钢结构的稳定性验算

第七章 稳定性验算
整体稳定问题的实质：由稳定状态到不能保持整体的不稳定状态；有一个很小的干扰力，结构的变形即迅速增大，结构中出现很大的偏心力，产生很大的弯矩，截面应力增加很多，最终使结构丧失承载能力。

注意：截面中存在压应力，就有稳定问题存在！如：轴心受压构件（全截面压应力）、梁（部分压应力）、偏心受压构件（部分压应力）。

局部稳定问题的实质：组成截面的板件尺寸很大，厚度又相对很薄，可能在构件发生整体失稳前，各自先发生屈曲，即板件偏离原来的平衡位置发生波状鼓曲，部分板件因局部屈曲退出受力，使其他板件受力增加，截面可能变为不对称，导致构件较早地丧失承载力。

注意：热轧型钢不必验算局部稳定！
第一节 轴心受压构件的整体稳定和局部稳定
一、轴心受压构件的整体稳定
注意：轴心受拉构件不用计算整体稳定和局部稳定！
轴心受压构件往往发生整体失稳现象，而且是突然地发生，危害较大。

构件由直杆的稳定状态到不能保持整体的不稳定状态；有一个很小的干扰力，结构的弯曲变形即迅速增大，结构中出现很大的偏心力，产生很大的弯矩，截面应力增加很多，最终使结构丧失承载能力。

这种现象就叫做构件的弯曲失稳或弯曲屈曲。

不同的截面形式，会发生不同的屈曲形式：工字形、箱形可能发生弯曲屈曲，十字形可能发生扭转屈曲；单轴对称的截面如T 形、Π形、角钢可能发生弯曲扭转屈曲；工程上认为构件的截面尺寸较厚，主要发生弯曲屈曲。

弹性理想轴心受压构件两端铰接的临界力叫做欧拉临界力：
2222//λππEA l EI N cr == (7-1)
推导如下：临界状态下：微弯时截面C 处的内外力矩平衡方程为：
/22=+Ny dz y EId
(7-2) 令EI N k
/2
=，则： 0/222=+y k dz y d (7-3)
解得：
kz B kz A y cos sin += (7-4)
边界条件为：z=0和l 处y=0；
则B=0，Asinkl=0，微弯时πn kl kl A ==∴≠,0sin 0 最小临界力时取n=1，l k /π=,
故 2
2
2
2
//λππEA l EI N cr == (7-5)
其它支承情况时欧拉临界力为：
2
222/)/(λπμπEA l EI N cr ==
(7-6)
欧拉临界应力为：
22/λπσE cr =
(7-7)
实际上轴心受压杆件存在着各种缺陷：残余应力、初始弯曲、初始偏心等。

此时的极限承载力N u ，
y u Af N /=ϕ叫整体稳定系数。

残余应力的分布：见P104、P157，残余应力的存在使构件受力时过早地进入了弹塑性受力状态，使屈曲时截面抗弯刚度减小，导致稳定承载能力降低，降低了构件的临界应力。

令
k=b e /b;
则
2
3222/;/y
cr x cr Ek Ek λπσλπσ== (7-8)
所以残余应力对绕弱轴的临界应力的降低影响要比对绕强轴的要大。

初始弯曲、初始偏心使理想轴心受压构件变成偏心受压构件，使稳定从平衡分枝（第一类稳定）问题变成极值点（第二类稳定）问题，均降低了构件的临界应力。

我国规范考虑残余应力、1000/l 的初弯曲、未计入初偏心，采用极限承载力理论进行计算，用计算得到的96条柱子曲线（最后分成3组）表达，同时用表和公式的形式给出ϕλ-的关系。

见P162图5-17。

规范规定：轴心受压构件的整体稳定要验算： f A N ≤=)/(ϕσ (7-9) 其中：
ϕ-轴心受压构件的整体稳定系数，参见P496开始的附表。

注意不同的钢材、不同的截面形式（分
a 、
b 、
c 、
d 四类，见P163表5-4）。

拟合公式为：215.0≤λ时，
2
11λαϕ-=
(7-10)
当215.0>λ时
2
22322322/]4)()[(λλλλααλλααϕ-++-++=
(7-11)
其中E
f y π
λλ=
叫构件的相对长细比。

