2019-2020学年山东省滨州市惠民县八年级(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年山东省滨州市惠民县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题涂对得3分，满分36分.
1．国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是( )
A ．加拿大，哥斯达黎加，乌拉圭
B ．加拿大，瑞典，澳大利亚
C ．加拿大，瑞典，瑞士
D ．乌拉圭，瑞典，瑞士
2．下列运算正确的是( ) A ．437()a a =
B ．632a a a ÷=
C ．333(2)6ab a b =
D ．5510a a a -=-
3．点(3,4)-与点(1,2)a b -+关于y 轴对称，则222a ab b -+的值为( ) A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
4．如图，在已知的ABC ∆中，按以下步骤作图：
①分别以B 、C 为圆心，以大于1
2
BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M 、N ；②作直
线MN 交AB 于点D ，连接CD ，若CD AC =，50A ∠=︒，则(B ∠= )
A ．50︒
B ．45︒
C ．30︒
D ．25︒
5．下列各式因式分解正确的是( ) A ．32(1)a b ab ab a -=- B ．22244(2)x xy y x y -+-=-+
C ．224(4)(4)x y x y x y -=+-
D ．223(1)(3)x x x x --=+-
6．在单项式2x ，4xy ，2y ，2xy ，24x ，24y ，4xy -，2xy -中任选三个作和，能组成完全平方式的个数是( ) A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7．若a 、b 、c 为一个三角形的三边， 则代数式22
()a c b --的值为( ) A ． 一定为正数
B ． 一定为负数
C ． 可能为正数， 也可能为负数
D ． 可能为零
8．已知多项式x a -与221x x +-的乘积中不含2x 项，则常数a 的值是( ) A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
9．如图，在ABC ∆中，AB AC =，36A ∠=︒，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于
E ，下述结论：①BD 平分ABC ∠；②AD BD BC ==；③BDC ∆的周长等于AB BC +；
④D 是AC 中点．其中正确的命题序号是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①③④
10．如图1，从边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是( )
A ．2222()a ab b a b -+=-
B ．22()()a b a b a b -=+-
C ．2()a ab a a b +=+
D ．2222()a ab b a b ++=+
11．如图，ABC ∆是等边三角形，AD 是BC 边上的高，点E 是AC 边的中点，点P 是AD 上的一个动点，当PC PE +最小时，CPE ∠的度数是( )
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
12．如图，平面直角坐标系中存在点(3,2)A ，点(1,0)B ，以线段AB 为边作等腰三角形ABP ，使得点P 在坐标轴上．则这样的P 点有( )
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
二、填空题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分． 13．请写出一个多项式，并用平方差公式将其分解因式： ． 14．多项式291x kx ++是一个整式的完全平方式，则k = ．
15．等腰ABC ∆的腰AB 边上的中线CD ，把ABC ∆的周长分成12和15两部分，则底边BC 长为 ．
16．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，DE 是AB 的垂直平分线，分别交AB ，BC 于点D ，E ，若30B ∠=︒，3DE =，则BC = ．
17．边长为a 和b 的长方形，周长为14，面积为10，则22a b += ．
18．坐标平面内，点(2,3)A -关于x 轴的对称点是B ，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积是 ． 19．如图，A ，B ，C 三点在同一直线上，分别以AB ，()BC AB BC >为边，在直线AC 的同侧作等边ABD ∆和等边BCE ∆，连接AE 交BD 于点M ，连接CD 交BE 于点N ，连接MN ．以下结论：①AE DC =，②//MN AB ，③BD AE ⊥，④60DPM ∠=︒，⑤BMN ∆是
等边三角形．其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．
20．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则6()a b += ．
三、解答题：本大题共7个小题，满分74分．解答时请写出必要的演推过程． 21．（16分）化简下列各式 （1）434235()(2)x x x x x x -+-
（2）22222[6()3()]3x xy y x x y xy x y +--÷ （3）(21)(21)x y x y +--- （4）2(23)(2)(2)x y x y x y +-+-
22．在计算()()x a x b ++时，甲把错b 看成了6，得到结果是：2812x x ++；乙错把a 看成了a -，得到结果：26x x +-． （1）求出a ，b 的值；
（2）在（1）的条件下，计算()()x a x b ++的结果．
23．如图，是33⨯的正方形网格，将其中两个方格涂黑，使得涂黑后的整个图案是轴对称图形．请在以下备用网格中画出四个不同的图案（如果绕正方形的中心旋转，能重合的图案视为同一种，例如，下列四个图形就属于同一种）．
