一维有限深方势阱和势垒贯穿汇编
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讨论
从一维无限深方势阱 理解有限深方势阱
k2
2mE
2
V (x)
ka n n 1,2,3,
o
En
2 2
2ma 2
n2
n 1,2,3,
V (x) 0,
V (x) ,
ax
0 xa x 0, x a
E1
2 2
2ma2
1 2
2 2
ma2
,
微观能量尺度可以选取 2 2
ma2
微观动量尺度
ka = n
-a/2 a/2 x
对于参考书p47页说明
a)不在讨论为什么势能对称，波函数也对称了。 b) 公式29和30实质上是利用
c) 估计一下公式32的数值大小？ d)纵轴取决于势阱高度，横轴取决于能量，此处
是势阱内部动能。我们让动能变化，看看什 么时候能冲破势阱束缚。
公式右面=
U0 22
U0
2 2
2
STM样品必须具有一定程度的导电性； 在恒流工作模式下有时对表面某些沟 槽不能准确探测。任何一种技术都有 其局限性。
dx2
V0 2
(x)
E2 (x),
定态薛定谔方程 的解又如何呢？
0 xa
2 2m
d
23 (x)
dx2
E3
( x),
xa
令：
k
2
Байду номын сангаас
2mE 2
k12
2m(V0 2
E)
三个区间的薛定谔方程化为：
V
V0
d
21(
dx2
x)
k
21
(
x)
0,
x0
I
d
2 3 (
dx2
x)
k
23
(
x)
0,
xa
II
III
oa x
d
22 (
dx2
x)
k12
2
(
x)
0,
0 xa
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波
反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区，
在III区只有透射波。粒子在 x 0 处的几率要大
于在 x a 处出现的几率。
其解为： 1(x) Aeikx Re ikx,
x0
2 (x) Tek1x , 0 x a
En En1 En
2 2 (2n 1)
2ma2
n1
1.5
2 2
ma2
3 8
2 2
m
a 2
2
因此，如果是微观粒子，m,a很小，E1也很小，使用相对 尺度来测量能量，而不是用绝对的能量单位来表达，
更直观。
一维方势阱
势阱外部 势阱内部
§2.4 一维方势阱
➢ 一维方势阱
E<U0
U0 V (x)
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(2)
势垒贯穿（隧道效应）
V
V (x) 0, x 0, x a
V0
V (x) V0 ,
0 xa
在经典力学中,若E V0 ,粒子的动能
为正,,它只能在 I 区中运动。
I II III
Oa x
2 2m
d
21 ( x)
dx2
E1 ( x),
x0
2 2m
d
22 (x)
根据边界条件： 3(x) Ceikx, x a
1(0) 2 (0)
d1(x)
dx
|x0
d2 (x)
dx
|x0
2(a) 3(a)
d2 (x)
dx
|xa
d3 ( x)
dx
|xa
求出解的形式画于图中。 定义粒子穿过势垒的贯穿系数：
隧道效应
V
P | 3(a) |2
V0
| 1(0) |2
P
| 2(a) |2 | 2 (0) |2
2
=
U0
=某个常数
2 2 2
ma2
ma2
2
ma2
微观能量尺度 2 2
ma2
一维方势阱偶宇称能谱图
正确读图方法: 1、只留一条圆，因 为该圆半径由 势能高度决定。 2、一条圆与各周期 函数的交点，自左至 右，对应能级个数， 对应能级升高。 3、当半径很大时， 低能级交点首先pai/2 线，也就是趋近无穷 深势阱，为什么？
§2.4 一维方势阱
b)奇宇称 波函数为sin(kx)
结论:当
时才有解(见下一页图)
一维方势阱奇宇称能谱图
一维方势阱
c)当势场趋于无穷时,回到一维无限深势阱的特例
波函数的确定以及在非经典区间 内的衰减
衰减与动能有 关，动能越大 ，衰减越慢。
P47，公式29确定了A与D的关系，则公式 28所对应的全空间波函数仅有一个未定常 数，在全空间分段求函数的归一化，则可 以确定这个常数。至此，波函数与能量全 部确定。
的三维图象
使人类第一次能够实时地观 测到单个原子在物质表面上 的排列状态以及与表面电子 行为有关的性质。在表面科 学、材料科学和生命科学等 领域中有着重大的意义和广 阔的应用前景。
空气隙
样品 STM工作示意图
利用光学中的受抑全反射理论，研制 成功光子扫描隧道显微镜（PSTM)。 1989年提出成象技术。 它可用于不导电样品的观察。
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于 表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。
只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖之间 加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势 垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布；
利用STM可以分辨表面上 原子的台阶、平台和原子 探针 阵列。可以直接绘出表面
T exp(2k1a) T exp(2k10)
I
II
III
oa x
exp(2k1a)
exp(
2a
2m(V0 E))
当V0 E 5eV 时，势垒的宽度约50nm 以上时， 贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在
实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。
