Mathematica完美教程-从入门到精通
数学软件Mathematica
Take[list,k]
前 k 个分量
Take[list,-k]
最后 k 个分量
Take[list,{i}]
{list[[i]]}
Take[list,{i,j}]
{list[[i]],list[[i+1]], ..., list[j]}
list[[i;;j]]
同上
Take[list,{i,j,h}]
Degree
角度到弧度的转换系数，Pi/180
E
自然对数的底，2.71828...
EulerGamma
Euler 常数:
GoldenRatio
黄金分割数：
I
虚部单位
Infinity
无穷大
Pi
圆周率
整数，有理数，实数（任意精度和机器精度），复数
*
基本运算符
基本运算：
+ - * /
加减乘除
{list[[i]],list[[i+h]], ... }
list[[i;;j;;h]]
同上
*
列表修改
Drop[list,{k}]
删除第 k 个分量
Drop[list,k]
删除前 k 个分量
Drop[list,-k]
In[2]:= g[x_,y_]:=2*x+y (* 函数 *)
In[3]:= f[2,3] (* 结果是什么？ *)
*
字符串
字符串：用双引号括起来的字符序列
字符串相关函数
Characters[str]
转化为字符列表
StringJoin[s1,s2,...]
字符串合并
s1<>s2<>...
mathematica使用指南
mathematica使用指南Mathematica是一款功能强大的数学软件，具备广泛的应用领域，包括数学、统计学、物理学、工程学等等。
本文将为您提供一份Mathematica的使用指南，帮助您快速入门并提高使用效率。
1. Mathematica简介Mathematica是由Wolfram Research公司开发的一款通用计算软件，它具备数值计算、符号计算、图形绘制等多种功能。
Mathematica基于Wolfram Language语言，用户可以直接在其中编写代码进行计算和分析。
2. 安装与启动首先您需要从Wolfram Research公司官方网站下载Mathematica安装文件，并按照安装向导完成安装过程。
安装完成后，您可以在计算机上找到Mathematica的启动图标，点击即可启动该软件。
3. Mathematica界面介绍Mathematica的主界面由菜单栏、工具栏、输入区域和输出区域组成。
菜单栏提供了各种功能选项，工具栏包含常用工具按钮，输入区域用于输入代码，而输出区域用于显示计算结果。
4. 基本计算在输入区域中，您可以直接输入数学表达式进行计算。
例如，输入"2 + 3"，然后按下Enter键即可得到计算结果"5"。
Mathematica支持基本的算术运算、三角函数、指数函数等数学操作。
5. 变量与函数您可以使用Mathematica定义变量并进行计算。
例如，输入"x = 2"，然后再输入"y = x^2"，按下Enter键后，变量y会被赋值为2的平方，即4。
定义的变量可以在后续计算中使用。
6. 图形绘制Mathematica提供了丰富的图形绘制功能。
您可以使用Plot函数绘制函数曲线，使用ListPlot函数绘制离散数据点，还可以绘制3D图形等等。
通过调整参数和选项，您可以自定义图形的样式和外观。
mathematica教程第一章Mathematica基础知识
启动Mathematica后, 屏幕上出现称为Notebook 的Mathematica 系统集成界面:
Mathematica在用户区输入的内容被 Mathematica用一个具有 扩展名为 “.ma” 的文件名来纪录，该文件名是退出 Mathematica时保存在用户区输入内容的默认文件名，一般是 文件名：“Newnb-1.ma” 。
看磁盘中的安装文件Setup; 用鼠标双击安装文件Setup, 屏幕上出现一些选择对话框; 用鼠标点击所有选择对话框的OK按钮或键入字母y, 则系统就
在你的计算机上安装了Mathematica数学软件。 Mathematica 的安装成功后, 系统会在Windows【开始】菜
单的【程序】子菜单中加入启动Mathematica命令的图标, 用 鼠标单击它就可以启动Mathematica系统,见下图：
为精确数参与计算和公式推导。
1.2.2Mathematica数的运算符
数的运算有：加、减、乘、除和乘方,它们在Mathematica 中的符号为：加（＋）、减（－）、乘（*）、除（/）和 乘方（^） 。 不同类型的数参与运算，其结果的类型为：
如果运算数有复数，则计算结果为复数类型; 如果运算数没有复数，但有实数，则计算结果为实数类型
f(imin, jmin +m)}, {f(imin+1, jmin) ，f(imin+1, jmin +1), f(imin+1, jmin +2), ……, f(imin+1 , jmin +m)}, …… {f(imin+n, jmin) ，f(imin+n, jmin +1)，f(imin+n, jmin +2), ……，f(imin +n, jmin +m)} 其中： imax – 1 imin + n imax , jmax – 1 jmin +m jmax
Mathematica入门(一)
NUDT
Mathematica入门 入门
表的操作 Join[ t1 , t2] Union[ t1 , t2] 将表 t1 和表 t２连接成一个表 将表 t1 和表 t２ 的并集组成一个表
某些特殊属性表的建立 Table[ f , {i,imin , imax , stepi} , { j , jmin , jmax , stepj}]
t1 = 1, 2, 4 t2 = 1, 3, Sin x , Cos x
8 8@ @ <D D 8 <
表元素的操作 t[[n]] 表示表 t 的第 n 个元素（同Part[t , n]的意义 个元素（ 的意义) 的意义 t[[i , j]] 表示表 t 中第 i 个子表的第 j 个元素 Length[ t ] 表示表 t 的元素个数
p = x + 2 x y+ y p . x® 1
2
p = x2 + 2 x y + y2 p . x ® 1, y ® 2
8 <
NUDT
Mathematica入门 入门
（５）表 表是存贮多个数、变量或算式等对象的一种数据结构， 表是存贮多个数、变量或算式等对象的一种数据结构，一 个表用一对花括号表示，其成员（元素） 个表用一对花括号表示，其成员（元素）在括号内用逗号 隔开，同一个表的成员可以是不同的数据类型， 隔开，同一个表的成员可以是不同的数据类型，表的成员 还可以是一个表（子表）。 还可以是一个表（子表）。
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Mathematica入门 入门
mathematica简明使用教程
mathematica简明使用教程Mathematica是一种强大的数学软件，广泛应用于科学研究、工程计算和数据分析等领域。
本文将简要介绍Mathematica的使用方法，帮助读者快速上手。
一、安装和启动Mathematica我们需要下载并安装Mathematica软件。
在安装完成后，可以通过桌面图标或开始菜单中的快捷方式来启动Mathematica。
二、界面介绍Mathematica的界面分为菜单栏、工具栏、输入区域和输出区域四部分。
菜单栏提供了各种功能选项，工具栏包含了常用的工具按钮，输入区域用于输入代码或表达式，而输出区域则显示执行结果。
三、基本操作1. 输入和输出在输入区域输入代码或表达式后，按下Shift+Enter键即可执行，并在输出区域显示结果。
Mathematica会自动对输入进行求解或计算，并返回相应的输出结果。
2. 变量定义可以使用等号“=”来定义变量。
例如，输入“a = 3”，然后执行，就会将3赋值给变量a。
定义的变量可以在后续的计算中使用。
3. 函数调用Mathematica内置了许多常用的数学函数，可以直接调用使用。
例如，输入“Sin[π/2]”，然后执行，就会返回正弦函数在π/2处的值。
4. 注释和注解在代码中添加注释可以提高代码的可读性。
在Mathematica中，可以使用“(*注释内容*)”的格式来添加注释。
四、数学运算Mathematica支持各种数学运算，包括基本的加减乘除，以及更复杂的求导、积分、矩阵运算等。
下面简要介绍几个常用的数学运算：1. 求导可以使用D函数来求导。
例如，输入“D[Sin[x], x]”，然后执行，就会返回正弦函数的导数。
2. 积分可以使用Integrate函数来进行积分运算。
例如，输入“Integrate[x^2, x]”，然后执行，就会返回x的平方的不定积分。
3. 矩阵运算Mathematica提供了丰富的矩阵运算函数，可以进行矩阵的加减乘除、转置、求逆等操作。
Mathematica完美教程-从入门到精通
N[x] N[x,n] Rationalize[x] Rationalize[x,dx]
将x转换成实数
将x转换成近似实数， 精度为n 给出x的有理数近似值
给出x的有理数近似值, 误差小于dx
[举例] ln[1]=N[5/3,20] Out[1]=1.66666666666666666667 ln[2]:=N[%,10] Out[2]=1.66666667
• 2．特殊字符的输入
MathemMatica 还提供了用以输入各种特殊符号的 工具样。基本输入 工具样包含了常用的特殊字符 （上图），只要单击这些字符按钮即可输入。 若要输入其它的 特殊字符或运算符
号，必须使用从FILE 菜单中选取Complete Characters工具栏, 如图：
1.2 Mathematica的联机帮助系统
如果已经确知Mathematica 中有具有某个功能的函数，但不 知具体函数名，可以点击Built-in Functions按钮，再按功能 分类从粗到细一步一步找到具体的函数，例如，要找画一元 函数图形的函数，点击 Built-in Functions ->Graphics and Sound->2D Plots->Plot，找到Plot的帮助信息。
在Mathematica的Notebook界面下，可以用这种 交互方式完成各种运算，如函数作图，求极限、 解方程等，也可以用它编写像C那样的结构化程序。
在Mathematica系统中定义了许多功能强大的函数， 我们称之为内建函数（built-in function）, 直接调 用这些函数可以取到事半功倍的效果。这些函数 分为两类： (1) 一类是数学意义上的函数，如：绝对值函数 Abs[x]，正弦函数Sin[x]，余弦函数Cos[x]，以e为 底的对数函数Log[x]，以a为底的对数函数Log[a,x] 等； (2) 第二类是命令意义上的函数，如作函数图形的 函数Plot[f[x],{x,xmin,xmax}]，解方程函数 Solve[eqn,x]，求导函数D[f[x],x]等。
（整理）Mathematica入门教程.
