第十讲(2定积分计算、证明)

I =∫
π
2
π −t x = (令 ) 2
dx
99
1 + (cot x) 1 + (cot x) 2 1 + (tan t ) 99 π π + 1 (cot ) x π 2 2 d x 则 2I = ∫ = ∫ dx = 99 0 1 + (cot x ) 0 2
0
0
= ∫π
0
−dt
99
=∫
π
2
(cot x) d x
F ′( x) = f ( x) ∈ C [a , b] ,
b
注意使用公式的条件
则
∫a
b = F (b) − F (a ) f ( x) d x =F ( x) a
思考:下列计算是否正确 ? 为什么 ?
1 ∫−1 x 2 = [ − x
1
dx
×
]
1 −1
1 = [ − arctan = −2 , ∫−1 2 x 1+ x
99
99
∴ I=
π
4
(6) 含有三角有理式的积分 方法: 通过换元 , 把原积分分解成可抵消或易 积分的若干个积分 . 一般换元方法是: 积分区间对称 实行负变换 ; 积分区间为 [ 0 , a ] 令 x = a −t 例如, f ( x) ∈ C [ 0 , 1] ,
x = π −t
2
I=
π
4
第十讲
(1.第三章第二节)
不定积分的 计算方法
4. 相关问题
f ( x) f ′′( x) f ( x) − 例1. 求 ∫ [ ] dx 3 f ′( x) f ′ ( x) f ( x) f ′2 ( x) − f ′′( x) f ( x) ⋅ dx 解: 原式 = ∫ 2 f ′( x) f ′ ( x)
∫0 ( ∫
2
2 − y2 e dy x
) dx = x ∫
2 − y2 e dy x
2 − 2x ( − x 2 ) d x − e ∫ 0 0
1 2 − x2 2 = 1 (1 − e −4 ) = ∫ e d( x ) 2 2 0
(4) 对称区间上的积分 方法: 考察被积函数是否有奇偶性 ; 或用负代换: x = −t ; 或直接用公式:
3. 定积分有关命题的证明方法 (1) 证明定积分等式的常用方法 • 换元法 适用于被积函数或其主要部分仅给出 连续条件的命题 ; 适用于被积函数中含有 f ′( x) , f ′′( x) 或变限积分的命题 ; • 辅助函数法 • 泰勒公式法 适用于证明积分限中存在一点 ξ 或 x0 使等式成立的命题 ; 适用于被积函数具有二阶或二阶 以上连续导函数的命题
二. 实例分析 例1. 求 I = ∫0
a
dx
x + a2 − x2 π −u t = 令 解: 令 x = a sin t , 则 2 π 0 sin u cos t 2 (−d u ) I =∫ dt = ∫ π 0 sin t + cos t 2 cos u + sin u π sin t 2 dt =∫ 0 sin t + cos t
= ∫ π ln (1 + tan( π − u ) ) d (−u ) 4 1 − tan u ) du = ∫ ln (1 + 0 1 + tan u π 2 π 4 du = ln 2 − I = ∫ ln 0 1 + tan u 4
π
4 4
− u 令t =π 4
0
1 − tan u 1 + tan u
求积分
令 x − y = t, 即 y = x −t,
x=
t
2
3
t −1
, y=
t t −1
2
, 而 dx =
t (t − 3) (t − 1)
2
2
2
2
2
dt
dt
∴ 原式=
∫
1 ln 2
1
t −1
2
t
3
−
3t t 2 −1
⋅
t 2 (t 2 − 3) (t − 1)
1 ln 2
2
2
dt = ∫
2
t t −1
1
下列换元是否正确 ? 为什么 ? (3) 分部积分公式 注意 : 5b π 1 1 dx 1 dx 1 d xb b d t − u2v′d x d x sec t tan t d t 边积边代限 = − u v 4 u ′v d x − = − = = 0 ∫ ∫ ∫−1 1 +∫x− ∫ ∫ ∫ = 2π 2a a2 a −1 2 −1 1 + x 2 −1 1 + x 2 2 1 + t sec t tan t x x −1 3 1 (P478) 使用此公式的原则及经验与不定积分相同 (令 x = t (令 ) x = sec t )
4. 广义积分的计算法 无穷区间上的广义积分 无界函数的广义积分 常义积分的极限