24．如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，BE 与CD 交与点O ，给出下列四个条件：
①DBO ECO ∠=∠，②BDO CEO ∠=∠，③BD CE =，④OB OC =．
（1）从上述四个条件中，任选两个为条件，可以判定ABC ∆是等腰三角形？写出所有可能的情况．
（2）选择（1）中的某一种情形，进行说明．
25．数形结合是数学学习的一种重要思想方法，我们学习平方差公式、完全平方公式等公式时，课本上用图形面积法验证了公式的正确性．观察下列4个全等的Rt △．
（1）用4个全等的Rt △拼成如图1所示的大正方形，大正方形的面积可以表示为2()a b +，还可以表示为 ，所以2()a b += ，将2()a b +展开整理后，可进一步的得到等式： ． （2）用4个全等的Rt △还可以拼成如图2所示的大正方形，请利用图2证明（1）中等式成立．
（3）若已知Rt △中，8a =，6b =，利用你得到的等式求c 的值．
26．先阅读下列材料，再解答下列问题： 题：分解因式：2()2()1a b a b +-++
解：将“a b +”看成整体，设M a b =+，则原式2221(1)M M M =-+=- 再将“M ”还原，得原式2(1)a b =+-．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照
上面的方法解答下列问题：
（1）因式分解：22(2)9a b a +-= ；22(32)(23)a b a b +-+= ． （2）因式分解：2()2()1x y x y -+-+= ；()(4)4a b a b ++-+= ．
（3）求证：若n 为正整数，则式子2(1)(2)(3)1n n n n ++++的值一定是某一个正整数的平方． 27．如图①，ABC ∆中，AB AC =，B ∠、C ∠的平分线交于O 点，过O 点作//EF BC 交AB 、
AC 于E 、F ．
（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF 与BE 、CF 之间有怎样的关系，并说明理由． （2）如图②，若AB AC ≠，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗？
（3）如图③，若ABC ∆中B ∠的平分线BO 与三角形外角平分线CO 交于O ，过O 点作//OE BC 交AB 于E ，交AC 于F ．这时图中还有等腰三角形吗？EF 与BE 、CF 关系
又如何？说明你的理由．
2019-2020学年山东省滨州市惠民县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题涂对得3分，满分36分.
1．国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是( )
A ．加拿大，哥斯达黎加，乌拉圭
B ．加拿大，瑞典，澳大利亚
C ．加拿大，瑞典，瑞士
D ．乌拉圭，瑞典，瑞士
【解答】解：A 、哥斯达黎加，乌拉圭的国旗都不是轴对称图形．错误； B 、澳大利亚的国旗不是轴对称图形．错误；
C 、加拿大，瑞典，瑞士的国旗都是轴对称图形．正确；
D 、乌拉圭的国旗不是轴对称图形．错误．
故选：C ．
2．下列运算正确的是( ) A ．437()a a =
B ．632a a a ÷=
C ．333(2)6ab a b =
D ．5510a a a -=-
【解答】解：A 、4312()a a =，故此选项错误； B 、633a a a ÷=，故此选项错误； C 、333(2)8ab a b =，故此选项错误；
D 、5510a a a -=-，故此选项正确．
故选：D ．
3．点(3,4)-与点(1,2)a b -+关于y 轴对称，则222a ab b -+的值为( ) A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
【解答】解：点(3,4)-与点(1,2)a b -+关于y 轴对称， 13a ∴-=，24b +=，
解得4a =，2b =．
2222()4a ab b a b ∴-+=-=．
故选：A ．
4．如图，在已知的ABC ∆中，按以下步骤作图：
①分别以B 、C 为圆心，以大于1
2
BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M 、N ；②作直
线MN 交AB 于点D ，连接CD ，若CD AC =，50A ∠=︒，则(B ∠= )
A ．50︒
B ．45︒
C ．30︒
D ．25︒
【解答】解：根据题意得出MN 是线段BC 的垂直平分线， CD BD ∴=，即B BCD ∠=∠． CD AC =， 50CDA A ∴∠=∠=︒， B BCD CAD ∠+∠=∠，
1
252
B CDA ∴∠=
∠=︒． 故选：D ．
5．下列各式因式分解正确的是( ) A ．32(1)a b ab ab a -=- B ．22244(2)x xy y x y -+-=-+
C ．224(4)(4)x y x y x y -=+-
D ．223(1)(3)x x x x --=+-
【解答】解：A 选项没有分解完，不正确； B 选项不正确，
原式2(2)x y =--． C 选项不正确，
原式(2)(2)x y x y =+- D 选项正确．
故选：D ．
6．在单项式2x ，4xy ，2y ，2xy ，24x ，24y ，4xy -，2xy -中任选三个作和，能组成完全
平方式的个数是( ) A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【解答】解：2222()x xy y x y -+=-，2222()x xy y x y ++=+，22244(2)x xy y x y ++=+，
22244(2)x xy y x y -+=-，
故选：A ．
7．若a 、b 、c 为一个三角形的三边， 则代数式2
2
()a c b --的值为( ) A ． 一定为正数
B ． 一定为负数
C ． 可能为正数， 也可能为负数
D ． 可能为零
【解答】解： 首先运用因式分解， 得： 原式()()a c b a c b =-+--． 再根据三角形的三边关系： 两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边 ． 即0a c b -+>，0a c b --<，两数相乘， 异号得负， 故代数式的值小于 0 ． 故选：B ．
