联立方程模型

βˆ20 , βˆ21,γˆ21 ；然后我们将回归系数估计值代入到各个方程的右边，就得到因变量的估计值
Yˆ1,Yˆ2 ，它们各有 n 个值。
第二步是再对各方程重新回归，不过此时视作自变量的因变量要使用其估计值，而视作因
变量的因变量还是使用其原始值。例如在（9.0.1）式中，取因变量为 Y1 ，自变量为 Yˆ2 , X 1 ，
正数表示价格越高，厂商对该产品生产越多。
不难看出 P 与 Q 是互相依存的变量。例如， ε1 因受其它因素(收入、财富、嗜好等)影响
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而发生改变，需求曲线发生漂移，如图 9.1.1.1 所示：
图 9.1.1.1
图上显示，由于 ε1 的改变而导致需求曲线( D 线)改变时，价格 P 与生产量 Q 都发生改变。 同样地，当 ε 2 改变而导致供应曲线(S 线)发生改变时，P 与 Q 也都发生改变。由于 P 、Q 、ε1 、 ε 2 互相不独立，这就违反了经典最小二乘法的基本假定(关于解释变量 X 与随机误差 ε 独立的
（9.0.2）
这里 Y1 和 Y2 互相依赖，是内生变量。 X1 是外生变量，ε1 与 ε 2 是误差项，变量 Y1 与 Y2 也都是
随机分布项。如果我们不能证明 Y2 与 ε1 独立，Y1 与 ε 2 独立，就应用 LSE 的话，估计量就不是
一致性估计。
这样我们就大致勾画出了联立方程模型的特别之处和需要研究解决的问题。问题的解决方
法其实不复杂，最典型的是二阶段最小二乘法。
二阶段最小二乘法的第一步是分别对各方程原始数据直接回归，并且计算出各因变量的估
计值。例如在（9.0.1）式中，取因变量为 Y1 ，自变量为 Y2 , X 1 ，它们各有 n 个观测，作普通
的最小二乘回归，得到回归系数的估计 βˆ10 , βˆ12 ,γˆ11 ；对（9.0.2）也同样回归，得回归系数
第一节 联立方程模型实例及 OLS 估计的一致性问题
下面我们给出一些具体的联立方程模型，最后再看普通最小二乘估计不满足一致性。
一、需求—供给模型、Keynesian 模型、工资－价格 Phillips 模型
先看需求－供给模型。
商品价格 P 与售出数量 Q 由需求曲线与供给曲线的交点决定。假定将需求与供给曲线都
简化为线性的，添加上随机项 ε1 与 ε 2 ，则需求与供给函数为：
需求函数：Q d = α 0 + α1P + ε1,α1 < 0
（9.1.1）
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供给函数：Q s = β0 + β1P + ε 2 , β1 > 0
（9.1.2）
平衡条件：Q d = Q s
(9.1.3）
这里 P 为价格，α 0 、α1 、 β 0 、 β1 是参数。α1 为负数表示价格越高，售出数量越少； β1 为
假定)。
再考虑简化的 Keynesian 模型：
消费函数： C = β0 + β1Y + ε ，0＜ β ＜1
（9.1.4）
恒等式：Y = C + I (= S)
（9.1.5）
其中 C ＝消费支出，Y ＝收入， I ＝投资(假定为外生变量)， S ＝储蓄， ε ＝随机分布
项，β 0 与 β1 为参数。参数 β1 称作消费的边际嗜好(MPC)，在经济理论里，0＜ β1 ＜1，投资 I = 储蓄 S ，Y = C + I 是国家收入恒等式。由于 ε 的改变，消费曲线发生漂移，如图 9.1.1.2 所示。
第九章 联立方程模型
前面八章我们着重讨论的是单个方程的回归模型，都是含一个因变量 Y ，一个或多个解 释变量 X 。在这些模型里强调的是在给定 X 条件下去估计或预测 Y 。因果关系很清楚，从 X 到Y 。
本章开始我们要详细讨论多个方程的回归模型。在多方程的模型中，单通道单方向的关系
可能不再成立。例如，如果 Y 由 X 决定，而同时也有若干 X 的分量由 Y 决定。这时就有了双
的识别问题，也就是从联立方程组的结构式（数学上称隐式）能否转换到简化式（数学上称显
式）。至于三阶段最小二乘估计，只是在二阶段平方估计的基础上，估计出观测误差的方差 Φˆ ，
由于它可能不是σ 2 I n 的形式，所以再采用广义最小二乘法
βˆˆˆ = ( X ′Φˆ −1X )−1 X ′Φˆ −1Y
（9.0.3）
消除残差的影响，从而使估计保持有效性，即估计量的方差最小。需要注意上式中的矩阵 X 里
面已经包含了方程右边的 Yˆ ，而 β 已经是第三次估计。
本章还要介绍有限信息与完全信息的极大似然估计，原理和一般的极大似然估计差不多， 都是要假定随机变量的概率密度，作似然函数（联合密度），求其最大值时的参数估计。
通道，或联立关系。这就使得谁是因变量谁是自变量变得暖昧起来。遇到这种情况，最好还是
把它们都放到一块，就有了多于一个的方程，并且变量就分为内生变量、外生变量。这些方程
互相制约，互相补充，人们不大可能从中单独解出某一个或几个方程。如果实在要置别的方程
于不顾而强行用普通最小二乘（Ordinary Least Square, OLS）方法去估计出参数，那么这些
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再作最小二乘回归，得到新的回归系数的估计 βˆˆ10 , βˆˆ12 ,γˆˆ11 ；对（9.0.2）也一样，取因变量为 Y2 ，自变量为 Yˆ1, X 2 ，得回归系数 βˆˆ20 , βˆˆ21,γˆˆ21 。从统计学原理可以证明，这样求解出来的
第二步的参数估计将具有一致性，即当样本容量趋于无穷时，估计值收敛到真值。 可见本章的核心内容二阶段最小二乘法的算法本身倒是很容易理解，难点是联立方程模型
当消费与投资增加时，反过来又影响收入，促使收入增加。由于它们不独立，简单应用 OLS
则存在问题。
图 9.1.1.2
下面看工资―价格模型。考虑货币工资与价格决定的 Phillips 模型：
W& = α0 + α1UN + α 2 P& + ε1 P& = β0 + β1W& + β2 R& + β3M& + ε 2
参数估计不仅可能是有偏的，而且可能不是一致性估计，就是说，随着样本容量的增大，参数
估计并不收敛到真实参数值。我们看如下假设的方程组：
Y1i = β10 + β12Y2i + γ 11 X 1i + ε1i
（9.0.1）
Y2i = β 20 + β Y 21 1i + γ 21 X 1i + ε 2i