（整理）Mathematica入门教程.Mathematica入门教程Mathematica的基本语法特征如果你是第一次使用Mathematica，那么以下几点请你一定牢牢记住：Mathematica中大写小写是有区别的，如Name、name、NAME等是不同的变量名或函数名。
系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出，内部函数一般写全称，而且一定是以大写英文字母开头，如Sin[x],Conjugate[z]等。
乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 3＝2*3＝6 ,x y,2 Sin[x]等；乘幂可以用“^”表示，如x^0.5,T an[x]^y。
自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头。
当你赋予变量任何一个值，除非你明显地改变该值或使用Clear[变量名]或“变量名=.”取消该值为止，它将始终保持原值不变。
一定要注意四种括号的用法：()圆括号表示项的结合顺序，如(x+(y^x+1/(2x)));[]方括号表示函数，如Log[x],BesselJ[x,1]；{}大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合)，如{2x,Sin[12Pi],{1+A,y*x}}；[[]]双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如a[[2,3]]、{1,2,3}[[1]]=1。
Mathematica的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔）。
当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外），否则将输出计算的结果。
一.数的表示及计算1.在Mathematica中你不必考虑数的精确度，因为除非你指定输出精度，Mathematica总会以绝对精确的形式输出结果。
例如：你输入In[1]:=378/123，系统会输出Out[1]:=126/41，如果想得到近似解，则应输入In[2]:=N[378/123,5],即求其5位有效数字的数值解，系统会输出Out[2]:=3.0732，另外Mathematica还可以根据你前面使用的数字的精度自动地设定精度。
《Mathematica教程》课件
界面友好，易于学习和使用。
开放性
允许用户自定义函数和扩展功能，满足个性 化需求。
• 跨平台支持
可在Windows、Mac和Linux等操作系统上 运行。
02
CHAPTER
Mathematica基础操作
界面与布局
界面介绍
详细描述Mathematica的界面构成，包 括菜单栏、工具栏、命令输入窗口等。
工程计算案例
有限元分析
利用Mathematica进行有限元分析，包括网格划分、边界条件设 置、求解和后处理等步骤。
流体动力学模拟
通过Mathematica模拟流体动力学问题，如流体流动、传热等。
控制系统分析
介绍如何使用Mathematica进行控制系统分析，包括稳定性分析 、根轨迹图绘制等。
THANKS
01
符号代数
符号矩阵
02
03
符号积分
使用Mathematica进行符号代数 运算，如代数方程求解、化简、 积分和微分等。
进行符号矩阵的运算，如矩阵的 逆、行列式、特征值和特征向量 等。
使用Mathematica进行符号积分 运算，如不定积分和定积分的计 算。
数据可视化
散点图
创建散点图，用于展示两个变量之间的 关系。
02
03
脚本编写
使用C/C编写脚本，可以自动化 Mathematica的某些任务，提高工作 效率。
06
CHAPTER
Mathematica案例分析与实 践
数学建模案例
线性回归模型
Hale Waihona Puke 01通过Mathematica实现线性回归模型的建立，包括数据准备、
模型拟合、预测和评估等步骤。
Mathematica数学软件操作技巧及界面详解
Mathematica数学软件操作技巧及界面详解Mathematica是一款十分强大的数学计算软件，它可以广泛应用于科学、工程和教育等领域。
本文将介绍一些Mathematica的操作技巧，并详细解析其界面设计。
一、Mathematica的基本操作技巧1. 输入和计算Mathematica的主界面提供了一个输入框，我们可以在其中输入各种数学表达式和计算公式。
输入时需要遵循一定的语法规则，比如使用^表示乘方，使用*表示乘法，使用/表示除法等。
在输入完毕后，按下Enter键即可进行计算。
2. 变量定义和赋值在Mathematica中，我们可以使用等号（=）来定义和赋值变量。
比如，我们可以输入"radius = 5"来定义一个名为radius的变量，并将其赋值为5。
之后，我们可以直接使用radius来进行计算。
3. 函数调用Mathematica内置了许多数学函数，比如sin、cos、log等。
我们可以使用这些函数来进行各种数学运算。
调用函数时需要在函数名后加上待计算的参数，比如"sin(0.5)"可以计算出0.5的正弦值。
二、Mathematica的界面详解1. 顶部菜单栏Mathematica的顶部菜单栏包含了许多功能按钮，我们可以通过点击这些按钮来执行相应的操作，比如打开文件、保存文件、进行图像绘制等。
2. 工具栏在Mathematica的工具栏上，我们可以找到常用的绘图工具、格式调整工具和计算选项卡等。
这些工具可以帮助我们更加方便地进行数学计算和图形绘制。
3. 文档窗口Mathematica的文档窗口是我们进行数学计算和编写代码的主要区域。
我们可以在文档窗口中输入数学表达式、编写代码，并且可以将计算结果直接显示在文档窗口中。
4. 侧边栏在Mathematica的侧边栏上，我们可以找到各种各样的面板和选项卡。
这些面板和选项卡提供了对Mathematica的进一步设置和功能扩展，比如图形面板、数据面板和设置面板等。
《Mathematica》使用手册
《Mathematica》使用手册Mathematica使用手册=========================第一章：介绍Mathematica-------------------------------------1.1 Mathematica的概述Mathematica是一种强大的数学计算和数据处理软件，广泛应用于科学、工程、计算机科学等领域。
1.2 安装和启动本节介绍如何安装Mathematica软件并启动它。
1.3 界面和基本操作介绍Mathematica的界面和基本操作，包括工具栏、菜单、笔记本等。
第二章：基本语法和数据类型-------------------------------------2.1 表达式和运算符讲解Mathematica的表达式和运算符，包括数值运算、符号运算、逻辑运算等。
2.2 变量和函数介绍Mathematica中的变量和函数的定义和使用方法。
2.3 数据类型讲解Mathematica中的基本数据类型，包括数值类型、字符串类型、列表类型等。
第三章：图形绘制-------------------------------------3.1 绘制函数图像介绍使用Mathematica绘制函数图像的方法和技巧。
3.2 绘制二维图形讲解Mathematica中绘制二维图形的常用函数和参数设置。
3.3 绘制三维图形介绍Mathematica中绘制三维图形的方法，包括绘制曲面、绘制立体图形等。
第四章：方程求解和数值计算4.1 方程求解讲解Mathematica中方程求解的方法和技巧。
4.2 数值计算介绍Mathematica中数值计算的函数和用法。
4.3 微分方程求解讲解Mathematica中求解微分方程的方法和技巧。
第五章：数据分析和统计-------------------------------------5.1 数据导入和导出介绍Mathematica中的数据导入和导出方法。
mathematica使用指南
Mathematica使用指南1.简介M a th em at ic a是一种功能强大的数学软件，它提供了广泛的数学计算和数据分析功能。
本文档将介绍M at he ma t ic a的基础知识和使用方法，帮助初学者快速上手。
2.安装与配置2.1下载与安装在官方网站上下载Ma t he ma ti ca的安装包，并按照提示完成安装过程。
2.2授权与激活通过输入许可证密钥进行授权和激活，确保软件的正常运行。
3.基本功能3.1符号计算M a th em at ic a可以进行符号计算，包括基本的代数运算、微积分、线性代数等。
使用各种符号和函数进行数学表达式的简化和求解。
3.2图形与可视化M a th em at ic a提供了强大的图形和可视化功能，可以绘制各种二维和三维图形，包括函数图像、曲线、散点图等。
还可以添加标签、注释、图例等增强图形的可读性。
3.3数据分析与统计M a th em at ic a支持数据分析和统计操作，可以导入和处理各种数据格式，并进行数据可视化、分布拟合、假设检验等统计分析。
3.4编程与脚本M a th em at ic a具有强大的编程功能，支持多种编程范式，包括函数式编程、面向对象编程等。
用户可以编写自定义函数和脚本，实现复杂的算法和任务。
4.实例演示为了更好地理解M ath e ma ti ca的使用，本节将介绍几个常见的实例演示，展示其在数学、物理、工程等领域的应用。
4.1解方程使用Ma th em at ic a求解方程是其常见的使用方式之一。
通过给定方程和初始条件，演示如何使用M at he ma ti ca快速求解方程并绘制解的图像。
