高中数学相关定理及证明
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高中数学相关定理、公式及结论证明
汉阴中学正弦定理证明
内容：在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则.sin sin sin C
c B
b A
a ==
证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理
（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ， 根据锐角三角函数的定义，有sin CD b A ==sin CD a B 。 由此，得 sin sin a
b
A
B
=
，
同理可得
sin sin c
b
C
B
=
，
故有 sin sin a
b
A
B
=
sin c C
=
.
从而这个结论在锐角三角形中成立.
（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高， 交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义， 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。
由此，得 =∠sin sin a b A ABC ，同理可得 =∠sin sin c b C ABC
故有
=
∠sin sin a
b
A
ABC
sin c
C =
.
（3）在ABC Rt ∆中，,sin ,sin c
b
B c a A ==
∴
c B
b
A a ==sin sin ， .1sin ,90=︒=C C .sin sin sin C
c B b A a ==∴
由(1)(2)（3）可知，在∆ABC 中，
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
成立.
2.外接圆证明正弦定理
在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′， ∴sin C =sin B ′=R
c B C 2sin sin ='=. ∴R C
c
2sin =.
同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C c B b A a 2sin sin sin ===.
3.向量法证明正弦定理
a b D
A
B C
A
B C
D
b
a
'cos(90)sin OC AC A b A =-=
'sin sin OC BC B a B
==
sin sin a B b A = sin sin a b A B = 同理 sin sin c b
C B =
故有 sin sin a b A B =sin c
C =
.
余弦定理证明
内容：在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则
⎪⎩
⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222
22222 证明：如图在ABC ∆中，
))((2
22
AB AC AB AC BC a a --===
2
22
2
cos 22AB
A A
B A
C AC AB
AB AC AC +•-=+•-=
A bc c b cos 22
2
-+=
同理可证：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=C ab b a c A bc c b a cos 2cos 22
22222 所以⎪⎩
⎪⎨⎧-+=-+=-+=C
ab b a c B ac c a b A
bc c b a cos 2cos 2cos 22222
22222 数列部分
内容：{}n a 是等差数列，公差为d ，首项为1a ，n S 为其n 前项和，则2
)(2)1(11n n a a n d n n n a S +=-+= 证明：由题意， ))1((.......)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=① 反过来可写为：))1((.......)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+=②
①+②得：2n S
个
n n a n a n a +++++=111.......
所以，2
)
(1n n a a n S +=
③，
把d n a a n )1(1-+=代入③中，得2
)(2)
1(11n n a a n d n n n a S +=
-+
= 内容：{}n a 是等比数列，公比为q ，首项为1a ，n S 为其n 前项和，则n S =⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--=--=)1(,1)1(1)
1(,111q q q a q q a a q na n n
证明：1
12111.......-++++=n n q a q a q a a S ① n
n q a q a q a q a qS 131211.......++++=②
①—②得：n
n q a a S q 11)1(-=-， 当1≠q 时，n S q
q a q q a a n n --=--=1)
1(1111③
把11-=n n q a a 代入③中，得n S q
q
a a n --=
11 当1=q 时。很明显n S 1na =
所以，n S =⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--=--=)1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na n n