第二章传递函数讲解

由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为
F (s) L[1(t)] 1 estdt 0


1 s
est
|0
1 s
求指数函数e-αt的象函数。
解:
F (s) L[eat ] e e at stdt e(sa)tdt
0
0


s
1

e( sa )t
0 [ f1(t)
f2 (t)]estdt

0
f1(t)estdt
0
f2 (t)estdt
L[ f1(t)] Lf2 (t)] F1(s) F2 (s)
2) 比例定理 K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变
换的K倍。 即
L［Kf(t)］=K L［f(t)］= K F(s)
R1C2
dU 2 dt
R2C2
dU 2 dt
U2
R1 R2 C1C 2
d 2U 2 dt 2
(R1C1

R1C2

R2C2
)
dU dt
2
U2
U1
这就是RC组成的四端网络的数学模型，是 一个二阶线性微分方程。
例2-2 图示是弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。
试列写质量m在外力F（t）作用下，位移x(t)
（2）外作用的数值增大若干倍时，响应也增加同样的倍
数。
可叠加性和齐次性使线性系统的分析和设计大为简化。
3、非线性元件（环节）微分方程的线性化 在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系
统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方 程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便 是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若 干个输入引起的输出叠加得到。
的运动方程。
解：f--阻尼系数 k--弹性系数
根据牛顿第二定律
F(t)
F2
m
dy(t)
式中 F1 (t) f dt
F2 (t) k y(t)
F1
x(t) f
整理后
[需要讨论的几个问题]：
1、相似系统和相似量：
我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样
的。这是因为：若令 q id（t 电荷），则例2-1①式的
(s pn )
br
[ B(s) (s A(s)
p1 )r ]s p1
br 1

{d ds
[ B(s) A(s)
(s

p1 )r
]}s p1
b1

(r
1
d r 1
{
1)! dsr1
[ B(s) A(s)
(s

p1 )r
]}s p1
例
求F (s)

s2
s 2 的反变换。 4s 3
解：
F (s)

s2
s2 4s
3

C1 s 1
开环控制系统 优 结构简单 点 价格便宜
调试简单
缺 准确性差 点 反应慢
不抗干扰 元件变化影响大
闭环控制系统
准确、精度高 反应灵敏、快速 抗干扰元件变化影响 小
结构复杂 成本高 调试复杂
控制系统中的变量（信号）：
1 输出变量 被控制量 输出信号 2 输入变量 输入信号 参考输入 3 干扰量 干扰信号 4 偏差信号 5 其它信号
1 C1
(i1 i2 )dt
R2i2 U c2
②①RC组U成的 c2四端C网 12络 i2 dt
③ U 2 U c2
④ ⑤
由④、⑤得
i2
C2
dU c 2 dt
C2
dU 2 dt
由②导出
i1

C1
dU c1 dt
i2
C1
dU c1 dt
C2
dU 2 dt
将i1、i2代入①、③，则得
… L［f (n)(t)］=snF(s) - sn-1f (0) - … - f (n-1)(0)
若具有零初始条件， 即
f(0)=f’(0)=…=f (n-1)(0)=0
则: L［f’(t)］=sF(s) L［f″(t)］=s2F(s) … L［f(n)(t)］=snF(s)
（二）拉氏反变换
按定义求拉氏反变换很困难，一般常用部分分
[非线性系统]如果不能应用叠加原理--非线性
例如：
d2x dt 2

( dx)2 dt

x

Asin t,
d 2 x (x2 1) dx x 0,
dt 2
dt
d2x dt 2

dx dt

x

x3

0
在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项 可以得到等效的线性环节
设具有连续变化的非线性函数 y=f(x)如图所示
点附近的非线性情况及变量变化范围有关。
三、线性定常微分方程的求解 （一）复习拉氏变换
①拉氏变换的物理意义
拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数 F(s)，或作相反变换。
时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。 变量s又称“复频率”。
拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的 联系。
证:
L[Kf (t)] [Kf (t)]estdt 0
K f (t)estdt KF(s) 0
53s)域微微分分定性理：：若f (t) L F (s) 则：
则L［ft’f ((tt))］=L sF(sd)-Ff((0s))
证
L[
f
(t
)]
程的解为 就有当 f
c2
(t)
(t

)。
f1 (t
)

f1 (t)
时，解
c(t) c1 (t) c2 (t)
（可叠加性）
当 f (t) af1(t)（a 为常数）时，解 c(t) ac1(t)
（齐次性）
叠加原理说明，对于线性系统
（1）两个外作用同时加于系统所产生的总响应等于各个
外作用单独作用时分别产生的响应之和；
式法计算：
F(s) 分解 部分分式 查表 原函数
F(s) 的一般形式为
F (s)

B(s) A(s)

b0sm b1sm1 bm1s bm sn a1sn1 an1s an
其中a1，a2 ，an及b0，b1 bm均为实数
m、n为正数，且m n
A(s) (s s1 )(s s2 )(s sn ) si (i 1,, n)是A(s) 0的根。
|0
s
1