两个常用来比较的广义积分 : p ≤ 1 + ∞ , +∞ d x (a > 0) = 1 ∫a x p p >1 , ( p − 1) a p −1 1− q (b − a ) q < 1 , b b dx dx 1− q ∫a ( x − a) q = ∫a (b − x) q = q ≥1 +∞,
2
f ( x) f ( x) =∫ d ( f ( x) ) f ′( x) f ′( x) [ 1 − f ′′( x) f ( x) 2 ∫ f ′( x) ′ f ( x) 1 f ( x) 2 = [ ] +C 2 f ′( x)
f ( x) ) d( f ′( x)
]d x
例2. 设 解:
×
×∫
2. 特殊形式定积分的计算 (P165 , 2 ,3 ) (1) 分段函数的定积分 方法: 分段积分后求和. 若被积函数为复合函数, 应先换元后积分. 例如, 设 1 , x ≥ 0 2 1+ x , 求 ∫ f ( x − 1) d x f ( x) = 1 0 , 1+e x x < 0 提示: 令 u = x − 1 , 则
说明: (1) 有时通过换元,广义积分和常义积分 可以互相转化 . 例如,
0 1− x 1 2 1) + 1 1 x +1 d x ( − 2 1 1 x x d x = d t = ∫0 x 4 + 1 ∫0 x 2 + 1 ∫0 ( x − 1 ) 2 + 2 2 x
x
∫0
1
dx
2
= ∫ dt
1
f ( x) = f ( x) − f (a ) = f ′(ξ )( x − a )
f ( x) = f ( x) − f (a ) = ∫ f ′(t ) d t
a
x
或
f ( x) − f (ξ ) = ∫ f ′(t ) d t
ξ
x
• 利用泰勒公式 适用于被积函数二阶或二阶 以上可导, 且又知最高阶导数正负号的命题 利用二重积分 适用于被积函数为乘除形式或 俩个定积分相乘形式
I=
π
8
ln 2
例3. 求 I = ∫ sin n−1 x cos( n + 1) x d x
0
π
解: I = ∫ sin n−1 x( cos nx cos x − sin nx sin x ) d x
0
π
π 1 π n n = ∫ cos nx d ( sin x ) − ∫ sin x sin nx d x 0 n 0 1 n π 1 π n = sin x cos nx − ∫ sin x( − n sin nx ) d x 0 n 0 n
dx 原式 = ∫ f (u ) du = ∫ +∫ = ln ( 1 + e ) x 1 − −1 0 1+ x 1+ e
1
0
1
dx
(2) 被积函数含绝对值符号的积分 方法: 先去绝对值符号再分段积分 . 技巧: 令绝对值内的表达式为 0 , 解方程 , 求出分界点 . (3) 被积函数中含有“变限积分”的积分 方法: 令 u = “变限积分” , 用分部积分法 . 例如 ,
(
∫ − a f ( x ) d x = ∫0 [ f ( x ) + f ( − x ) ] d x
a a

f ( x) =
1 2
) [ ] [ f ( x) + f (− x) ] + 1 f x − f − x ( ) ( ) 2
偶函数
π
例如,
∫
4 −π 4
π
sin x 1+ e
−x
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ奇函数 =1
d x = ∫ sin x (
4
2
1 1+ e
−x
0
+
1 1+ e
x
)d x
( π − 2 ) = ∫ 4 sin 2 x d x = 1 8
0
π
(5) 被积函数的分母为两项 , 分子为其中一项 方法: 若能选择合适的代换 , 使被积函数的分子 换为另一项 , 其它都不变 , 则积分值等于 积分区间长的一半. 例如,
π
(P167 例2(4))
π π t t sin + cos 2 2 dt = ∫ dt = ∴ 2I = ∫ 0 sin t + cos t 0 2
I=
π
4
例2. 求 I = ∫
π
1 ln( 1 + 0
x)
1+ x2 解: 令 x = tan t , 则
0
d x (P167 例2(3))
I = ∫ 4 ln( 1 + tan t ) dt
1
dx
×
]
1 −1
=−
π
4
(2) 换元积分公式 注意 : β b 换元必换限 , ′ ( t ) ϕ ( t ) ϕ f [ ] d t f ( x ) d x = ∫α ∫a 配元不换限 .