321,,ααα见P164表5-6。

二、轴心受压构件的局部稳定
轴心受压构件的板件屈曲，实际上是薄板在轴心压力作用下的屈曲问题，相连板件互为支承。

四面简支单向均匀受压的弹性矩形薄板（尺寸a ×b ），其弯曲平衡微分方程为：
0)2(224422444=∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂z u N y u y z u z u D
(7-12)
式中：u-薄板的挠度； N-单位板宽的压力；
)1(122
3
ν-=Et D ，板的柱面刚度； 解得： ∑∑∞=∞
==
11
sin sin
m n mn
b
y n a z m A
u ππ (7-13)
边界条件：z=0,z=a,y=0,y=b 时u=0，弯矩=0 最小临界力： 2222
2)(m
b a m a D
N cr +=
π或222
)(mb a a mb b D N cr
+=π (7-14)
令2)(
mb a a mb +=β，22b
D N cr πβ=， 临界应力：
222)
()1(12/b
t E t N cr cr νβπσ-==
(7-15)
其它支承条件可引入弹性嵌固系数χ；弹塑性屈曲引入系数E E t /,=ηη；
临界应力完整的格式为：
222
2)100(6.18)()1(12b t b
t E cr
ηχβνηχβπσ=-= (7-16) 确定板件宽厚比或高厚比的原则是：局部屈曲临界力大于或等于整体临界应力得等稳定原则，我国规
范规定：
工字形轴心受压构件的板件宽厚比限值： 翼缘： y f t b /235)1.010(/λ+≤' (7-17) 腹板： y w f t h /235)5.025(/0λ+≤ (7-18) 其中：λ-构件的长细比；当30≤λ
时取30=λ；当100≥λ时取100=λ；
T 形轴心受压构件的板件宽厚比限值： 翼缘： y f t b /235)1.010(/λ+≤' (7-19)
腹板： y
w f t h /235)1.010(/0
λ+≤ (7-20)
箱形轴心受压构件的板件宽厚比限值：
y f t b /23540/0≤；y w f t h /23540/0≤ (7-21)
圆管截面轴心受压构件的板件宽厚比限值：
)/235(100/y f t D ≤； (7-22)
注意：热轧型钢不必验算局部稳定！
对工字形截面和箱形截面，如果板件宽厚比不满足要求，可以采用设置纵向加劲肋的办法予以加强。

也可以让腹板中间部分屈曲，在计算构件的强度和稳定时，仅考虑腹板计算高度边缘范围内两侧宽度各为
y w f t /23520的部分作为有效截面，在计算整体稳定系数ϕ时应用全截面计算。

P173
第二节 梁的整体稳定和局部稳定
一、钢梁的整体稳定
一般梁的侧向刚度较小，在临界状态时，有一个很小的侧向干扰力，结构在侧向刚度方向的变形即迅速增大，结构中出现很大的侧向弯矩，截面应力增加很多，最终使结构丧失承载能力。

钢梁侧向失稳的特点在于：截面中有一半是弯曲拉应力，会把截面受拉部分拉直而不是压屈。

由于受拉翼缘对受压翼缘侧向变形的牵制，梁整体失稳总是表现为受压翼缘发生较大侧向变形而受拉翼缘发生较小侧向变形的弯扭屈曲。

钢梁发生整体失稳失的临界弯矩为M cr ，临界应力为cr σ；令：y cr b
f /σϕ=，b ϕ叫梁的整体稳定
系数。

双轴对称截面弹性简支梁， 两端受纯弯作用，临界状态时平衡微分方程为：
dz
Mdu M dz d EI dz d GI M
M dz u d EI M M dz v d EI w t y x /////332222==-=-=-==-ζηξϕϕϕ
(7-23)
边界条件：在z=0和z=l 处，0,0=''=ϕϕ
解得： )1(222
2w
t
t w y
cr EI GI l I I l EI M ππ+=
(7-24) x cr cr W M /=σ (7-25)
)/(/y x cr y cr b f W M f ==σϕ (7-26)
单轴对称截面、不同支承情况、不同荷载情况分别引入321,,βββ，简化后有不同的整体稳定系数的算法。

对弹塑性整体失稳，应将弹性稳定系数b ϕ换算成弹塑性稳定系数'b ϕ。

规范规定：梁的整体稳定要验算：
f
W M x b x ≤=)/(ϕσ (7-27)
或： f W M W M y y y x b x ≤+=)/()/(γϕσ (7-28) 其中：钢梁整体稳定系数b ϕ的计算：
i.
工字形简支梁
y
b y x y b
b f h t W Ah 235
])4.4(1[4320212
ηλλβϕ++= (7-29) 其中：b β为钢梁整体稳定的等效弯矩系数，是所考虑的不同荷载梁的临界弯矩和临界应力与受纯弯梁的临界弯矩和临界应力的比值。