4.2数据分析以一个实际的数据分析问题为例，展示如何使用M at he ma ti ca导入数据、进行数据清洗和预处理，并通过统计分析和可视化揭示数据的规律。
4.3拟合曲线通过生成一些带有噪声的数据点，并使用M at he ma ti c a进行曲线拟合，展示如何选择合适的拟合模型，并评估拟合的效果。
Mathematica使用教程(进阶)
Mathematica教程进阶篇一．Mathematica中的表（★好好看，很重要★）。
（1.以下用小麦表示mathematica。
2.下面提到的任何一个函数都需要你实际操作一次。
）◆1.1什么是表，以及表的结构。
在小麦里，形如“{{ }，{ } }”的结构表示“表”（Table）。
表是一些表达式聚集成的一个整体。
这些表达式称为这个表的元素。
例如2是表{2，x，y}的一个元素，这个表一共有三个元素。
表的元素是有序的，依次分别被叫做表的第一个元素，第二个元素……。
前面这个表的第二个元素是x。
由于表的元素还可以是表（表的内部可以嵌套子表，比如：a={{1,2,3}，{4,5,6}，{7,8,9}}，其中{1,2,3}是表a的元素，但其本身仍然是一个表，表的结构可以很复杂，感兴趣的可以自己尝试构造一些复杂的表），人们也把上面所说的表元素称为表的第一层元素。
作为一种特殊情况，一个表可以没有元素，这样的元素成为“空表”，空表只有一个，就是{}。
（空表有其特殊的作用，比如建立一个空表来盛放符合条件的数据）。
◆1.2理解表的作用。
表可以作为表示结构，小麦系统本身就这样使用了表，比如它表示平面或者空间点的坐标。
另外表在系统内部还被用于表示向量、矩阵和集合。
;比如：b i a o1={{1,2},{3,4},{4,☆表示四个坐标：（1,2）、（3,4）、（4,5）、（6,7）。
尝试用ListPlot[ ]函数绘制这四个点坐标：输入：ListPlot[biao1]就可以得到散点图。
☆表示矩阵：biao1看做矩阵的话，就是一个4行2列的矩阵。
尝试用MatrixForm[ ]函数将biao1用矩阵的形式输出。
（可以等价使用biao1//MatrixForm）。
☆表示向量：一层的表用于表示向量，这个是非常直截了当的。
例如{1,2,3}表示空间向量（1,2,3）。
◆1.3如何生成表。
诚然通过键盘一个一个输入可以构造出需要的表，但是在数据量很大的时候工作量就很大你懂得，挨个输入就显得鸡肋了。
Mathematica简易教程
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使用条件运算符，基本格式为：f[x_]:=expr/;condition，当condition条件满足 时才把expr赋给f(x)。
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当然，使用If命令也可以定义上面的函数，If语句的格式为If[条件，值1，值 2]，如果条件成立取“值1”，否则取“值2”，用If语句定义如下：
mathematicapage目录第一章mathematica简介第二章mathematica的基本量第三章mathematica的基本运算第四章函数作图第五章微积分的基本操作page第一章mathematica简介mathematica由美国物理学家stephenwolfram领导开发的他们组建wolfram研究公司mathematica是一个计算机代数系统把符号运算数值计算与图形显示集一体可以完成上述三项功能更重要的是它把这些功能融合在一个系统里使它们成为一个整体
3.2.4 解条件方程
在作方程计算时，可以把一个方程看做你要处理的主要方程，而把其 他方程作为必须满足的辅助条件，你就会发现这样处理很方便。 在Mathematica中，我们通常是首先命名辅助条件组，然后用名字把辅 助条件包含在你要用函数Solve[]求解的方程组中。
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3.3 求和与求积
Mathematica简介与入门
目录
第一章 Mathematica简介 第二章 Mathematica的基本量
第三章 Mathematica的基本运算
第四章 函数作图 第五章 微积分的基本操作
Page 2
第一章 Mathematica简介
Mathematica由美国物理学家Stephen Wolfram领导开发的，他们组建Wolfram 研究公司 Mathematica是一个计算机代数系统，把 符号运算、数值计算与图形显示集一体， 可以完成上述三项功能，更重要的是它把 这些功能融合在一个系统里，使它们成为 一个整体．此外，Mathematica还是一个 易于扩充的系统，即实际上提供了功能强 大的程序设计语言，可以定义用户需要的 各种函数，完成用户需要的各种工作，系 统本身还提供了一大批用这个语言写出的 专门程序或软件包 Mathematica的发布标志着现代科技计算 的开始。Mathematica是世界上通用计算 系统中最强大的系统。自从1988发布以来， 它已经对如何在科技和其它领域运用计算 机产生了深刻的影响
mathematic教程
Mathematica教程第1章Mathematica概述1.1 运行和启动：介绍如何启动Mathematica软件，如何输入并运行命令1.2 表达式的输入：介绍如何使用表达式1.3 帮助的使用：如何在mathematica中寻求帮助第2章Mathematica的基本量2.1 数据类型和常量：mathematica中的数据类型和基本常量2.2 变量：变量的定义，变量的替换，变量的清除等2.3 函数：函数的概念，系统函数，自定义函数的方法2.4 表：表的创建，表元素的操作，表的应用2.5 表达式：表达式的操作2.6 常用符号：经常使用的一些符号的意义第3章Mathematica的基本运算3.1 多项式运算：多项的四则运算，多项式的化简等3.2 方程求解：求解一般方程，条件方程，方程数值解以及方程组的求解3.3 求积求和：求积与求和第4章函数作图4.1 二维函数作图：一般函数的作图，参数方程的绘图4.2 二维图形元素：点，线等图形元素的使用4.3 图形样式：图形的样式，对图形进行设置4.4 图形的重绘和组合：重新显示所绘图形，将多个图形组合在一起4.5 三维图形的绘制：三维图形的绘制，三维参数方程的图形，三维图形的设置第5章微积分的基本操作5.1 函数的极限：如何求函数的极限5.2 导数与微分：如何求函数的导数，微分5.3 定积分与不定积分：如何求函数的不定积分和定积分，以及数值积分5.4 多变量函数的微分：如何求多元函数的偏导数，微分5.5 多变量函数的积分：如何计算重积分5.6 无穷级数：无穷级数的计算，敛散性的判断第6章微分方程的求解6.1 微分方程的解：微分方程的求解6.2 微分方程的数值解：如何求微分方程的数值解第7章Mathematica程序设计7.1 模块：模块的概念和定义方法7.2 条件结构：条件结构的使用和定义方法7.3 循环结构：循环结构的使用7.4 流程控制第8章Mathematica中的常用函数8.1 运算符和一些特殊符号：常用的和不常用一些运算符号8.2 系统常数：系统定义的一些常量及其意义8.3 代数运算：表达式相关的一些运算函数8.4 解方程：和方程求解有关的一些操作8.5 微积分相关函数：关于求导，积分，泰勒展开等相关的函数8.6 多项式函数：多项式的相关函数8.7 随机函数：能产生随机数的函数函数8.8 数值函数：和数值处理相关的函数，包括一些常用的数值算法8.9 表相关函数：创建表，表元素的操作，表的操作函数8.10 绘图函数：二维绘图，三维绘图，绘图设置，密度图，图元，着色，图形显示等函数8.11 流程控制函数第1章Mathematica概述1.1 Mathematica的启动和运行Mathematica是美国Wolfram研究公司生产的一种数学分析型的软件，以符号计算见长，也具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能。
Mathematica软件使用入门
Mathematica软件使用入门目录第一章基本知识与基本操作 (3)1.1 Mathematica的基本语法特征 (3)1.2 Mathematica的启动、基本操作 (4)1.3 操作小技巧 (7)1.4 数值计算 (8)1.5 赋值与替换 (9)1.6 自定义函数 (10)1.7 方程与方程组解 (11)1.8 解不等式与不等式组 (12)1.9 由递推式求数列的通项公式 (13)1.10 作函数图像 (14)第二章运用Mathematica实现高等数学中的基本运算 (16)2.1 求极限运算 (16)2.2 求导数与微分 (18)2.3 求不定积分 (25)2.4 求定积分 (25)第三章实验练习题 (28)Mathematica是当今世界上最为流行的计算机代数系统之一．Mathematica系统是美国物理学家Stephen.Wolfram领导的一个小组开发的,后来他们成立了Wolfram研究公司．1987年推出了系统的1.0版；现在的最新版本是8.0版．Mathematica可以做：●符号计算和数值计算问题,如：能做多项式的计算、因式分解和展开等；●做各种有理式计算，求多项式、有理式方程和超越方程的精确解和近似解；●做向量、矩阵的各种计算；●求极限、导数、积分，做幂级数展开，求解某些微分方程等；●做任意位数的整数或分子分母为任意大整数的有理数的精确计算，做具有任意位精度的数值（实、复数值）的计算．●可以很方便地画出用各种方式表示的一元和二元函数的图形,通过图形,可以立即形象地掌握函数的某些特性，而这些特性一般是很难从函数的符号表达式中看清楚．