第二换元法 第一换元法
代换 x = ϕ (t ) ∈ C [α , β ] , 且 a = ϕ (α ) , b = ϕ ( β ), ϕ (t ) 单调 .
b 2 g ( x) d x a
• 设辅助函数 适用于被积函数连续 , 但不知是否 可导的命题 • 利用中值定理或牛-莱公式 适用于被积函数一阶可导, 且至少一个端点 的函数值为 0 的情形
例如, 已知被积函数 f ( x) ∈ C [a , b] , f (a ) = 0 , 则可根据需要变形为
=
t −1 + C =
2
( x − y) − 1 + C
说明: 若 x , y 满足方程 F ( x , y ) = 0 , 求积分
∫
f ( y ) d x 的一般途径是 : 首先将方程 F ( x , y ) = 0
x = ϕ (t ) , 然后积分 化为参数方程 y = ψ (t )
c −ε b = lim ∫ f ( x) d x + ∫ f ( x) d x ( c 为瑕点) c +ε a ε → 0+
−∞ b a
f ( x) d x = lim
f ( x) d x ∫ a→ +∞ −a
a
注意: 主值意义下广义积分存在不等于通常意 义下广义积分收敛 .
2
π
(令 x = sin t )
例如, P178 例13
=∫
0 −∞
dt 2+t
2
(令 t = x − 1 ) x
(2) 当一题同时含两类广义积分时, 应划分积 分区间, 分别讨论每一区间上的广义积分.
(3) 有时需考虑主值意义下的广义积分. 其定义为
v.p. ∫
+∞
v.p.∫ f ( x) d x
• 分部积分法
(2) 证明定积分不等式的常用方法 • 直接利用不等式 定积分的比较定理 ; 估值定理 ;
≥ 2 (a > 0) 初等不等式: a + b ≥ 2ab ; a + 1 a 柯西不等式:
2
2
( ∫a f ( x ) g ( x ) d x )
b
2
≤ ∫ f ( x) d x ∫
2 a
b
∫ f ( y) d x = ∫ f [ψ (t )]ϕ ′(t ) dt
若求定积分, 则
t = ϕ ( x)
−1
x = ϕ (t ) 的反函数
β α
∫a
b
f ( y) d x = ∫
f [ψ (t )]ϕ ′(t ) dt
(a = ϕ (α ) , b = ϕ ( β ))
例3. 设 f ( x − 1) = ln 求 ∫ ϕ ( x) d x .
例4. 证明递推公式
证: I n = ∫ tan
n−2
x (sec x − 1) dx
2
P200习13（3）
= ∫ tan n − 2 x d(tan x) − I n−2
tan x = − I n−2 n −1
注:
n −1
或
第十讲（2第三章第三节）
定积分的计算方法 和 解证明题的方法
一. 方法指导 1. 计算定积分的基本公式 (P164 ,1 ) (1) 牛顿 — 莱布尼兹公式
2
2
x
2
2
x −2
, 且 f [ϕ ( x)] = ln x ,
2 x +1 +1 ( x − 1 ) f ( x) = ln 解: f ( x − 1) = ln 2 x −1 ( x − 1) − 1 ϕ ( x) + 1 又由题设 f [ϕ ( x)] = ln = ln x ϕ ( x) − 1 x +1 ϕ ( x) + 1 ϕ ( x) = =x x −1 ϕ ( x) − 1 x +1 2 ∴ ∫ ϕ ( x) d x = ∫ )d x d x = ∫ (1 + x −1 x −1 = x + ln ( x − 1) 2 + C