见P232
b η是截面不对称系数；双轴对称截面、加强受压翼缘和加强受拉翼缘的单轴对称截面
分别为：)21(),12(8.0,0b b b b b
αηαηη--=-==；)/(211I I I b +=α；I 1为受压
翼缘对y 轴的抗弯刚度，I 2为受拉翼缘对y 轴的抗弯刚度。

ii. 热轧普通工字钢简支梁
见P233
iii.
热轧槽钢简支梁
y
b f h l bt 2355701=
ϕ (7-30)
iv.
双轴对称工字形悬臂梁
y y x
y b
b f h t W Ah 235)4.4(14320212
λλβϕ+= (7-31) b β见P234
v.
y
y f /235120≤λ构件受纯弯曲的'
b ϕ近似公式
1. 工字形
双轴对称时： 235
4400007.12f
y
b λϕ-
='
，取1≤'b ϕ (7-32)
单轴对称时： 235
)1.02(1400007.112y x b y
b f Ah W +-='
αλϕ，取 1≤'b ϕ (7-33)
2. T 形
弯矩使翼缘受压时，双角钢T 形截面 235/0017.01y y b f λϕ-='
(7-34)
两板组合T
形截面 235/0022.01y y
b f λϕ-='
(7-35)
弯矩使翼缘受拉时， 0.1='b ϕ (7-36)
注意：当6.0>b ϕ时，换算成'b ϕ：
5
.1/1269.0/4646.01.1b
b b ϕϕϕ+-='；取
1≤'b ϕ
(7-37)
规范还规定如果符合下列情况之一的可不计算钢梁的整体稳定：
※有面板密铺在梁的受压翼缘上并与其牢固相连，能阻止梁受压翼缘的侧向位移时。

※工字形截面简支梁受压翼缘的自由长度l 1与其宽度b 1的比值不超过下列数值 跨中无侧向支承点，荷载作用在上翼缘：y f /23513； 跨中无侧向支承点，荷载作用在下翼缘：y f /23520； 跨中有侧向支承点：y f /23516
；
※箱形截面简支梁的截面高宽比6/0
≤b h 且)/235(95/01y f b l ≤
二、钢梁的局部稳定
热轧型钢梁一般都有较大的板件厚度，可不必验算局部稳定！
组合截面梁受压翼缘的局部稳定应限制其宽厚比，腹板一般考虑设置加劲肋。

1．梁受压翼缘的宽厚比限值
工字形、T 形等， 弹塑性设计时y f t
b /23513/≤'；弹性设计时y f t b /23515/≤'
箱形：y f t b /23540/0≤ 2．梁腹板的局部稳定计算
（1） 当腹板仅用横向加劲肋加强时的局部稳定计算 ※ 无局部压应力梁横向加劲肋间距的简化公式： 当
12000
≤ητw
t h 时， a 按构造取； 当150012000≤<
ητw t h 时，
100015000
-≤ητw
t h h a ； (7-38) 当
15000>ητw t h 时， 5010000
0-≤ητw
t h h a ；
其中：η 为考虑σ影响的剪应力τ增大系数，可查P259或按下式计算：
220])100(715[
1/1--=w
t h
σ
η
(7-39)
,,1w
w x t h V
I My ==
τσ单位以N/mm 2计算，计算剪应力时剪力取所计算区格内的最大剪力，计算正应力时弯矩取同一截面的相应弯矩。

※ 简支等截面吊车梁横向加劲肋间距的简化公式：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=4
00
3200
1min k t h h k k t
h h k a w
w
στ
(7-40)
其中：k 1、k 2、k 3、k 4为参数，按τσ/c 或σσ/c 由P262查得，当计算得到的a<0时，按构造设置加劲肋。

※ 按几种应力共同作用时的稳定相关公式：
2
01,203202122,)/100(,)/100(,)/100()
/(),/(,/1)()(
h t C h t C h t C l t F t h V I My w cr c w cr w cr z w c w w x cr
cr c c cr ======≤++στσστσττ
σσσσ
(7-41) 其中：计算
σ、τ
时弯矩M 和剪力V 取所计算区格内的平均值；
223//93123mm N C μ+=，0/h a =μ或查表
当0=c σ而μ为任意值，或0≠c σ而8.0≤μ
时，取C 2=715N/mm 2，C 1查表P252；
当0≠c σ而8.0>μ时，若≥σσ/c P252表界限值，C 1、C 2按该表查； 若<σσ/c P252表界限值，取C 2=715N/mm 2
，C 1按
μ/2代替μ查表P252；
当局部压应力位于梁的受拉翼缘时，按0=c σ和0=σ
各计算一次，均应满足。