第一章 基本知识与基本操作1.1 Mathematica 的基本语法特征使用Mathematica ，一定要牢牢记住：● Mathematica 中大写小写是有区别的，如Name 、name 、NAME 等是不同的变量名或函数名；● 系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出， 内部函数一般写全称， 而且一定是以大写英文字母开头， 如Sin[x], Cos[z]等；● 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 3＝2*3＝6 , 2 Sin[x]＝2* Sin[x] ● 乘幂可以用“^”表示，如x^0.5 表示： Tan[x]^y 表示： ● 自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头． ● 当你赋予变量任何一个值，除非你：明显地改变该值或 使用Clear[变量名] 或 使用“变量名=.”取消该值，否则它将始终保持原值不变．● 一定要注意四种括号的用法：0.5x yTan[x]( )：表示项的结合顺序，如： (x+(y^x+1/(2x)))；[ ]：表示函数，如：Log[x], Sin[x]；{ }：表示一个“表”(即是一组数字、或任意表达式、或函数等的一个有序集合)，如：{2x,Sin[12 Pi]，A，1}, {1+A,y*x，1，2}；[[ ]]：双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如：a； {3,5,7}[[2]]=5．a[[2,3]]表示：23●Mathematica的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔）．●当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外），否则将输出计算的结果．●Mathematica命令中的标点符号必须是英文的．1.2 Mathematica的启动、基本操作1.2.1 启动“Mathematica”：在windows操作系统中安装了Mathematica后，与其他的常用软件一样，可从“开始”→“程序”→“Mathematica5” Mathematica的主窗口并出现第一个notebook窗口（Untitled-1）:1.2.2 简单使用：例1.1 计算＋33的值①在“Ｕntitled－１”窗口中输入：329/412+3^3②按下“Shift＋Enter”（或数字键盘上的Enter键）,就得到计算结果：其中“In[1]:=”是Mathematica自动加上的，表示第一个输入；“Out[1]:=”表示第一个输出．一般地：In[n]:= 表示第n个输入Out[n]:=表示第n个输出．注意：“In[n]:=”自动加上的，不能人工输入!1.2.3 保存结果：保存方法同一般的Windows软件：“文件”→“保存”⇒“另存为”窗口→在“查找范围”内找到目标文件夹→输入文件名（比如输入“1”）→“”．Mathematica 4或Mathematica 5的文件的后缀是“nb”，当输入“1”时，即产生文件“1.nb”．1.2.4打开文件1.nb启动Mathematica →“文件”→“打开”⇒打开”窗口：→在“查找范围”内找到文件“1.nb”→“”即可．1.2.5 退出Mathematica：与一般应用软件一样，单击右上方的“”按钮（或用菜单：“文件”→“退出”）．1.3 操作小技巧1.3.1Ctrl+K的用途如果只知道命令的首写字母，可在输入该首写字母（要大写），再按下“Ctrl+K”组合键，则所有以该字母为首的命令都列出来，只要用鼠标双1.3.2使用前面已有的结果举例如下：例1.2 做如下操作：①输入：Integrate[x^2*(11-Sin[x]),{x,-1,1}]按：“Shift＋Enter”；②输入：%＋１，按：“Shift＋Enter”；③输入：%＋１，按：“Shift＋Enter”；④输入：%1＋1，按：“Shift＋Enter”；⑤输入：%3＋1，按：“Shift＋Enter”，计算结果如下：可见，“％”表示前一个计算结果；“％n ”表示第n 个计算结果. 1.3.3 删除行：见下图示1.4 数值计算请看下例：1.5 赋值与替换X=. 或Clear[x] 清除赋给x 的值expr/.{x->xval,y->yval} 用xval 、yval 分别替换expr 中的x 、y ． 例1.3 输入：x=3；y=4；w=x+y 输入：Clear[x,y]； 计算输入：z=(x+y)^2 计算输入：z/.x->5 计算输入：Clear[x,y]； 计算输入：u=x+y 计算输入：u/.{x->5,y->6} 计算 计算结果如下：1.6 自定义函数用户可以自行定义函数，一个函数一旦被定义好之后就可以象系的内部函数一样使用．例1.4 如要定义函数f(x)=x 2＋3x-2只要键入：即可．又如要定义分段函数2+1 < 0()= 2sin 0x x g x x x ⎧⎨≥⎩可键入：g[x_]:= Which[x<0,x^2+1,x>=0,2Sin[x]]或g[x_]:=If[x<0,x^2+1,2Sin[x]]请见以下计算结果：1.7 方程与方程组解例1.5 ① 解方程:0652=+-x x输入：Solve[x^2-5x+6==0,x]即可．② 解方程组 输入：即可（结果见下图）．22131x y x y +=⎧⎨-=⎩1.8例1.6 ① ⎪⎩⎪⎨⎧>---01222x x x 输入即可．② 解不等式)3(12>--x x 输入：即可（结果见下图）注： Mathematica系统有内部函数.还有一些系统扩展的功能但不是作为内部函数的、以文件的形式存储在磁盘上的文件，要使用它们，必须用一定的方式来调用这些文件，这些文件我们称之为程序包. 调用方式之一如上所述：或用：Needs["Algebra`InequalitySolve`"] 1.9 由递推式求数列的通项公式例1.7 设求数列的通项公式只要输入：11,1,n na na a-==1.10 作函数图像例1.8在同一坐标系中作出2-1y x 和y=sinx在[－2,2]内的图像．输入： Plot[{x^2-1,Sin[x]},{x,-2,2}] 结果见下图例1.9作出sinxcosy的三维图形输入：Plot3D[Sin[x]*Cos[y],{x,－2Pi,2Pi},{y,－即可（结果见下图）第二章 运用Mathematica 实现高等数学中的基本运算极限、导数和积分是高等数学中的主要概念和基本运算，如果你在科研中遇到较复杂的求极限、求导数或求积分问题，Mathematica 可以帮你快速解决这些问题。
Mathematica使用教程
Mathematica使⽤教程Mathematica 使⽤教程⼀、要点Mathematica 是⼀个敏感的软件. 所有的Mathematica 函数都以⼤写字母开头; 圆括号( ),花括号{ },⽅括号[ ]都有特殊⽤途, 应特别注意; 句号“.”,分号“;”,逗号“,”感叹号“！”等都有特殊⽤途, 应特别注意; ⽤主键盘区的组合键Shfit+Enter 或数字键盘中的Enter键执⾏命令.⼆、介绍案例1. 输⼊与输出例1 计算 1+1:在打开的命令窗⼝中输⼊1+2+3并按组合键Shfit+Enter 执⾏上述命令,则屏幕上将显⽰:In[1] : =1+2+3 Out[1] =6这⾥In[1] : = 表⽰第⼀个输⼊,Out[1]= 表⽰第⼀个输出,即计算结果.2. 数学常数Pi 表⽰圆周率π; E 表⽰⽆理数e; I 表⽰虚数单位i ; Degree 表⽰π/180; Infinity 表⽰⽆穷⼤.注:Pi,Degree,Infinity 的第⼀个字母必须⼤写,其后⾯的字母必须⼩写.3. 算术运算Mathematica 中⽤“+”、“-”、“*”、“/” 和“^”分别表⽰算术运算中的加、减、乘、除和乘⽅.例2 计算π+ --213121494891100.输⼊ 100^(1/4)*(1/9)^(-1/2)+8^(-1/3)*(4/9)^(1/2)*Pi则输出 3103π+这是准确值. 如果要求近似值,再输⼊N[%] 则输出这⾥%表⽰上⼀次输出的结果,命令N[%]表⽰对上⼀次的结果取近似值. 还⽤ %% 表⽰上上次输出的结果,⽤ %6表⽰Out[6]的输出结果.注:关于乘号*,Mathematica 常⽤空格来代替. 例如,x y z 则表⽰x*y*z,⽽xyz 表⽰字符串,Mathematica 将它理解为⼀个变量名. 常数与字符之间的乘号或空格可以省略.4. 代数运算例3 分解因式 232++x x输⼊ Factor[x^2+3x+2] 输出 )x 2)(x 1(++ 例4 展开因式 )2)(1(x x ++输⼊ Expand[(1+x)(2+x)] 输出 2x x 32++例5 通分 3122+++x x 输⼊ Together[1/(x+3)+2/(x+2)]输出 )x 3)(x 2(x38+++例6 将表达式)3)(2(38x x x+++ 展开成部分分式输⼊ Apart[(8+3x)/((2+x)(3+x))]输出 3x 12x 2+++ 例7 化简表达式 )3)(1()2)(1(x x x x +++++输⼊ Simplify[(1+x)(2+x)+(1+x)(3+x)]输出 2x 2x 75++三、部分函数1. 内部函数Mathematica 系统内部定义了许多函数,并且常⽤英⽂全名作为函数名,所有函数名的第⼀个字母都必须⼤写,后⾯的字母必须⼩写. 