复杂网络的自相似性研究

随机化：以概率 p 随机为规则网络的每条边 重新连线，同时保证没有自连结和重连边， 这一过程引进 pNK 条长距离捷径（重新连结的 边）边，它们连结那些拥有不同邻居的部分 节点。当 p =0时，对就的为网络规则图，当 时 p 1，对应的为随机网络图，当 p 介于 （0,1）区间任意值时，模型显示出小世界特 性。

无尺度网络的主要特点为度分布为幂律分布， 极少数节点有大量的连结，而大多数节点只 有很少的连结。同时，无尺度还具有某些重 要特性，可以承受意外的故障，但对恶意攻 击却很脆弱。
3. 自相似性复杂网络

3.1问题的提出 虽然小世界网络、无尺度网络比较准确地把握了现 实世界中网络最基本的特性，但它们仍然存在一定 的局限性。在现实世界中一些网络常常并不具有幂 律特征，如指数中止、小变量饱和等。为了在微观 层面更深入研究复杂网络的拓扑结构和演化规律， 研究人员作了大量新的尝试和努力，对网络的演化 与建模已经有了长足的进展，演化因素包括各种类 型的择优连接、局域世界、适应度[4]、竞争等。
3.2 自相似性网络容量维数

1975 年美国数学系教授曼德布罗特首次提出 了“分形”概念，其原意是“不规则的、非 整数的、支离破碎的”物体，我们把具有某 种自相似性的图形或集合称为分形。 大自然中存在的不规则的物体，可能存在不 同尺度上的相似性，称为自相似性。
自相似性就是局部与整体相似，局部中又 有相似的局部，每一小局部中包含的细节 并不比整体所包含的少，不断重复的无穷 嵌套，形成了奇妙的分形图案，它不但包 括严格的几何相似性，而且包括通过大量 的统计而呈现出的自相似性。 自然界存在大量统计意义下的自相似体， 一般并不知道自相似比。


为了解决这类物体的维数计算，发展了计 算容量相似维数方法。常用的容量维数分 析方法有变方法、结构函数法，自仿射法 以及盒子覆盖算法。其中盒子覆盖算法简 单、快速、精确得到广泛应用。本文采用 盒子覆盖算法来计算网络容量维数。计算 相似比时，采用圆片（或方块）去填充 （或覆盖）被测对象，统计覆盖所需的方 块数来计算其维数。如此方法计算的维数 称为容量维数。
0

m 个节点相连。
优先连结：我们假设每个新节点与节点 i 相 连的概率 k 都依赖于节点 i 的度 k，并且 i 这个概率服从如下的规则：
i

ki
ki kj
j

根据上述步骤重复 t 次后得到一个有 个节点和 mt 条边的网络 。
N t m0

在1999年.Barabási,与Albert用数量模拟表明 具有k条边的节点的概率服从指数为r=3的幂 律分布，如图3：
（1）规则图
（2）小世界
（3）随机图
小世界网络的主要特点： 度分布为指数分布且峰值取平均值，每个节 点有大致相同数目的连结数，平均路径短且 C 聚集系数大如图，其中 L 为平均路径， 为聚集系数。小世界网络介于规则网络和随 机网络之间，它实现了从规则到完全随机之 间的连续演变。
2 .复杂网络模型简介

复杂网络就是具有复杂拓扑结构和动力行为 的大规模网络，它是由大量的节点通过边的 相互连结而构成的图。根据不同的拓扑结构 复杂网络可以分为规则网络，随机网络，小 世界网络，无尺度网络等等 。
2.1 小世界网络模型


1998年，Watts 和Strogatz提出了小世界网 络模型。这个模型介于规则网络和随机网络 之间并在他们之间起桥梁作用。建立网络模 型步骤如下 ： N 初始化：从具有个 节点的环形网络开始， 2k 其中每一节点都与它初始的 个邻居相连 k （在每一边有 个邻居）。

尽管众多的网络演化模型已经被用来分析和 研究可能潜藏的演化规律，但这些研究仍然 忽视了一些重要因素。例如计算机网络节点 之间的连接。如果是按照择优连接概率：则 新的节点会全部连接到同一个节点上，但现 实网络并非如此，而是形成不同的集散节点。 这个例子说明了网络节点之间的连接有可能 是基于一些相似的性质，节点与节点之间有 某种共性才相连。因此建立并研究基于相似 性的网络演化模型有利于我们更好地认识现 实世界中的复杂网络 。

Байду номын сангаас.2 无尺度网络模型


1999年，Barabasi和Albert提出了无尺度网 络模型，它通过增加新的节点而实现连续增 长，同时这些新的节点总是倾向于选择连结 已经具有大量连结的节点。BA模型具体描 述如下： m0 增长性：假设网络最初有 个节点。每一次 加入一个新节点，每次加入的新节点通过 m( m )条新加入的连结边与网络中已有的

如果用长度为 r尺子去测长度为 L的线段，与 L r之比为N 。 N 值的大小与r 长短有关，越小 r N 1 Dc 维物体： N r 越大：。 对于 r

1999年Barabasi和Albert提出了无尺度模型（BA） [3]。BA模型指出了决定互联网、万维网等网络具有 无尺度模型的两个基本原理：增长性和择优连接。 虽然小世界网络与无尺度网络刻画了网络的基本特 性，但它们是基于对现实网络进行简化的前提下得 到的结果。因此我们有必要对复杂网络建模进行深 入研究，使它更加符合现实世界。本文提出了网络 的自相似性，网络通过节点与节点相连汇聚形成， 节点与节点之间是通过某种共性而连接在一起的。 如人际关系之间的“物以类聚，人以群分”。 。
引言 复杂网络模型简介 复杂网络的自相似性研究 仿真分析 结论 参考文献

1.引言

1960年数学家Erdos和Renyi提出了随机图理论，研 究复杂网络中随机的拓扑模型，自此ER模型一直是 研究复杂网络的基本模型。但是，但是近年的研究 发现：现实网络中得到的许多实验数据结果与随机 图模型并不符合，因此需要新的网络模型合理描述 实际网络。1998年Watts和Strgatz提出了小世界 （WS）模型[2]，刻画了真实的网络所兼有的大聚 簇和短平均路径距离的特性。然而现实世界中的网 络还被统计到极少数接点拥有大量的连接，而众多 的接点仅具有少量连接的特性，这些也无法用随机 图模型加以合理解释。