（2） 同时设横向加劲肋和纵向加劲肋时的局部稳定计算
纵向加劲肋应设在离受压边缘h 1=(1/4～1/5)h 0处。

区格Ⅰ的计算：
※ 按几种应力共同作用的稳定相关公式
1)(21
1,1≤++cr cr c c cr ττσσσσ
(7-42)
)
/(),/(,/1z w c w w x l t F t h V I My ===στσ
(7-43) 当0=c σ而1/h a =ζ
为任意值，或0≠c σ而1≤ζ时，
2
21
011/)100(/1100mm N h t h h w cr -=
σ
(7-44)
22
1
221
11,/)100(
)1
1)(1025(mm N h t w cr c ζ
ζσ+
+=
(7-45) 当0≠c
σ而11>ζ时，
2
21
211011/)100()1
(/125mm N h t h h w cr ζζσ+-=
(7-46)
22
1
22
1
11,/)100()1
1)(1025(mm N h t w cr c ζζσ+
+=
以及： 221
011/)100(/1100
mm N h t h h w cr -=
σ (7-44)
22
1
22
1
11,/)100()11)(1025(mm N h t w cr c ζζσ+
+=
(7-47)
而1ζ用0.51ζ代替。

※ 按简化公式
当
4.0≤σσc
时， c w t h σσ+≤/11201 (7-48) 当4.0>σ
σ
c 时， c w t h σσ3/14001+≤ (7-49) 区格Ⅱ的计算：
※ 按几种应力共同作用的稳定相关公式
1)()(
22
22,222≤++cr cr c c cr ττσσσσ
(7-50)
c
c w w x t h V I My σστσ3.0),/(,/222===
(7-51)
2
/h a =μ
(7-52)
202
012)100()
/21(450
h t h h w cr -=
σ
(7-53)
2
2
32)100(
h t C w cr =τ
(7-54)
2
2
12,)100(
h t C w cr c =σ
(7-55)
※ 按简化公式 对无局部压应力的梁，当
12002
≤τw
t h 时，a 按构造取； 当
150012002
≤<
τw
t h 时
,
100015002
2-≤
τw
t h h a ；
当
15002
>τw
t h 时,
5010002
2-≤
τw
t h h a ；
(7-57)
简支等截面吊车梁：
22
21k t h h k a w
-=
τ
(7-58)
k 1、k 2、k 3、k 4为参数，按τσ/2c 或σσ/2c 由P262查得，当计算得到的a<0时，按构造设置加劲肋。

横向加劲肋的尺寸：15/,40)30/(0s s s b t mm h b ≥+≥，在腹板一侧布置的横向加劲肋，宽度应取1.2倍。

当同时设纵向加劲肋时，横向加劲肋还应满足：3
03w z t h I ≥
纵向加劲肋应满足： 当85.0/0≤=h a μ时， 3
05.1w y t h I ≥ （7-59）
当85.0/0>=h a μ
时， 20302)21.4()45.05.2(w
w y t h t h I -≈-≥μμμ （7-60） 当采用短加劲肋时，宽度可取横向加劲肋的0.7～1倍，厚度应大于等于横向加劲肋宽度的1/15。

第三节 偏心受压构件的整体稳定和局部稳定
一、偏心受压构件的整体稳定
压弯构件的承载力往往由整体稳定性确定，而且可能有平面内整体稳定性和平面外整体稳定性两种情况。