当函数名是由两个单词组成时,每个单词的第⼀个字母都必须⼤写,其余的字母必须⼩写. Mathematica 函数(命令)的基本格式为函数名[表达式,选项] 下⾯列举了⼀些常⽤函数:算术平⽅根x Sqrt[x] 指数函数x e Exp[x]对数函数x a log Log[a,x]对数函数x ln Log[x]三⾓函数 Sin[x], Cos[x], Tan[x], Cot[x], Sec[x], Csc[x] 反三⾓函数ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x], ArcCot[x], AsrcSec[x], ArcCsc[x]双曲函数 Sinh[x], Cosh[x], Tanh[x], 反双曲函数 ArcSinh[x], ArcCosh[x], ArcTanh[x] 四舍五⼊函数 Round[x] (*取最接近x 的整数*) 取整函数 Floor[x] (*取不超过x 的最⼤整数*) 取模 Mod[m,n] (*求m/n 的模*) 取绝对值函数 Abs[x] n 的阶乘 n! 符号函数Sign[x] 取近似值 N[x,n] (*取x 的有n 位有效数字的近似值,当n 缺省时,n 的默认值为6*)例8 求π的有6位和20位有效数字的近似值.输⼊ N[Pi] 输出输⼊ N[Pi, 20] 输出注:第⼀个输⼊语句也常⽤另⼀种形式:输⼊ Pi235] 输出 (3) 输⼊ Round[] 输出 -2 例10 计算表达式)6.0arctan(226sin 2ln 1132+-+-e π的值输⼊ 1/(1+Log[2])*Sin[Pi/6]-Exp[-2]/(2+2^(2/3))*ArcTan[.6] 输出2. ⾃定义函数在Mathematica 系统内,由字母开头的字母数字串都可⽤作变量名,但要注意其中不能包含空格或标点符号.变量的赋值有两种⽅式. ⽴即赋值运算符是“=”,延迟赋值运算符是“: =”. 定义函数使⽤的符号是延迟赋值运算符“: =”.例11 定义函数 12)(23++=x x x f ,并计算)2(f ,)4(f ,)6(f . 输⼊Clear[f,x]; (*清除对变量f 原先的赋值*) f[x_]:=x^3+2*x^2+1; (*定义函数的表达式*) f[2] (*求)2(f 的值*)f[x]/.{x->4} (*求)4(f 的值,另⼀种⽅法*)x=6; (*给变量x ⽴即赋值6*)f[x] (*求)6(f 的值,⼜⼀种⽅法*)输出17 97 289注:本例1、2、5⾏的结尾有“;”,它表⽰这些语句的输出结果不在屏幕上显⽰.四、解⽅程在Mathematica 系统内,⽅程中的等号⽤符号“==”表⽰. 最基本的求解⽅程的命令为 Solve[eqns, vars]它表⽰对系数按常规约定求出⽅程(组)的全部解,其中eqns 表⽰⽅程(组),vars 表⽰所求未知变量. 例12 解⽅程0232=++x x 输⼊Solve[x^2+3x+2==0, x] 输出 }}1x {},2x {{-→-→例13 解⽅程组 =+=+1dy cx by ax输⼊ Solve[{a x + b y == 0,c x + d y ==1}, {x,y}]输出+-→-→ad bc a y ,ad bc b x例14 解⽆理⽅程a x x =++-11输⼊ Solve[Sqrt[x-1]+ Sqrt[x+1] == a, x]输出 ??+→24a 4a 4x 很多⽅程是根本不能求出准确解的,此时应转⽽求其近似解. 求⽅程的近似解的⽅法有两种,⼀种是在⽅程组的系数中使⽤⼩数,这样所求的解即为⽅程的近似解;另⼀种是利⽤下列专门⽤于求⽅程(组)数值解的命令: NSolve[eqns, vars] (*求代数⽅程(组)的全部数值解*)FindRoot[eqns, {x, x0}, {y, y0} ,]后⼀个命令表⽰从点),,(00 y x 出发找⽅程(组)的⼀个近似解,这时常常需要利⽤图像法先⼤致确定所求根的范围,是⼤致在什么点的附近.例15 求⽅程013=-x 的近似解输⼊ NSolve[x^3-1== 0, x]输出 {{→x →x →x 输⼊ FindRoot[x^3-1==0,{x, .5}] 输出 {→x 1.}下⾯再介绍⼀个很有⽤的命令:Eliminate[eqns, elims] (*从⼀组等式中消去变量(组)elims*) 例16从⽅程组 ??=+=-+-+=++11)1()1(1222222y x z y x z y x 消去未知数y 、z .输⼊Eliminate[{x^2+y^2+z^2 ==1,x^2+(y-1)^2 + (z-1)^2 ==1, x + y== 1},{y, z}]输出 0x 3x 22==+-注:上⾯这个输⼊语句为多⾏语句,它可以像上⾯例⼦中那样在⾏尾处有逗号的地⽅将⾏与⾏隔开, 来迫使Mathematica 从前⼀⾏继续到下⼀⾏在执⾏该语句. 有时候多⾏语句的意义不太明确,通常发⽣在其中有⼀⾏本⾝就是可执⾏的语句的情形,此时可在该⾏尾放⼀个继续的记号“\”, 来迫使Mathematica 继续到下⼀⾏再执⾏该语句.五、保存与退出Mathematica 很容易保存Notebook 中显⽰的内容,打开位于窗⼝第⼀⾏的File 菜单,点击Save 后得到保存⽂件时的对话框,按要求操作后即可把所要的内容存为 *.nb ⽂件. 如果只想保存全部输⼊的命令,⽽不想保存全部输出结果,则可以打开下拉式菜单Kernel,选中Delete All Output,然后再执⾏保存命令. ⽽退出Mathematica 与退出Word 的操作是⼀样的.六、查询与帮助查询某个函数(命令)的基本功能,键⼊“函数名”,想要了解更多⼀些,键⼊“函数名”,例如,输⼊Plot则输出Plot[f,{x,xmin,xmax}] generates a plot of f as a functionof x from xmin to xmax. Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}] plots several functions fi 它告诉了我们关于绘图命令“Plot”的基本使⽤⽅法.例17 在区间]1,1y=的图形.[-上作出抛物线2x输⼊ Plot[x^2,{x,-1,1}]则输出例18 .输⼊ Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,0,2Pi}]则输出Plot则Mathematica会输出关于这个命令的选项的详细说明,请读者试之.此外,Mathematica的Help菜单中提供了⼤量的帮助信息,其中Help菜单中的第⼀项Help Browser(帮助游览器)是常⽤的查询⼯具,读者若想了解更多的使⽤信息,则应⾃⼰通过Help菜单去学习.编辑本段Mathematica 基本运算a+mathematica数学实验(第2版) b+c 加a-b 减a b c 或 a*b*c 乘a/b 除-a 负号a^b 次⽅Mathematica 数字的形式256 整数实数11/35 分数2+6I 复数常⽤的数学常数Pi 圆周率，π=…E 尤拉常数，e=2.…Degree ⾓度转换弧度的常数，Pi/180I 虚数，其值为√-1Infinity ⽆限⼤指定之前计算结果的⽅法% 前⼀个运算结果%% 前⼆个运算结果%%…%(n个%) 前n个运算结果%n 或 Out[n] 前n个运算结果复数的运算指令a+bI 复数Conjugate[a+bI] 共轭复数Re[z], Im[z] 复数z的实数/虚数部分Abs[z] 复数z的⼤⼩或模数(Modulus)Arg[z] 复数z的幅⾓(Argument)Mathematica 输出的控制指令expr1; expr2; expr3 做数个运算，但只印出最後⼀个运算的结果expr1; expr2; expr3; 做数个运算，但都不印出结果expr; 做运算，但不印出结果编辑本段常⽤数学函数Sin[x],Cos[x],Tan[x],Cot[x],Sec[x],Csc[x] 三⾓函数，其引数的单位为弪度Sinh[x],Cosh[x],Tanh[x],… 双曲函数ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x] 反三⾓函数ArcCot[x],ArcSec[x],ArcCsc[x]ArcSinh[x],ArcCosh[x],ArcTanh[x],… 反双曲函数Sqrt[x] 根号Exp[x] 指数Log[x] ⾃然对数Log[a,x] 以a为底的对数Abs[x] 绝对值Round[x] 最接近x的整数Floor[x] ⼩於或等於x的最⼤整数Ceiling[x] ⼤於或等於x的最⼩整数Mod[a,b] a/b所得的馀数n! 阶乘Random[] 0⾄1之间的随机数（最新版本已经不⽤这个函数，改为使⽤RandomReal[]）Max[a,b,c,...]，Min[a,b,c,…] a,b,c,…的极⼤/极⼩值编辑本段数之设定x=a 将变数x的值设为ax=y=b 将变数x和y的值均设为bx=. 或 Clear[x] 除去变数x所存的值变数使⽤的⼀些法则xy 中间没有空格，视为变数xyx y x乘上y3x 3乘上xx3 变数x3x^2y 为 x^2 y次⽅运算⼦⽐乘法的运算⼦有较⾼的处理顺序编辑本段四个常⽤处理代数的指令Expand[expr] 将 expr展开Factor[expr] 将 expr因式分解Simplify[expr] 将 expr化简成精简的式⼦FullSimplify[expr] Mathematica 会尝试更多的化简公式，将 expr化成更精简的式⼦编辑本段多项式/分式转换的函数ExpandAll[expr] 把算是全部展开Together[expr] 将 expr各项通分在并成⼀项Apart[expr] 把分式拆开成数项分式的和Apart[expr,var] 视var以外的变数为常数，将 expr拆成数项的和Cancel[expr] 把分⼦和分母共同的因⼦消去编辑本段分母/分⼦的运算Denominator[expr] 取出expr的分母Numerator[expr] 取出expr的分⼦ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母ExpandNumerator[expr] 展开expr的分⼦编辑本段多项式的另⼆种转换函数Collect[expr,x] 将 expr表⽰成x的多项式，如Collect[expr,{x,y,…}] 将 expr分别表⽰成 x,y,…的多项式FactorTerms[expr] 将 expr的数值因⼦提出，如 4x+2=2(2x+1)FactorTerms[expr,x] 将 expr中把所有不包含x项的因⼦提出FactorTerms[expr,{x,y,…}] 将 expr中把所有不包含{x,y,...