函数的上下极限和应用 数学毕业论文

2012届本科毕业论文函数的上下极限及其应用
学院：数学科学学院
专业班级：数学与应用数学08班学生姓名：
指导教师：
答辩日期：2012年5月 3 日
新疆师范大学教务
目录
引言 (1)
1. 数列上下极限的基本概念 (1)
2．函数上下极限的定义及等价述 (2)
3．单侧上，下极限 (6)
4.函数上，下极限的不等式 (6)
总结 (6)
5.函数得上下极限列题 (6)
参考文献 (8)
函数的上下极限及其应用
摘要：数列的上、下极限和函数的上、下极限是数列极限和函数极限的进一步加深和推广，所以我们将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题.
关键词：函数；数列；上极限；下极限
引言
数列的上、下极限对于研究数列的性质有重要作用，本文将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题.
.1数列上下极限的基本概念
定义：数列{}n x 的上，下极限可用εδ-语言来描述如下：数lim n x μ=意指如下两条件成立：
a ）ε∀> 0，n x 终<εμ+（即ε∀> 0，∃N> 0当n > N 时，恒有n x <εμ+） （此条等价于：∀c>μ，n x 终<c ）。

b ）ε∀> 0，n x 常>με-（即ε∀> 0，∀N> 0，∃n > N ，使得n x >με-） （此条等价于：∀c<μ，n x 常>
c ）。

同样，lim n n x λ→∞
=意指：
a ')ε∀> 0，n x 终>λε- .
b ') ε∀> 0, n x 常<λε+.
另外，当且仅当{}n x 上无界时，规定lim n n x →∞
=+∞；当且仅当lim n n x →∞
=+∞时，
规定lim n n x →∞
=lim n n x →∞
=+∞；当且仅当{}n x 下无界时，规定lim n
n x →∞
=-∞；当且仅
当lim n
n x →∞
=-∞时，规定lim lim n n n n x x ∞
→→∞
==-∞.
定理：1.任一有界数列，存在收敛的子数列（一下称之为致密性原理）.任何数列都有广义收敛子数列（广义收敛，意指及极限允许为无穷大）. 2.数列{}n x 的上极限的特征是：
a ）∃子数列{k n x }使得lim lim k
n
n k n x x →∞
→∞
=.
b ）对于{}n x 的任一收敛子数列{k n x }，恒有lim lim k n n k n x x →∞
→∞
≤. 同样，下极限lim n x 特征是：
a ')∃子数列{k n x }，使lim k n k x →∞
lim n n x →∞
=.
b '）∀收敛子数列{k n x }，有lim k n k x →∞
≥lim n n x →∞
.
3.如{k n x }是{}n x 的子数列，则
lim k n k x →∞
lim n n x →∞
≤，lim k n k x →∞
lim n n x →∞
≥
利用这些，我们可以将上，下极限的问题，通过选子数列的方法解决。

定义：数列的上，下极限，可利用确界的极限来描述：
lim n n x →∞
=limsup inf sup k k n n
k n
k n
x x →∞≥≥=，
lim n n x →∞
lim inf k
n k x →∞≥=k x =supinf k k n
n
x ≥.
（式中k n ≥改换成k >n ，不影响等式成立）.利用这种描述，关于上，下极限的不等式，可以通过建立确界的不等式，取极限得到。

.2函数的上下极限的定义及等价述
为了引进函数的上，下极限，我们先来定义函数的子极限.
定义 点0x 称为集合E 的聚点，函数f 在集合E 上有定义，数α称为()f x 在
0x 处的子极限（或部分极限），当且仅当∃n x E ∈0()n x x ≠(1,2....)n =使得0
n x x →且
()n f x α→（n →∞时）。