常用函数的拉氏变换对照表
④性质：
1) 叠加定理：两个函数代数和的拉氏变换等 于两个函数拉氏变换的代数和。 即
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
L[ f1(t) f2 (t)] L[ f1(t)] L[ f2 (t)]
F1(S) F2 (S)
证:
L[ f1(t) f2(t)]

2-1 控制系统的时域数学模型
一、线性元件的微分方程
建立系统或元件的微分方程的步骤：
1）确定系统或元件的输入量和输出量 2）依据各个变量之间遵循的物理或化学定律，列
出一组微分方程 3）消去中间变量，写出系统输入和输出变量的微
分方程 4）对微分方程进行整理，写成标准形式，即输出
量放左边，输入量放右边，按降幂排列
例2-1：如图所示，由一RC组成的四端无源网络。
试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量
的网络微分方程。
R1
R2
U1
C1
C2
U2
图2-1 RC组成的四端网络
解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写
方程如下：
R1
R2
U1 I1 C1
I2 C2
U2
U1
U c1
U c1



R1i1 U c1图2-1
②定义： 设函数f(t)满足
①t<0时 f(t)=0 ②t>0时，f(t)连续，则f(t)的拉氏变换存在，表示为：
F(s) L[ f (t)] f (t )esdt 0
拉氏变换函数 （象函数）
原函数
衰减因子，其中： τ-时间常数 s = -σ+jω为拉氏变换
算子，其中： σ-衰减系数 ω-振荡频率（rad/s）
结果变为：
d 2q L dt2
R dq dt
1 C
q
ui
可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同
类型的系统也可以有相同形式的数学模型。
[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统
例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中
x, F, m,
f
,k
分别与
q,ui , L, R,
数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。
控制系统的数学模型: 描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。
数学表达式： 代数方程、微分方程 静态数学模型 ：系统变量之间与时间无关的静态关系 动态数学模型： 系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性
控制系统数学模型的类型
时域（t）模型 复域（S）模型

L
d dt
f (t)
ds
est d f (t)dt
0 dt
estdf (t) 0

f (t)est
|0

0
f (t)(s)estdt
f (0) s f (t)estdt 0
sF (s) f (0)
L［f’(t)］=sF(s) – f (0) 同 理 ： L ［ f″(t) ］ =s2F(s) - sf (0) - f′(0)
s pn
B(s)
[a1s a2 ]s p1
[ (s A(s)
p1)(s
p2 )]s p1
◆F(s)含有多重极点时，可展开为
F(s) br br1 b1 ar1 an
(s p1 )r (s p1)r1
(s p1) (s pr1)
U1 R1 R2 i2 U c2

R1 (C1
dU c1 dt
C2
dU 2 dt
)
R2C2
dU 2 dt
U2

R1[C1
d dt
(R2i2
U2 ) C2
dU2 ] dt
R2C2
dU 2 dt
U2

R1C1 R2 C 2
d 2U 2 dt 2
R1C1
dU 2 dt
建立控制系统数学模型的方法:
分析法(又称机理建模法)是根据组成系统各元 件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如： 电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定 理，热力学中的热力学定理等。对于系统结构 以知的常用此法。
实验法(又称系统辨识)是根据元件或系统对某 些典型输入信号的响应或其他实验数据建立数 学模型，当元件或系统比较复杂，其运动特性 很难用几个简单的数学方程表示时，实验法就 显得非常重要了。
若取某一平衡状态为工作点， 如下图中的A(x0,y0)。A点附 近有点为A(x0+Dx,y0+Dy)，当 Dx很小时，AB段可近似看做线 性的。
y
y0 y0
y0
0
B y f (x)
A
x0 x0 x x
[注意]： （1）实际的工作情况在工作点（稳定的工作状态，即
平衡态）附近。 （2）变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作
◆ F(s)中具有不同的极点时，可展开为
F (s) a1 a2 an
s p1 s p2
s pn
B(s)
待定系数
ak
[ (s A(s)
pk )]s pk
◆F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
F(s) a1s a2 a3 an
(s p1)(s p2 ) s p3
微分方程
传递函数
结构图=原理图 ＋传递函数
常见数学模型： 时域：微分方程；差分方程；状态方程 复数域：传递函数 频域：频率特性
频域（ω）模型 频率特性
表达形式 时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性
线性系统
拉氏
傅氏
变换
变换
传递函数
微分方程
频率特性
对控制系统的基本要求
稳定----控制系统可以工作的必要条件 响应快----动态过程快速、平稳 准确----稳态误差小

稳快准
第二章 自动控制系统的数学模型
控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式 脉冲响应函数 各种数学模型的相互转换
1 C
为相似量。
[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统
来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。
2、线性系统的特点
线性系统的主要特点：可叠加性和齐次性（叠加原理）
叠加原理：设线性微分方程 c(t) c(t) c(t) f (t)
如 f (t) f1(t) 时方程的解为 c1 (t) ，f (t) f 2 (t) 时方
物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对 它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化 后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是有 条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出合 理的物理模型。
数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输 出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。