含参函数求零点个数问题

所以这种方式先在演草纸上试一下，看硬分离出的函数是否简洁，再决定是否应用该方 式。当然，这种方式还经常会碰到端点出极值不可求问题，这样就要借助罗必塔法则来就极 值最值了。
（二） 分离成两个函数，其中一个含参一个不含参（软分离）
y = f (x)(含参数m）
令原函数等于
0，对函数进行化简，分离成两个函数，
形式）
Ⅰ 证明：
；（对 lnx 来说，我们需要记住几个特殊的切线，并且要求会证明，方便
我们在后面做题的时候实现快速做题或者提供灵感和答案）
Ⅱ 若 ,讨论函数 的零点个数．
【参考答案】 Ⅰ 证明：设函数
,
,,
由
,得 ,当
时,
；当 时,
,
所以函数在区间 内是增函数,在区间
内是减函数,所以
,即
．
Ⅱ 解法一：借助已知的结论： x2 − x ≥ x −1 ≥ ln x ，可以得到，当 a=1 时有一个交点，a＞1

y
= g(x)
，其中一个
要含参数，一个不含参数，讨论两个函数在参数的作用下有交点个数的情况。
软分离的好处就是分离出的两个函数可以根据需要进行选择，能够选择出相对熟悉，易求 导、求解的函数来处理问题，难点就是两个函数的切点很多时候是方程好列解难求。
在这种分离函数的时候，含参的函数最好是直线（含参的话就是平行线或过定点的旋转直 线），这样就可以通过求切线的方式找出边界值。
（一） 直接分离出参数（硬分离）
y = m(参数）
这种分离是把参数完完全全的分离出来，变成

y
=
f
(x)
的形式。由于 y=m 是一条平行
于 x 轴的直线，所以对 f (x) 图像的要求就不是很高（只要求单调性和渐进线，不要求函数图
像的凸凹性），容易解释清楚，证明完备，所以经常被采用。不足之处就是被强行分离出的函 数 f (x) 可能式子太过庞大和复杂，不太好求导求单调性。
x2
令 h(x) =1− ln x − x2 ，则有 h(1) = 0 ，h′(x) =− 1 − 2x < 0 ，所以在（0,1）上 g′(x) > 0 ，即 g(x) 为 x
增；在（1，+∞）上 g′(x) < 0 ，即 g(x) 为减，所以 ymax = g(1) = −1。又因为，当 x 趋于 0 和∞ 时，y 的取值趋于-∞，所以有图像可得：（此处不易说清楚和说严谨）
在单调区间上找点讨论正负值是此种方法的一个困难点，特别是点不是特殊形式的时候。 在解决这类找点问题的时候，一定要想先把特殊位置的值给求出来备用，比如：0、±1、±a
（见到函数 loga x 的时候）。常用的方式有两种，一种是直接代入，通过参数的放缩来确定正
负，另一种就是借助已经证明的单调性，借助特殊值的正负来确定。特殊值一般是找参数的 k
当 a=1 时有一个交点，a＞1 时有两个交点。
解法四：软分离
=y g(x=) x2 − ax
由
可得，函数可以分离成：
，
= y h= (x) ln x
倍、k 次方等形式，目的是让结果产生一个关于参数的方程，这样可以看做一个新函数，或者
能够把参数消掉，或者是可以方便借助特殊的不等式放缩来实现正负值的判断。总之，找点
是一个困难系数非常大的难点，需要经验的积累和知识的熟练度才能够顺利的解决。
例 1：已知函数
, ．（这是一个对数加幂函数的形式，是一个相对熟悉的
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时有两个交点。这种方式一是可以用来作小题，二是可以帮助我们在用其它方式解题是快速 的找到讨论的分界点。
解法二：零点存在定理
因为函数
, ,（此类形式都是通分，对分子部分进行求根）
令
,得负Leabharlann 舍去 ,在 时,, 单调递增；在
时,
, 单调递减；所以 是函数 的极大值点,也是最大值点,即
,当
时, ,
,此时函数 只有一个零点；当 时,
；
＞
（因为最大值点的正负值不太好直接求出，我们又需要知道这个值的正负，常用的方式有两 种，一种是直接代入，通过参数的放缩来确定正负，另一种就是借助已经证明的单调性，借
助特殊值的正负来确定。本题就是借助单调性和 x=1 出的值来确定极大值点的值的正负的）
,由 Ⅰ 可知,
,
,
,由 Ⅰ 可知,
,
,
（特殊值一般是找参数的 k 倍、k 次方等形式，目的是让结果产生一个关于参数的方程，这样 可以看做一个新函数，或者能够把参数消掉，或者是可以方便借助特殊的不等式放缩来实现 正负值的判断）
含参函数求零点个数问题
开高张文伟 2019.12.16
含参函数求零点（极值点）个数问题，是经常考试的难点、重点问题，下面我们来总结 一下这类问题的常用方法有哪些：
一、图像法
把函数分离成两个函数，通过做图像来看交点的个数。填空选择常采用这种方式，大题一 般采取这种方式会因为证明不严谨被扣除一定的分数，但是相对于依靠零点存在定理来求解 的方式，就显现出来易想、易作、易得分的优势，对求导不擅长的同学，可以优先考虑该种 方法。
如果两曲线相切，应该满足的是两函数共切点、共切线。设切点为 P（x0,y0），则有
y0 = f (x0 )

y0
=
g(x0 )
= k f= ′(x0 )
。 g′(x0 )
二、零点存在定理
大题严谨的证明过程需要借助零点存在性定理来求解。零点存在性定理需要满足函数
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f (x) 在区间（a，b）上单调，并且有 f (a) f (b) < 0 才能说明函数 f (x) 在区间（a，b）上有且
只有一个零点。 求函数的单调区间需要对函数进行求导求根，由于函数里面含有参数，就造成一是求根比
较难，二是求出的根比大小比较难，这就造成在求单调区间的时候需要进行大量的计算和分 类讨论，来确定参数的取值范围不同，造成的单调区间也不相同。当然，在分类讨论的时候， 一定要先观察函数的形式是否有特殊性，是否有特殊的分界点，这样讨论起来可以有一个参 考点，便于我们后面的分类讨论。
所以 在区间
和区间 内各有一个零点；
综上所述,当 时, 解法三：硬分离
有一个零点；当
时, 有两个零点．
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由
可得，函数可以分离成：
y = −a = y g(= x)
ln x − x ，由 g(= x) x
ln x − x 可得 g= ′(x) x
1
− ln x2
x= −1
1− ln x − x2 。（不易证明单调性）