导数及其应用(二轮学案)

导数及其应用
一 典型例题：
例1 如果函数y ＝f(x)的图象如右图，那么导函数y ＝f '(x)的图象可能是 （ ）
例2已知函数
.21)(23c bx x x x f ++-= （1）若)(x f 有极值，求b 的取值范围；
（2）若)(x f 在1=x 处取得极值时，当2)(,]2,1[c x f x <-∈时恒成立，求c 的取值范围；
(3)若)(x f 在1=x 处取得极值时，证明：对[－1，2]内的任意两个值12,,x x 都有127|()()|2f x f x -≤
． 例3【烟台·理科】 设函数),(2131)
(22R b a bx ax x x g ∈-+=，在其图象上一点P （x ，y ）处的切线 的斜率记为).(x f
（1）若方程)(,420)(x f x f 求和有两个实根分别为-=的表达式；
（2）若22,]3,1[)(b a
x g +-求上是单调递减函数在区间的最小值。

例4已知
()ln f x x x =. (1)求函数()y f x =的图象在x e =处的切线方程；
(2)设实数0a
>,求函数()()f x F x a
=在[,2]a a 上的最小值； (3)证明:对一切(0,+)x ∈∞,都有12ln x x e ex
>-成立. 例5已知函数)0(ln )(>+=a x a x x f （1）求)(x f 的极值；
（2）若函数
)(x f 的图象与函数)(x g =1的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围.
练习：1设函数
()()1ln 2++=x b x x f ，其中0≠b . （1）若12-=b
，求()x f 的单调递增区间；
（2）如果函数()x f 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围；
（3）求证对任意的*N n ∈,不等式311ln
n n n n ->+恒成立。

2已知函数
2()ln(1)(1)f x a x x =+++在1x =处有极值．
（Ⅰ）求实数a 值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）试问是否存在实数m ，使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈- 及
[]1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.() 71828
.2=e 3设函数()()1ln 2++=x b x x f ，其中0≠b .
（1）若12-=b
，求()x f 的单调递增区间； （2）如果函数()x f 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围；
（3）求证对任意的*N n ∈,不等式311ln
n n n n ->+恒成立。

4已知函数()2ln bx x a x f -=图象上一点P （2，f (2)）处的切线方程为22ln 23++-=x y ．
（Ⅰ）求b a ,的值；
（Ⅱ）若方程
()0=+m x f 在1[,e]e 内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底，e 2.7≈
）； （Ⅲ）令()()g
x f x nx =-，如果()x g 图象与x 轴交于()()()21210,,0,x x x B x A <，AB 中点为()0,0x C ，求证：()00g x '≠．
5已知函数)0()(>+
=x x t x x f ,过点P(1,0)作曲线)(x f y =的两条切线PM ,PN ,切点分别为M ,N ． （1）当2=t 时，求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）设|MN |=)(t g ，试求函数)(t g 的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64,2[n
n +内，总存在m ＋1个数,,,,,121+m m a a a a 使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，
求m 的最大值．。