例如1）函数()f x =1
sin x
在E={|0}x x ≠上有定义，此时∀[1,1]y ∈-都是函数在0x =处的子极限. 2)当0x →时21()f x x =
1|sin |x 的图像在2
1
y x
=与0y =之间无限次振动，故0x →时，任何0α≥都是()f x 在0x =处的子极限. 3）Dirichlet 函数
1,(1)
()0,(2)D x ⎧=⎨
⎩，（1）当x 为有理数时，（2）当x 无理数时 在任一点x 处，0,1α=都是()D x 的子极限. 现在介绍上，下极限的定义.
定义 设()f x 在集合E 上有定义，0x 是E 的一个聚点，当且仅当数A 为()f x 在0x 处所有子极限的最大者时，A 称为()f x 在0x 处的上极限，记作0
lim x x A →=()f x .
当且仅当()f x 在0x 附近上无界（即：δ∀> 0，M ∀> 0，x E ∃∈，0<0||x x -<δ使得()f x >M ）规定0
lim ()x x f x →=+∞.
类似，子极限的最小者B 定义为()f x 在0x 处的下极限，记作0
lim ()x x f x B →=，当且
仅当()f x 在0x 附近下无界时，规定0
lim ()x x f x →=-∞.
当且仅当0
lim ()x x f x →=+∞时，规定
lim ()x x f x →= 0
lim ()x x f x →=-∞，
对0
lim ()x x f x →=-∞有类似的规定.
下面介绍函数上，下极限的等价描述.
定理1 若()f x 在集合E 上有定义，0x 为E 的一个聚点，()f x 在0x 附近有界，
则如下三条等价： i ) 0
lim ()x x f x A →=.
ii ) ()f x 在0x 附近满足条件： a ）ε∀> 0,∃δ> 0,
当x E ∈，0<0||x x -<δ时，有()f x <A+ε.
b) ε∀> 0, δ∀> 0, ∃x E ∈： 0<0||x x -<δ，
a ）和b)两个关系使得()f x >A-ε
ii ）0
00||lim sup
()x x x E
A f x δδ
+→<-<∈=000||inf sup
()x x x E
f x δδ
<<-<∈=.
证 1()i ii ︒⇒ 因0
lim
()x x f x A →=所以n x E ∃∈0()n x x ≠，(1,2....)n =使得0n x x →，()n f x A →
(当n →∞时).故ε∀> 0，δ∀> 0，0N ∃>，n N >时，有00||n x x δ<-<，
|()|n f x A ε-<.从而ε∀> 0，δ∀> 0，∃x E ∈，既0<0||x x -<δ，又()f x >A-ε，
此即2）中条件b)成立.
现证条件a ），用反证法. 设∃00ε>，1
n n
δ∀=
，∃n x E ∈，虽然00||n x x δ<-<但()n f x A ε≥+.(1,2....)n =. 因有界性，用致密性原理，有收敛子列0{()}k n f x c A ε→≥+（其中c 为某一常数）. 与A 为最大子极限矛盾. 条件a ）
获证.
2︒ (证明ii iii ⇒) 要证明0
00||lim sup
()x x x E
f x A δδ
+→<-<∈=. 亦即：
ε∀> 0，要找00δ>使得10δδ<<时，有
A-ε< 00||sup
()x x x E
f x δ<-<∈< A+ε (1)
1)由已知条件a ）：ε∀> 0，10δ>，当x E ∈，0<0||x x -<1δ时，有()2
f x A ε
<+
.
故 01
0||sup
()x x x E
f x δ<-<∈≤2
A ε
+
< A+ε，
于是，当10δδ<<时，有01
0||sup
()x x x E
f x δ<-<∈≤01
0||sup
()x x x E
f x δ<-<∈< A+ε （2）
2）由已知条件b ），ε∀> 0，δ∀> 0，∃x E ∈有0<0||x x -<δ，()f x A ε>-， 从而更有 01
0||sup
()x x x E
f x δ<-<∈>A ε- （3）
联立（1）和（3）式这就证明了式（1）.因此
01
00||lim sup ()x x x E
f x A δδ
+→<-<∈=.
因为 01
00||()lim sup
()x x x E
M f x δδ
δ+→<-<∈= 是δ的增函数，故
01
00||lim sup
()x x x E
f x δδ+→<-<∈=01
00||inf
sup ()x x x E
f x δδ
><-<∈.
3︒ ()iii i ⇒
已知01
00||lim sup
()x x x E
f x A δδ
+→<-<∈=，故∀
1n 0>,0n δ∃>(不妨取1
n n
δ<)，使得0n δδ<<时，有01
0||1|sup
()|x x x E
f x A n
δ<-<∈-<
. 从而有 01
0||10sup
()x x x E
f x A n
δ<-<∈<-<
. 故 01
0||1
sup
()x x x E
A f x A n
δ<-<∈<<
+. 由此n x E ∃∈，01
0||n n x x n δ<-<<
，使得 1
()n A f x A n
<<+ (1,2....)n =
即n x E ∃∈，0n x x ≠，0n x x →，()n f x A →（当n →∞）故A 为()f x 在0x 处的子极限.
最后来证A 为子极限的最大者. 设B>A 为任一大于A 的实数，则n 充分大时，1
A B n
+<.据（3）式，有
01
0||1
sup
()x x x E
f x A B n
δ<-<∈<+
< 于是对一切x ：00||x x δ<-<，x E ∈，恒有
1
()f x A B n
<+<.
所以不存在n x E ∈，0n x x ≠，0n x x →，使得()n f x B →.故A 是自极限的最大者. 对于函数的下极限有完全类此的结论.
定理 1' 若()f x 在集合E 上有定义，0x 为E 的一个聚点，()f x 在0x 附近有界，则如下三条件等价： i ． 0
lim ()x x f x B →=.
