a）为对称矩阵。

以上是伴随矩阵一些非常基本的性质，只有掌握这些最基本的性质，才能探讨其更深层次的性质。