}项的因⼦提出编辑本段三⾓函数、双曲函数和指数的运算TrigExpand[expr] 将三⾓函数展开TrigFactor[expr] 将三⾓函数所组成的数学式因式分解TrigReduce[expr] 将相乘或次⽅的三⾓函数化成⼀次⽅的基本三⾓函数之组合ExpToTrig[expr] 将指数函数化成三⾓函数或双曲函数TrigToExp[expr] 将三⾓函数或双曲函数化成指数函数复数、次⽅乘积之展开ComplexExpand[expr] 假设所有的变数都是实数来对 expr展开ComplexExpand[expr,{x,y,…}] 假设x,y,..等变数均为复数来对 expr展开PowerExpand[expr] 将多项式项次、系数与最⾼次⽅之取得Coefficient[expr,form] 於 expr中form的系数Exponent[expr,form] 於 expr中form的最⾼次⽅Part[expr,n] 或 expr[[n]] 在 expr项中第n个项代换运算⼦expr/.x->value 将 expr⾥所有的x均代换成valueexpr/.{x->value1,y->value2,…} 执⾏数个不同变数的代换expr/.{{x->value1},{x->value2},…} 将 expr代⼊不同的x值expr清除f的定义Remove[f] 将f⾃系统中清除掉含有预设值的Patterna_+b_. b的预设值为0，即若b从缺，则b以0代替x_ y_ y的预设值为1x_^y_ y的预设值为1条件式的⾃订函数lhs:=rhs/;condition 当condition成⽴时，lhs才会定义成rhsIf指令If[test,then,else] 若test为真，则回应then，否则回应elseIf[test,then,else,unknow] 同上，若test⽆法判定真或假时，则回应unknow 极限Limit[expr,x->c] 当x趋近c时，求expr的极限Limit[expr,x->c,Direction->1]Limit[expr,x->c,Direction->-1]微分D[f,x] 函数f对x作微分D[f,x1,x2,…] 函数f对x1,x2,…作微分D[f,{x,n}] 函数f对x微分n次D[f,x,NonConstants->{y,z,…}] 函数f对x作微分，将y,z,…视为x的函数全微分Dt[f] 全微分dfDt[f,x] 全微分Dt[f,x1,x2,…] 全微分Dt[f,x,Constants->{c1,c2,…}] 全微分，视c1,c2,…为常数不定积分Integrate[f,x] 不定积分∫f dx定积分Integrate[f,{x,xmin,xmax}] 定积分Integrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] 定积分数列之和与积Sum[f,{i,imin,imax}] 求和Sum[f,{i,imin,imax,di}] 求数列和，引数i以di递增Sum[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]Product[f,{i,imin,imax}] 求积Product[f,{i,imin,imax,di}] 求数列之积，引数i以di递增Product[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]函数之泰勒展开式Series[expr,{x,x0,n}] 对 expr於x0点作泰勒级数展开⾄(x-x0)n项Series[expr,{x,x0,m},{y,y0,n}] 对x0和y0展开关系运算⼦a==b 等於a>b ⼤於a>=b ⼤於等於aa<=b ⼩於等於a!=b 不等於逻辑运算⼦!p notp||q||… orp&&q&&… andXor[p,q,…] exclusive orLogicalExpand[expr] 将逻辑表⽰式展开基本⼆维绘图指令Plot[f,{x,xmin,xmax}]画出f在xmin到xmax之间的图形Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}]同时画出数个函数图形Plot[f,{x,xmin,xmax},option->value]指定特殊的绘图选项，画出函数f的图形Plot[]⼏种常⽤选项的指令选项预设值说明AspectRatio 1/GoldenRatio 图形⾼和宽之⽐例，⾼/宽Axes True 是否把坐标轴画出AxesLabel Automatic 为坐标轴贴上标记，若设定为AxesLabel->{ylabel}，则为y轴之标记。
01第一篇Mathematica入门
01第⼀篇Mathematica⼊门第⼀篇Mathematica⼊门⼀、MathematicaMathematica是集⽂本编辑、数值计算、逻辑分析、图形、声⾳、动画于⼀体的⾼度优化的专家系统.它是⽬前⽐较流⾏的数学软件之⼀.Mathematica最显著的特点是⾼精度的运算功能、强⼤的作图功能以及逻辑编程功能.Mathematica是美国WolframResearch公司开发的⼀套专门⽤于进⾏数学计算的软件.从1988年问世⾄今,已⼴泛运⽤到⼯程技术、应⽤数学、计算机科学、财经、⽣物、⽣命科学、以及太空等领域，数以万计的论⽂、科学报告、计算机绘图等都是Mathematica的杰作. 1995年发表的Mathematica3.0版是数学软件史的⼀⼤创新，⽽现在的Mathematica4.1版，则达到了这类软件的顶峰. Mathematica除了提供数值处理与绘图的功能外，还具有符号计算以及处理多项式的各种运算、函数的微分、积分、解微分⽅程、统计、编程，甚⾄可以制作电脑动画及⾳效等等.Mathematica的基本系统是使⽤C语⾔编写的，因此能⽅便地移植到各种计算机系统上.尽管Mathematica有各种各样的版本，但它们有⼀个共同的内核，Mathematica的各种运算都是由内核来完成的.给内核配置不同的前端处理器，就成为适⽤于各种环境的版本.它的DOS版本的特点是运算速度快，对系统的配置要求较低；它在Windows环境下的特点是图⽂并茂，操作⽅便.这⾥介绍的是在Windows环境下的Mathematica4.1版本.Mathematica4.1对计算机的硬件要求如下：1.操作系统：Windows95以上.2.CPU：Inter586级以上的中央处理器.3.硬盘空间：除了要具备120MB的硬盘空间安装Mathematica4.1外，还需具有100MB左右的剩余硬盘空间⽤于进⾏交换⽂件和复杂的运算.4.内存：64MB以上.⼆、Mathematica界⾯简介双击Mathematica的图标即可运⾏Mathematica的主程序.主程序会同时打开⼀个新的⼯作窗⼝和⼀个基本输⼊模板（Basic Input palette）.每⼀个⼯作窗⼝代表⼀个⽂件，⽂件名显⽰在⼯作窗⼝的标题栏上，默认的⽂件名为Untitled-1.nb.位于标题栏下的是菜单栏，包括（File，Edit，Cell，Format，Input，Kernel，Find，Window，Help项）. ⽤户可以同时打开多个⼯作区，并且可以对每⼀个⼯作区使⽤不同的名字保存.Mathematica将它们分别命名为Untitled-1；Untitled-2；Untitled-3；….1.⼯作区窗⼝⼯作区是显⽰⼀切输⼊、输出窗⼝.⽆论直接输⼊各种算式或命令，还是已经编好的程序，所有的操作都在这个窗⼝运⾏.⼯作区窗⼝也称作Notebook.2.基本输⼊模板基本输⼊模板由⼀系列按钮组成，⽤以输⼊特殊符号、运算符号、常⽤表达式等.⽤⿏标左键单击⼀个按钮，就可以将它所表⽰的符号输⼊到当前的⼯作区窗⼝中.当启动Mathematica4.1之后，基本输⼊模板会显⽰在屏幕的右边，如果没有，则选择File 下拉菜单中的palette -Basic Input命令激活它.3.主菜单Mathematica的菜单项很多，以下只介绍⼀些最实⽤的菜单项.(1)File菜单File下拉菜单项中的New，Open，Close及Save命令⽤于新建、打开、关闭及保存⽤户的⽂件，这些选项与Word相同.另外有⼏个选项是Mathematica特有的，其中最有⽤的是：●Palettes⽤于打开各种模板；●Generate Palette from Selection⽤于⽣成⽤户⾃制的模板；●Notebooks记录最近使⽤过的⽂件.●模板单击Palettes项，会弹出7个英⽂选项，其中第三项BasicInput（基本输⼊模板）就是启动时已经显⽰在屏幕上的模板.其余最有⽤的选项是第⼆项BasicCalculations（基本计算模板）.这个模板分类给出了各种基本计算的按钮.单击各项前⾯的⼩三⾓，会⽴即显⽰该项所包含的⼦项.再次单击各⼦项前⾯的⼩三⾓，则显⽰出⼦项中的各种按钮.