ii ．()f x 在0x 附近满足条件：
a '）ε∀> 0，∃0δ>，当x E ∈，00||x x δ<-<时有 ()B f x ε-<.
b '）ε∀> 0, δ∀> 0, ∃x E ∈，0<0||x x -<δ，使得()f x B ε<+ iii . 01
0||0lim inf ()x x x E
B f x δδ+
<-<→∈==01
0||0sup inf ()x x x E
f x δδ<-<>∈. 推论
1)如()f x 在0x 附近有界，则()f x 在0x 处一定有有限的上，下极限. 2)不论()f x 在0x 附近是否有节，下式总成立： 0
lim
()x x f x →=01
0||lim
sup
()x x x E
f x δδ+
→<-<∈ 01
00||inf
sup ()x x x E
f x δδ
><-<∈=,
lim ()x x f x →=01
0||0lim inf ()x x x E
f x δδ+
<-<→∈01
0||0sup inf
()x x x E
f x δδ<-<>∈=.
3）0
lim ()
x x B f x →=0
lim ()x x f x A →≤=.
4）对于任一子极限α，恒有B A α≤≤.
5) ε∀> 0，∃0δ>，当x E ∈，00||x x δ<-<时有 ()B f x ε-<< A+ε. 6) 0
lim ()x x f x A →=的充要条件是
lim ()x x f x →= 0
lim ()x x f x A →=.
7) 0
lim ()x x f x →= max{ lim ()|n n f x →∞
n x E ∈，（0n x x ≠），0n x x →}，
lim ()x x f x →=min{lim ()|n n f x →∞
n x E ∈，（0n x x ≠），0n x x →}.
.3单侧上，下极限
函数上，下极限的定义中，若0x 仍为E 的聚点，但增加限制0x x >（或0x x <），那么上面定义的上，下极限，便是()f x 在0x 处的右上下极限（左上下极限），可以证明：
lim ()x x f x →=00
max{lim ()x x f x →+，00
lim ()x x f x →-}，
lim ()x x f x →=00
min{lim ()x x f x →+，00
lim ()x x f x →-}.
.4 函数上，下极限的不等式
跟数列上下极限一样，关于极限的四则运算性质，不再成立.但是关于极限的不等式性质，仍被保持：
设()f x ，()g x 在E 上有定义，0x 是E 的一个聚点，若∃0δ>，当00||x x δ<-<，
x E ∈时，()()f x g x ≤，则
lim ()x x f x →0lim ()x x g x →≤，
lim ()x x f x →0
lim ()x x g x →≤.
总结
函数的上，下极限，与数列的上，下极限有完全平行的理念，二者有着密切的内在联系，关于函数的上，下极限的问题，一般可以仿照数列上，下极限的方法来处理，或者利用推论7)中的关系式，把函数的上，下极限的问题，转化为数列上，下极限的问题，通过数列上，下极限的相应结果求解. .5函数得上下极限列题
设()f x ，()g x 在E 上有定义，0x 是E 的一个聚点，则
lim ()x x f x →+0
lim ()x x g x →0
lim(()())x x f x g x →≤+0
lim(()()x x f x g x →≤+.
证I δ∀> 0，x E ∀∈，00||x x δ<-<时，有
inf ()inf ()f x g x +≤()()f x g x +sup ()()f x g x ≤+
（其中确界是在x E ∈，00||x x δ<-<的范围里取得，下面的也一样）.所以
inf ()inf ()f x g x +≤inf(()())f x g x +sup(()())f x g x ≤+
从而有
inf ()inf ()f x g x +≤inf(()())f x g x +sup ()inf ()f x g x ≤+.
最后令0δ+→取极限，便得欲证的不等式.
证II 先利用数列上，下极限的相应不等式，对E 中任一趋向0x 的数列{}n x 有
lim ()n f x +lim ()n g x lim(()())n n f x g x ≤+lim(()n f x ≤+lim ()n g x
然后利用上面的推论7），在此式自左至右取最小，最大值，容易得到欲证得得不等式。

7
参考文献：
[1] 华东师范大学数学系．数学分析（上册）[M]．3 版．北京：高等教育出版社，2001-6月：172-175．
[2] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京：高等教育出版社，2003年3月第8次印刷：52- 71．
[3] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].4版.高等教育出版社，2003年7月第一次印刷：82-85.
[4] 宋国柱.分析中的基本定理和典型方法[M].一版.科学出版社.2004年5月第一次印刷：1-5.
[5]邹应.数学分析[M].高等教育出版社.1995年5月第一次印刷：122-133.
8
致谢
大学五年很快就结束了，在这个宝贵的时间里，我认识了数学科学学院的各位领导，老师和我亲爱的同学们，得到了他们热心的帮助和关心，是我能够顺利的完成我的学业，同时我的道德修养在身边优秀的老师和同学的影响下得到了很大的提高，再次向他们表示我最终的感谢。

在老师的指导下我的毕业论文顺利通过，他帮我批阅了好多次，提供了这方面的资料和很好的意见，非常感谢她的帮助，在老师耐心的指导下，我学会了论文的三步骤：怎么样开头，怎样继续，怎样结束。

非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师，在他们的教育下，使我在各方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础。

9。