2020届[步步高]高考数学专题复习讲义

第1讲 空间几何体中的计算与位置关系

高考定位 1.以三视图和空间几何体为载体考查面积与体积，难度中档偏下；2.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属基础题；空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问.

真 题 感 悟

1.(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )

A.π2＋1

B.π2＋3

C.3π2＋1

D.3π2＋3

解析 由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高

为3，三棱锥的底面积为12×2×1＝1，高为 3.故原几何体体积为：V ＝12×π×12

×3×13＋

1×3×13＝π2＋1. 答案 A

2.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A.m ∥l B.m ∥n C.n ⊥l D.m ⊥n

解析 由已知，α∩β＝l ，∴l ⊂β，又∵n ⊥β，∴n ⊥l ，C 正确.故选C. 答案 C

3.(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.

解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm 、2 cm 、2 cm ，其直观图如下：

其体积V ＝2×2×2×4＝32(cm 3

)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S ＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm 2). 答案 72 32

4.(2016·浙江卷)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________.

解析 设PD ＝DA ＝x ，

在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝AB 2＋BC 2－2·AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋4－2×2×2×cos 120°＝23，

∴CD ＝23－x ，且∠ACB ＝1

2(180°－120°)＝30°，

∴S △BCD ＝12BC ·DC ×sin ∠ACB ＝12×2×(23－x )×12＝1

2(23－x ).

要使四面体体积最大，当且仅当点P 到平面BCD 的距离最大，而P 到平面BCD 的最大距离为x ，

则V 四面体PBCD ＝13×12(23－x )x ＝1

6[－(x －3)2＋3]，由于0＜x ＜23，故当x ＝3时，V 四面体PBCD

的最大值为16×3＝1

2.

答案 12

考 点 整 合

1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.

2.几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正，高平齐，宽相等.

3.空间几何体的两组常用公式

(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)；

②S 锥侧＝1

2ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；

③S 台侧＝1

2(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上、下底面的周长，h ′为斜高)； ④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)；

②V 锥体＝1

3Sh (S 为底面面积，h 为高)；

③V 球＝4

3πR 3.

4.直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α.

(2)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b .

(3)面面平行的判定定理：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b . 5.直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：m ⊂α，n ⊂α，m ∩n ＝P ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b . (3)面面垂直的判定定理：a ⊂β，a ⊥α⇒α⊥β.

(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.

热点一 空间几何体的表面积与体积的求解

[命题角度1] 以三视图为载体求几何体的面积与体积

【例1－1】 (1)(2017·金华模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________.

(2)(2017·绍兴质量调测)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________.

解析 (1)该几何体可看作是由一个斜三棱柱ADE －GHF 和一个正四棱锥F －GBCH 拼接而成的组合体，其中ABCD 为矩形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ＝8，BC ＝4，正四棱锥F －GBCH 的高为

3，则该几何体的体积为V ＝12×42×3＋13×42

×3＝40，表面积为S ＝2×4＋82×13＋2×12×4×13＋4×8＝32＋1613.

(2)由题意，该几何体是一个三棱锥S －ABC (如图，)且SA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，SA ＝BC ＝

2，AC ＝1，则该几何体的表面积为S ＝S △SAB ＋S △SAC ＋S △SBC ＋S △ABC ＝12×2×5＋12×2×1＋1

2×

2×5＋12×2×1＝2＋25；体积为V ＝13S △ABC ·SA ＝13×12×1×2×2＝2

3.

答案 (1)40 32＋1613 (2)2＋25 2

3

探究提高 截割体、三棱锥的三视图是高考考查的热点和难点，解题的关键是由三视图还原为直观图，首先确定底面，再根据正视图、侧视图确定侧面. [命题角度2] 求多面体的体积

【例1－2】 (1)(2017·衢州质量检测)如图，有一个底面是正方形的直棱柱型容器(无盖)，底面棱长为1 dm(dm 为分米)，高为5 dm ，两个小孔在其相对的两条侧棱上，且到下底面距离分别为3 dm 和4 dm ，则(水不外漏情况下)此容器可装的水最多为( )

A.9

2 dm

3 B.

4 dm 3 C.7

2 dm

3 D.3 dm 3

(2)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________.

解析 (1)由题意得当容器内的水的上表面过两孔连线所在的平面时，容器内装的水最多，又因为容器的底面为正方形，则由长方体的对称性易得当容器内的水的上表面平分以两孔连线所得的线段为体对角线的长方体时，容器内装的水最多，此时容器内装的水的体积为3×1×1＋12×1×1×1＝7

2，故选C.

(2)利用三棱锥的体积公式直接求解.

V D 1－EDF ＝V F －DD 1E ＝13S △D 1DE ·AB ＝13×12×1×1×1＝1

6.

另解(特殊点法)：让E 点和A 点重合，点F 与点C 重合，