若单击其中的某个按钮就可以把该运算命令（函数）输⼊到⼯作区窗⼝中，然后在各个⼩⽅块中键⼊数学表达式，就可以让Mathematica进⾏计算了.有了这两个模板，使得⽤户⽆须死记⼤量的命令和相关的参数，便于查询和输⼊.(2) cell(单元)●单元的样式Mathematica4.1的⼯作窗⼝由不同的单元(cell)组成.例如，输⼊表达式的单元称为输⼊单元（input cell），输出表达式的单元称为输出单元（output cell）.每⼀个单元都有其特定的样式(style). 输⼊单元默认的样式名称为input，输出单元默认的样式名称为output.注：在新建⼀个单元时，默认为input.●单元的打开与关闭双击最外层单元的括号，即可关闭该单元，只显⽰最外层.同样只要双击已关闭单元的括号，即可打开该单元.●单元的删除选中所要删除单元的括号，按Delete键即可删除所选单元的内容.(3)Help(帮助)在Mathematica4.1中增加了Help Browser帮助系统.在Help Browser中不但汇集了Mathematica4.1的所有命令和使⽤⽅法，⽽且包含了其完整的使⽤⼿册及各种⼯具栏的使⽤⽅法.单击Help菜单中的Help命令，即可激活Help Browser帮助系统.Help Browser共分六⼤帮助信息：1.Built-in Functions 查询Mathematica4.1的所有内部命令与函数的使⽤⽅法.2.Add-ons 查询Mathematica4.1所带的函数库（packages）命令与函数的⽤法.3.The Mathematica Book Mathematica的完整⼿册.4.Getting Started/Demos初学者使⽤说明与范例.5.Other Information 其他信息，如数学表达式的⼆维格式的输⼊⽅法等.6.Master Index⽤索引的⽅法查询Mathematica的关键词.选择搜索主题的类别之后，输⼊关键词，单击Go To按钮开始搜索主题，或者在最左边的选择列表中选择搜索主题的类别之后，再逐渐缩⼩查询范围.例如：要查询Limit命令的使⽤⽅法，可以直接在Help Browser中输⼊Limit再单击Go To按钮，或选择Algebraic Computation-Calculus-Limit找到有关Limit命令的说明.4.退出Mathematica当结束⼯作时，可以选择“File”菜单中的“Exit”选项或单击关闭按纽. Mathematica 会询问是否保存对打开⼯作区内容的修改，选择“Yes”，系统要求指定⽂件名，⽤户可以任意给定⼀个⽂件名并指定位置，确认后系统将该⽂件保存在⽤户所指定的位置，再次打开该⽂件可以继续上次的运算；选择“Don’t Save”放弃保存；选择“Cancel”取消这次操作并返回Mathematica.三、⾃制模板由于BasicCalculations（基本计算模板）的内容太多，查找不⽅便，因此⾃制模板是⼀个⾮常重要的内容.⾃制模板的步骤如下：1.单击主菜单的input项，弹出⼦菜单.选中⼦菜单中的CreateTabel/Matrix/Palette（建⽴表、矩阵、模板）选项出现对话框.2.在对话框中，选中Make: Palette，在键⼊⾏数和列数，则在窗⼝⽣成⼀个可编辑的原始模板.3.⽤⿏标左键单击原始模板中的第⼀个⼩⽅块，然后在打开的BasicCalculations模板中单击⼀个今后经常使⽤的按钮，就可以将它复制到原始模板中.如此循环往复直⾄全部输⼊完成.4.单击File菜单中的Generate Palette from Selection项，就可以建⽴⼀个⾃⼰的模板了.5.单击⾃制模板右上⾓的关闭按钮，Mathematica将询问是否保存⾃制模板，若保存，则出现对话框，将对话框中显⽰的⽂件名“Untitled-1.nb”改成“⾃定义模板.nb”保存到存放Mathematica模板的⽬录D:\Mathematica\4.1\SystemFiles\FrontEnd\Palettes 下，再次启动时，这个模板的名字就会出现在File菜单的Palette选项中，可与Mathematica的模板⼀样使⽤.四、Mathematica 的常⽤语法1.Mathematica 的基本运算Mathematica 的基本运算包括加(+) ；减(-) ；乘(*) 、除(/) 、乘⽅(?) 等.我们可以按照⼀般数学表达式的⼿写格式输⼊这些基本运算，然后按下Shift+Enter 组合键得到输出结果.例如：In[1]:=Out[1]:= 6 In[2]:= 3^2 Out[2]:= 9说明：（1）Mathematica 将输⼊的指令⽤标题“In[n]：=”标识，输出结果⽤“Out[n]:=”标识，其中“n ”表⽰已经输⼊的指令数.（2）Shift+Enter 在Mathematica 中是执⾏运算的命令.2.输⼊和计算数学表达式(1)键盘直接输⼊和运⾏expr : 直接输⼊表达式.例如：在⼯作窗中输⼊，再按Shift+Enter 组合键，执⾏运算.这时，⼯作32)63(2-+?窗会显⽰如下运算：In[1]:=-??3Out[1]:= ??N[expr] 计算表达式的近似数值，Mathematica 默认的有效数字位数为16位，但按标准输出只显⽰前6位有效数字，若要全部显⽰，则⽤N[expr]//InputForm 命令.N[expr ，n] 计算表达式的具有任意指定数字位数的近似值（指定的数字位数n 应该⼤于16），结果在末位是四舍五⼊的. NumberForm[expr , n] 将表达式⽤n 个有效数字表⽰.例1 求的近似值，有效数字分别为6位、8位、16位、32位.e 解： In[1]:= N ??Out[1]:= 2.71828In[2]:= N u m b e r F o r m ?N ,8?Out[2]:= 2.7182818 In[3]:= N[ ]//InputForm Out[3]:= 2.718281828459045 In[4]:= N[ ,32]Out[4]:= 2.7182818284590452353602874713527(2)利⽤基本输⼊模板直接输⼊我们可以利⽤基本输⼊模板所提供的⼀些特殊符号、运算符号、常⽤表达式来输⼊表达式.3.简单的调⽤⽅式有时在后⾯的计算要调⽤到前⾯已经计算过的结果，这时Mathematica 提供了⼀种简单的调⽤⽅式：命令意义%%%%%…% (个%)，或 %n n读取前⼀个输出结果.读取前第⼆个输出结果.读取前第个输出结果.n 例如 In[1]:= 3^4Out[1]:= 81 In[2]:= %?5 Out[2]:= 405 In[3]:= %1?%2Out[3]:= 4864.长表达式的输⼊Mathematica 是允许⼀个表达式占⽤多个输⼊⾏的，但需注意的是：必须在指令或语法告⼀段落⽽⼜不完整的地⽅使⽤Enter 键进⾏换⾏.5.有关代数式的⼏个命令(1)多项式的展开与因式分解命令意义[多项式]Expand 对多项式进⾏展开运算.[多项式]Factor 对多项式进⾏因式分解.例2 将多项式展开5)1(y x ++解 In[1]:= Expand[(1+x+y)^5]Out[1]:= 1?5x ?10x 2?10x 3?5x 4?x 55y 20xy例3 将多项式分解因式2223-+-x x x 通过管线不仅可以解路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进⾏检查和检测处理。
第三讲MatheMatica入门
Which[条件1，表达式 1，条件2，表达式 2，……]
Which[条件1，表达式 依次计算每个条件的值，将第一个为True的条件对 1，…条件n，表达 应的表达式作为整个语句的值.用True作为Which 式n，True,表达式] 的最后一个条件时，可用于处理其他情况
x sin x 例7：分段函数 h( x) x 2 0
ch308_1.nb
再求函数值 , 输入: {h[-1],h[1],h[7],h[11]}
Mathematica程序：
求得: Out[]:={1，sin1，7/2，0}
ch308_2.nb
五、mathematica程序流程的控制
在正常情况下，系统对表达式的求值总是按照规定的顺序 和方式进行。但是，在有些情况下，人们需要改变这种正常 的顺序，以便程序的设计，是计算流程更加自然，或者为了 提高程序的执行效率，等等。为此，Mathematcia提供了一 些特殊的程序流程控制结构。 函数 Break 说明 退出最近的一层循环
二、Mathematica中的顺序控制结构
Mathematica中的顺序控制结构就是复合表达式，根据 求解问题的需要把一个系统的表达式按顺序排列，在一个表 达式后面写一个分号（；）接着写其他表达式，就构成了复 合表达式。一个复合表达式的值就是它的最后一表达式的值。 例5：求函数f(x)=2x3-6x2-18x+7的驻点。 Clear[f]; f[x_]:=2x^3-6x^2-18x+7; diff=D[f[x],x]; Solve[diff==0,x] Out[]={{x->-1},{x->3}}
三、Mathematica的输入、输出和运行
1、Mathematica的输入方式：通过键盘直接输入 2、Mathematica的运行 在Mathematica的工作区窗口，输入一行或多行表达 式，例如：输入1+1，然后按下Shif+Enter键，这时系统 开始计算并输出计算结果，并给输入和输出附上次序标识 In[1]和Out[1]，注意In[1]是计算后才出现的。 3、控制系统结果输出的方法