在N 和M 同时作用下，开始构件在弯矩作用平面内发生弯曲变形，超过极限后，要维持内外平衡，就只能减小N 和M 。

这种现象就叫做弯矩平面内的整体失稳。

侧向刚度较小时，当超过临界状态时，构件突然发生平面外的弯曲变形，以及扭转变形，这种现象叫做弯矩作用平面外的整体失稳。

弯矩平面内的整体稳定验算公式为：
f N N W M A N Ex x x x mx x ≤-+)/8.01(1γβϕ （7-61）
对单轴对称截面压弯构件，当弯矩作用在对称轴平面内而且是较大翼缘受压时，有可能在较小翼缘一侧产生较大的拉应力并在其边缘屈服，轴压力N 引起的压应力可能抵消对弯矩产生的拉应力，此时构件尚应验算：
f N N W M A N
Ex x x x mx ≤--)
/25.11(2γβ （7-62）
其中：mx β为等效弯矩系数；规范规定：
弯矩作用平面内有侧移的框架柱和悬臂构件，mx β=1； 对无侧移框架柱和两端支承的构件：
※ 无横向荷载作用时，mx β=0.65+0.35M 2/M 1，取≥0.4，M 1和M 2为端弯矩，取值时考虑弯矩的正负号，且：
21M M ≥
※ 有端弯矩和横向荷载同时作用，构件全长为同号弯矩时，mx β=1；有正负弯矩时，mx β=0.85； ※ 无端弯矩但有横向荷载作用时，当跨度中点有一个横向集中荷载时，mx β=1-0.2N/N Ex ；其他荷载情况
时，mx β=1.0
弯矩平面外的整体稳定验算公式为：
f W M A N x
b x tx y ≤+ϕβϕ （7-63） 其中：tx β为等效弯矩系数；规范规定：
弯矩作用平面外有支承的构件，应根据两相邻支承间构件段内的荷载和内力情况确定：
※ 所考虑构件段内无横向荷载作用时， tx β=0.65+0.35M 2/M 1，取≥0.4，M 1和M 2为所考虑构件段内的端弯
矩，取值时考虑弯矩的正负号，且：21M M ≥
※ 所考虑构件段内有端弯矩和横向荷载同时作用，构件段内为同号弯矩时，tx β=1；有正负弯矩时，
tx β=0.85；
※ 所考虑构件段内无端弯矩但有横向荷载作用时，tx β=1.0 悬臂构件，tx β=1
实腹式双向压弯构件的整体稳定验算公式为：
f W M N N W M A N
f W M N N W M A N
x
bx x tx Ey y y y
my y y by y ty Ex x x x mx x ≤+-+≤+-+1111)/8.01()/8.01(ϕβγβϕϕβγβϕ
（7-64）
其中：y x ϕϕ,为绕x 轴和绕y 轴的轴心受压构件的整体稳定系数；
by bx ϕϕ, 为绕x 轴和绕y 轴的受弯构件整体稳定系数；对工字形截面，x 轴一般为强轴，认为M y
一般不会引起绕强轴的侧箱弯扭失稳，故by ϕ=1.0；对箱形截面，取4.1==by bx ϕϕ。

二、压弯构件的局部稳定
1、压弯构件翼缘的宽厚比限值
工字形、T 形等，
弹塑性设计时y f t b /23513/≤'；弹性设计时y f t b /23515/≤' 箱形：y f t b /23540/0≤ 2、压弯构件腹板的高厚比限值
工字形时
当6
.100≤≤α时 y x w f t h /235)255.016(/00++≤λα (7-65) 当
0.26.10≤<α时， y x w f t h /235)2.265.048(/00-+≤λα (7-66)
其中：max min max 0/)(σσσα-=，
为腹板压应力不均匀分布的梯度。

当min σ为拉应力时取负值。

当x λ<30时，取30；当x λ>100时，取100；
T 形时，
当0.10≤α时， y w f t h /23515/0≤ （7-67）
当0.10>α时， y w f t h /23518/0≤ (7-68) 箱形：当6.100≤≤α时， y x w f t h /235)255.016(8.0/00++≤λα (7-69) 当0.26.10≤<α时,
y x w f t h /235)2.265.048(8.0/00-+≤λα
(7-70) 取y f /23540≥ 第四节 梁的整体稳定和局部稳定验算算例
一、例题一
有一个跨度为9m 的工作平台简支梁，承受均布永久荷载q 1=42kN/m ，各可变荷载共q 2=50kN/m 。

采用Q235钢，安全等级为二级，梁高不受限制。

已知梁的截面尺寸为1000×8×320×12，梁总高1024mm 。

试计算梁的局部稳定。

解：h 0=1000mm ，t w =8mm ，W x =5143cm 3
因为1701258/1000/800<==<w t h
所以应根据计算设置横向加劲肋。

取加劲肋间距a ＝1.5m<2h=2m
1、 按相关公式进行计算
验算靠支座第一区段和跨中区段
第一区段的内力：M 1=501×0.8-111.4×0.8×0.4=365kN ·m
V 1=501-111.4×0.8=412kN
跨中区段的内力：M 1=501×3.75-111.4×3.75×1.875=1095.5kN ·m
V 1=501-111.4×3.75=83.3kN
验算第一区段：
验算跨中区段：
所以加劲肋间距满足要求。

2、 按简化公式计算
第一区段：m kN M ⋅=⨯⨯-⨯='
5005.01.04.1111.05011
横向加劲肋间距按构造取a ＝2h=2m
跨中区段：m kN M ⋅=⨯⨯-⨯='108475.15.34.1115.35012 横向加劲肋间距按构造取a ＝2h=2m
为了保证梁的整体稳定，需在梁的跨中设一道侧向支撑，因此，横向加劲肋的布置只能取a=1.5m 。