一维有限深方势阱和势垒贯穿汇编

-a/2 a/2 x
对于参考书p47页说明
a)不在讨论为什么势能对称，波函数也对称了。 b) 公式29和30实质上是利用
c) 估计一下公式32的数值大小？ d)纵轴取决于势阱高度，横轴取决于能量，此处
是势阱内部动能。我们让动能变化，看看什 么时候能冲破势阱束缚。
公式右面=
U0 22
U0
2 2
2
2
=
U0
=某个常数
2 2 2
ma2
ma2
2
ma2
微观能量尺度 2 2
ma2
一维方势阱偶宇称能谱图
正确读图方法: 1、只留一条圆，因 为该圆半径由 势能高度决定。 2、一条圆与各周期 函数的交点，自左至 右，对应能级个数， 对应能级升高。 3、当半径很大时， 低能级交点首先pai/2 线，也就是趋近无穷 深势阱，为什么？
En En1 En
2 2 (2n 1)
2ma2
n1
1.5
2 2
ma2
3 8
2 2
m
a 2
2
因此，如果是微观粒子，m,a很小，E1也很小，使用相对 尺度来测量能量，而不是用绝对的能量单位来表达，
更直观。
一维方势阱
势阱外部 势阱内部
§2.4 一维方势阱
➢ 一维方势阱
E<U0
U0 V (x)
根据边界条件： 3(x) Ceikx, x a
1(0) 2 (0)
d1(x)
dx
|x0
d2 (x)
dx
|x0
2(a) 3(a)
d2 (x)
dx
|xa
d3 ( x)
dx
|xa
求出解的形式画于图中。 定义粒子穿过势垒的贯穿系数：
隧道效应
V
P | 3(a) |2
V0
| 1(0) |2
P
| 2(a) |2 | 2 (0) |2
§2.4 一维方势阱
b)奇宇称 波函数为sin(kx)
结论:当
时才有解(见下一页图)
一维方势阱奇宇称能谱图
一维方势阱
c)当势场趋于无穷时,回到一维无限深势阱的特例
波函数的确定以及在非经典区间 内的衰减
衰减与动能有 关，动能越大 ，衰减越慢。
P47，公式29确定了A与D的关系，则公式 28所对应的全空间波函数仅有一个未定常 数，在全空间分段求函数的归一化，则可 以确定这个常数。至此，波函数与能量全 部确定。
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(2)
势垒贯穿（隧道效应）
V
V (x) 0, x 0, x a
V0
V (x) V0 ,
0 xa
在经典力学中,若E V0 ,粒子的动能
为正,,它只能在 I 区中运动。
I II III
Oa x
2 2m
d
21 ( x)
dx2
E1 ( x),
x0
2 2m
d
22 (x)
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于 表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。
只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖之间 加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势 垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布；
利用STM可以分辨表面上 原子的台阶、平台和原子 探针 阵列。可以直接绘出表面
讨论
从一维无限深方势阱 理解有限深方势阱
k2
2mE
2
V (x)
ka n n 1,2,3,
o
En
2 2
2ma 2
n2
n 1,2,3,
V (x) 0,
V (x) ,
ax
0 xa x 0, x a
E1
wenku.baidu.com
2 2
2ma2
1 2
2 2
ma2
,
微观能量尺度可以选取 2 2
ma2
微观动量尺度
ka = n
dx2
V0 2
(x)
E2 (x),
定态薛定谔方程 的解又如何呢？
0 xa
2 2m
d
23 (x)
dx2
E3
( x),
xa
令：
k
2
2mE 2
k12
2m(V0 2
E)
三个区间的薛定谔方程化为：
V
V0
d
21(
dx2
x)
k
21
(
x)
0,
x0
I
d
2 3 (
dx2
x)
k
23
(
x)
0,
xa
II
III
oa x
d
T exp(2k1a) T exp(2k10)
I
II
III
oa x
exp(2k1a)
exp(
2a
2m(V0 E))
当V0 E 5eV 时，势垒的宽度约50nm 以上时， 贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在
实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。
• 隧道效应和扫描隧道显微镜STM Scanning tunneling microscopy
22 (
dx2
x)
k12
2
(
x)
0,
0 xa
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波
反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区，
在III区只有透射波。粒子在 x 0 处的几率要大
于在 x a 处出现的几率。
其解为： 1(x) Aeikx Re ikx,
x0
2 (x) Tek1x , 0 x a
STM样品必须具有一定程度的导电性； 在恒流工作模式下有时对表面某些沟 槽不能准确探测。任何一种技术都有 其局限性。
的三维图象
使人类第一次能够实时地观 测到单个原子在物质表面上 的排列状态以及与表面电子 行为有关的性质。在表面科 学、材料科学和生命科学等 领域中有着重大的意义和广 阔的应用前景。
空气隙
样品 STM工作示意图
利用光学中的受抑全反射理论，研制 成功光子扫描隧道显微镜（PSTM)。 1989年提出成象技术。 它可用于不导电样品的观察。