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ln[3]:=0.239998 Out[3]=0.23998 ln[4]:=0.12*10^11 Out[4]=0.12*10^11 实数也可以与整数，有理数进行混合运算结果还 是一个实数。 复数是由实部和虚部组成。实部和虚部可以用整 数，实数，有理数表示。在Mathematica中，用I 表示虚数单位如： In[6]:=3+0.7I Out[6]:=3+0.7I
NumberForm[expr,n] ScientificForm[expr] 以n位精度的实数形 式输出实数expr 以科学记数法输出实 数expr
• 如果输入了不合语法规则的表达式，系统会 显示出错信息，并且不给出计算结果。 • 例如：要画正弦函数在区间[-10，10]上的图 形，输入plot[Sin[x],{x,-10,10}]，则系统提示 “可能有拼写错误， 新符号‘plot’ 很像已经 存在的符号‘Plot’”，实际上，系统作图命令 “Plot”第一个字母必须大写，一般地，系统 内建函数首写字母都要大写。再输入 Plot[Sin[x],{x,-10,10} ，系统又提示缺少右 方括号，并且将不配对的括号用蓝色显示， 如图
第2章 Mathematica的基本量
1.数据类型和常量 mathematica中的数据类型和基 本常量
2.变量 3.函数 4.表 5.表达式 6.常用符号 变量的定义，变量的替换，变量 的清除等 函数的概念，系统函数，自定义 函数的方法 表的创建，表元素的操作，表的 应用 表达式的操作 经常使用的一些符号的意义
2.1 数据类型和常数
• 1数值类型 在Mathematic中，基本的数值类型有四种：整数， 有理数、实数和复数。 如果你的计算机的内存足够大，Mathemateic 可以 表示任意长度的精确实数，而不受所用的计算机字长 的影响。整数与整数的计算结果仍是精确的整数或是 有理数。 例如：2的100次方是一个31位的整数： ln[1]:=2^100 Out[1]=1267650600228228229401496703205376
• 2．特殊字符的输入
• MathemMatica 还提供了用以输入各种特殊符号 的工具样。基本输入 工具样包含了常用的特殊字 符（上图），只要单击这些字符按钮即可输入。 若要输入其它的 特殊字符或运算符 号，必须使用从FILE 菜单中选取Complete Characters工具栏, 如图：
1.2 Mathematica的联机帮助系统
• 用Mathematica的过程中，常常需要了解一个命令 的详细用法，或者想知系统中是否有完成某一计算 的命令，联机帮助系统永远是最详细、最方便的资 料库 • 1．获取函数和命令的帮助：在Notebook界面下, 用 ？或 ?? 可向系统查询运算符、函数和命令的定 义和用法, 获取简单而直接的帮助信息。 例如, 向 系统查询作图函数Plot命令的用法？Plot 系统将给 出调用Plot的格式以及Plot命令的功能 (如果用两个 问号“??”，则信息会更详细一些)。? Plot* 给出 所有以Plot这四个字母开头的命令 • 2． Help菜单：任何时候都可以通过按F1键或点击 帮助菜单项Help Browser, 调出帮助菜单, 如下图所 示
• 在Mathematica的Notebook界面下，可以用这种 交互方式完成各种运算，如函数作图，求极限、 解方程等，也可以用它编写像C那样的结构化程 序。 • 在Mathematica系统中定义了许多功能强大的函 数，我们称之为内建函数（built-in function）, 直 接调用这些函数可以取到事半功倍的效果。这些 函数分为两类： (1) 一类是数学意义上的函数，如：绝对值函数 Abs[x]，正弦函数Sin[x]，余弦函数Cos[x]，以e 为底的对数函数Log[x]，以a为底的对数函数 Log[a,x]等； (2) 第二类是命令意义上的函数，如作函数图形的 函数Plot[f[x],{x,xmin,xmax}]，解方程函数 Solve[eqn,x]，求导函数D[f[x],x]等。
必须注意的是
• Mathematica 严格区分大小写。 • 一般地，内建函数的首写字母必须大写， 有时一个函数名是由几个单词构成，则每 个单词的首写字母也必须大写，如：求局 部极小值函数FindMinimum[f[x],{x,x0]等。 第二点要注意的是，在Mathematica中，函 数名和自变量之间的分隔符是用方括号 “[ ]”，而不是一般数学书上用的圆括号 “（ ）”，初学者很容易犯这类错误。
• Mathematic担提供了两种格式的数学表达 式。形如x/(2+3x)+y*(x-w)的称为一维格式， 形如 的称为二维格式。
• 你可以使用快捷方式输入二维格式，也可 用基本输入工具栏 输入二维格式。
• 可从FILE菜单中激活Palettes->Basic Input 工具栏，也可输入， 并且使用工具 栏可输入更复杂的数学表达式。 如图：
N[x] N[x,n]
Rationalize[x] Rationalize[x,dx]
将x转换成实数 将x转换成近似实数， 精度为n
给出x的有理数近似值 给出x的有理数近似值, 误差小于dx
• [举例] ln[1]=N[5/3,20] Out[1]=1.66666666666666666667 ln[2]:=N[%,10] Out[2]=1.66666667 • 二行输出是把上面计算的结果变为10位精度 的数字。％表示上一输出结果。 In[3]=Rationalize[%] Out[3]=5/3
• 2.不同类型数的转换 在Mathematica的不同应用中，通常对数字 的类型要求是不同的。例如在公式推导中的 数字常用整数或有理数表示，而在数值计算 中的数字常用实数表示。在一般情况下在输 出行Out[n]中，系统根据输入行ln[n]的数字 类型对计算结果做出相应的处理。如果有一 些特殊的要求，就要进行数据类型转换。 • 在Mathematica中的提供以下几个函数达到 转换的目的：
Getting Started/ Demos Other Information
初学者入门指南和多种演示
菜单命令的快捷键，二维输入格式等
Master Index
按字母命令给出命令、函数和选 项的索引表
• 如果要查找Mathematica中具有某个功能的函数， 可以通过帮助菜单中的Mahematica使用手册，通 过其目录索引可以快速定位到自己要找的帮助信 息。 例如：需要查找Mathematica中有关解方程 的命令，单击“The Mathematica Book”按钮，再 单击“Contents”，在目录中找到有关解方程的节 次，点击相应的超链接，有关内容的详细说明就 马上调出来了。如果知道具体的函数名，但不知 其详细使用说明，可以在命令按钮 Goto 右边的文 本框中键入函数名，按回车键后就显示有关函数 的定义、例题和相关联的章节。例如，要查找函 数Plot的用法，只要在文本框中键入Plot，按回车 键后显示如图的窗口，
输入1+1，然后按下Shift+Enter键，这时系统开 始计算并输出计算结果，并给输入和输出附上次 序标识In[1]和Out[1]，注意In[1]是计算后才出现的； 再输入第二个表达式，要求系统将一个二项式展 开，按Shift+Enter输出计算结果后，系统分别将 其标识为In[2]和Out[2]。如图
其中的各按钮用途如下表所示 Built-in Function Add-ons The Mathematica Book 内建函数，按数值计算、代数计算、 图形和编程分类存放 有程序包（Standard Packages） MathLink Library等内容 完整的Mathematica使用手册
• 再按回车键，则显示Plot函数的详细用法和例题。如果已经 确知Mathematica 中有具有某个功能的函数，但不知具体函 数名，可以点击Built-in Functions按钮，再按功能分类从粗 到细一步一步找到具体的函数，例如，要找画一元函数图形 的函数，点击Built-in Functions ->Graphics and Sound>2D Plots->Plot，找到Plot的帮助信息。 • 如果知道具体的函数名，但不知其详细使用说明，可以在 命令按钮 Goto 右边的文本框中键入函数名，按回车键后就 显示有关函数的定义、例题和相关联的章节。例如，要查找 函数Plot的用法，只要在文本框中键入Plot，按回车键后显 示如图1-5的窗口，再按回车键，则显示Plot函数的详细用 法和例题。 • 如果已经确知Mathematica 中有具有某个功能的函数，但不 知具体函数名，可以点击Built-in Functions按钮，再按功能 分类从粗到细一步一步找到具体的函数，例如，要找画一元 函数图形的函数，点击 Built-in Functions ->Graphics and Sound->2D Plots->Plot，找到Plot的帮助信息。
－Infinity GoldenRatio
负无穷大 ，-∞ 黄金分割数，Ф= 1.6180339887498948…
• 数学常数可用在公式推导和数值计算中。 在数值计算中表示精确值,如： In[1]:=Pi^2 2 Out[1]= ln[2]:=Pi^2//N Out[2]=9.86961
4.数的输出形式 在数的输出中可以使用转换函数进行不同数据类 型和精度的转换。另外对一些特殊要求的格式还 可以使用如下的格式函数：
Mathematica 教程
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 Mathematica概述 Mathematica的基本量 Mathematica的基本运算 Mathematica函数作图 Mathematica微积分的基本操作 Mathematica微分方程的求解 Mathematica程序设计