• 隧道效应和扫描隧道显微镜STM Scanning tunneling microscopy
从一维无限深方势阱 理解有限深方势阱
k2
2mE
2
V (x)
ka n n 1,2,3,
o
En
2 2
2ma 2
n2
n 1,2,3,
V (x) 0,
V (x) ,
ax
0 xa x 0, x a
E1
2 2
2ma2
1 2
2 2
ma2
,
微观能量尺度可以选取 2 2
ma2
微观动量尺度
ka = n
-a/2 a/2 x
对于参考书p47页说明
a)不在讨论为什么势能对称，波函数也对称了。 b) 公式29和30实质上是利用
c) 估计一下公式32的数值大小？ d)纵轴取决于势阱高度，横轴取决于能量，此处
是势阱内部动能。我们让动能变化，看看什 么时候能冲破势阱束缚。
公式右面=
U0 22
U0
2 2
2
STM样品必须具有一定程度的导电性； 在恒流工作模式下有时对表面某些沟 槽不能准确探测。任何一种技术都有 其局限性。
dx2
V0 2
(x)
E2 (x),
定态薛定谔方程 的解又如何呢？
0 xa
2 2m
d
23 (x)
dx2
E3
( x),
xa
令：
k
2
Байду номын сангаас
2mE 2
k12
2m(V0 2
E)
三个区间的薛定谔方程化为：
V
V0
d
21(
dx2
x)
k
21
(
x)
0,
x0
I
d
2 3 (
dx2
x)
k
23
(
x)
0,
xa
II
III
oa x
d
22 (
dx2
x)
k12
2
(
x)
0,
0 xa
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波
反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区，
在III区只有透射波。粒子在 x 0 处的几率要大
于在 x a 处出现的几率。
其解为： 1(x) Aeikx Re ikx,
x0
2 (x) Tek1x , 0 x a
En En1 En
2 2 (2n 1)
2ma2
n1
1.5
2 2
ma2
3 8
2 2
m
a 2
2
因此，如果是微观粒子，m,a很小，E1也很小，使用相对 尺度来测量能量，而不是用绝对的能量单位来表达，
更直观。
一维方势阱
势阱外部 势阱内部
§2.4 一维方势阱
➢ 一维方势阱
E<U0
U0 V (x)
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(2)
势垒贯穿（隧道效应）
V
V (x) 0, x 0, x a
V0
V (x) V0 ,
0 xa
在经典力学中,若E V0 ,粒子的动能
为正,,它只能在 I 区中运动。
I II III
Oa x
2 2m
d
21 ( x)
dx2
E1 ( x),
x0
2 2m
d
22 (x)
根据边界条件： 3(x) Ceikx, x a
1(0) 2 (0)
d1(x)
dx
|x0
d2 (x)
dx
|x0
2(a) 3(a)
d2 (x)
dx
|xa
d3 ( x)
dx
|xa
求出解的形式画于图中。 定义粒子穿过势垒的贯穿系数：
隧道效应
V
P | 3(a) |2
V0
| 1(0) |2
P
| 2(a) |2 | 2 (0) |2
2
=
U0
=某个常数
2 2 2
ma2
ma2
2
ma2
微观能量尺度 2 2
ma2
一维方势阱偶宇称能谱图
正确读图方法: 1、只留一条圆，因 为该圆半径由 势能高度决定。 2、一条圆与各周期 函数的交点，自左至 右，对应能级个数， 对应能级升高。 3、当半径很大时， 低能级交点首先pai/2 线，也就是趋近无穷 深势阱，为什么？
§2.4 一维方势阱
b)奇宇称 波函数为sin(kx)
结论:当
时才有解(见下一页图)
一维方势阱奇宇称能谱图
一维方势阱
c)当势场趋于无穷时,回到一维无限深势阱的特例
波函数的确定以及在非经典区间 内的衰减
衰减与动能有 关，动能越大 ，衰减越慢。
P47，公式29确定了A与D的关系，则公式 28所对应的全空间波函数仅有一个未定常 数，在全空间分段求函数的归一化，则可 以确定这个常数。至此，波函数与能量全 部确定。
的三维图象
使人类第一次能够实时地观 测到单个原子在物质表面上 的排列状态以及与表面电子 行为有关的性质。在表面科 学、材料科学和生命科学等 领域中有着重大的意义和广 阔的应用前景。
空气隙
样品 STM工作示意图
利用光学中的受抑全反射理论，研制 成功光子扫描隧道显微镜（PSTM)。 1989年提出成象技术。 它可用于不导电样品的观察。
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于 表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。
只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖之间 加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势 垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布；
利用STM可以分辨表面上 原子的台阶、平台和原子 探针 阵列。可以直接绘出表面
T exp(2k1a) T exp(2k10)
I
II
III
oa x
exp(2k1a)
exp(
2a
2m(V0 E))
当V0 E 5eV 时，势垒的宽度约50nm 以上时， 贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在
实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。
• 隧道效应和扫描隧道显微镜STM Scanning tunneling microscopy