8．已知多项式x a -与221x x +-的乘积中不含2x 项，则常数a 的值是( ) A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
【解答】解：232()(21)(2)(21)x a x x x a x a x a -+-=+--++， 不含2x 项， 20a ∴-=，
解得2a =． 故选：D ．
9．如图，在ABC ∆中，AB AC =，36A ∠=︒，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于
E ，下述结论：①BD 平分ABC ∠；②AD BD BC ==；③BDC ∆的周长等于AB BC +；
④D 是AC 中点．其中正确的命题序号是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①③④
【解答】解：AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于E ，
AD BD ∴=，
36ABD A ∴∠=∠=︒， AB AC =， 72ABC C ∴∠=∠=︒， 36CBD ABD ∴∠=∠=︒，
即BD 平分ABC ∠；故①正确； 72BDC C ∴∠=∠=︒， BC BD ∴=，
BC BD AD ∴==，故②正确；
BDC ∴∆的周长为：BC CD BD BC C AD AC BC AB BC ++=++=+=+；故③正确； CD BD <， CD AD ∴<，
D ∴不是AC 中点．故④错误．
故选：A ．
10．如图1，从边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是( )
A ．2222()a ab b a b -+=-
B ．22()()a b a b a b -=+-
C ．2()a ab a a b +=+
D ．2222()a ab b a b ++=+
【解答】解：由图1可知剩余部分的面积22a b =-， 由图2可求长方形的面积()()a b a b =+-，
22()()a b a b a b ∴-=+-，
故选：B ．
11．如图，ABC ∆是等边三角形，AD 是BC 边上的高，点E 是AC 边的中点，点P 是AD 上
的一个动点，当PC PE
∠的度数是()
+最小时，CPE
A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒
【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE PC
+最小，
⊥，
∆是等边三角形，AD BC
ABC
∴=，
PC PB
∴+=+=，
PE PC PB PE BE
即BE就是PE PC
+的最小值，
∆是等边三角形，
ABC
∴∠=︒，
BCE
60
=，
=，AE EC
BA BC
∴⊥，
BE AC
BEC
∴∠=︒，
90
EBC
∴∠=︒，
30
=，
PB PC
∴∠=∠=︒，
30
PCB PBC
∴∠=∠+∠=︒，
60
CPE PBC PCB
故选：C．
12．如图，平面直角坐标系中存在点(3,2)
B，以线段AB为边作等腰三角形ABP，
A，点(1,0)
使得点P在坐标轴上．则这样的P点有()
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
【解答】解：如图，
以A 为圆心，AB 长为半径，画圆，与x 轴有一个交点，
以B 为圆心，AB 长为半径，画圆，与x 轴有两个交点，与y 轴有两个交点，
作AB 的垂直平分线，与x 轴，y 轴各有一个交点，
∴这样的P 点有7个，
故选：D ．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．
13．请写出一个多项式，并用平方差公式将其分解因式： 241(21)(21)x x x -=+- ．
【解答】解：241(21)(21)x x x -=+-
故答案为：241(21)(21)x x x -=+-
14．多项式291x kx ++是一个整式的完全平方式，则k = 6± ．
【解答】解：22961(31)x x x ±+=±，
6k ∴=±．
故答案是：6±．
15．等腰ABC ∆的腰AB 边上的中线CD ，把ABC ∆的周长分成12和15两部分，则底边BC 长为 7或11 ．
【解答】解：如图，在ABC ∆中，AB AC =，且AD BD =．设AB x =，BC y =，
①当15AC AD +=，12BD BC +=时，则1152x x +=，1122
x y +=， 解得10x =，7y =．
②当12AC AD +=，15BC BD +=时，则1122x x +=，1152
x y +=， 解得8x =，11y =，
综上所述，这个三角形的底边BC 的长为7或11．
故答案为：7或11．
16．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，DE 是AB 的垂直平分线，分别交AB ，BC 于点D ，E ，若30B ∠=︒，3DE =，则BC = 9 ．
【解答】解：如图，连接AE ．
DE 垂直平分线段AB ，
EB EA ∴=，
30B BAE ∴∠=∠=︒，
60AEC B BAE ∴∠=∠+∠=︒，
90C ∠=︒，
90EAC EAD ∴∠=∠=︒，
DE AB ⊥，EC AC ⊥，
3ED EC ∴==，
在Rt BDE ∆中，30B ∠=︒，
26BE DE ∴==，
639BC BE EC ∴=+=+=，
故答案为9．
17．边长为a 和b 的长方形，周长为14，面积为10，则22a b += 29 ．
【解答】解：根据题意得：7a b +=，10ab =，
222()229a b a b ab ∴+=+-=，
故答案为：29．
18．坐标平面内，点(2,3)A -关于x 轴的对称点是B ，O 为坐标原点，
则AOB ∆的面积是 6 ． 【解答】解：点(2,3)A -关于x 轴的对称点是B ，O 为坐标原点，
(2,3)B ∴--，
AOB ∴∆的面积是：16262
⨯⨯=． 故答案为：6．
19．如图，A ，B ，C 三点在同一直线上，分别以AB ，()BC AB BC >为边，在直线AC 的同侧作等边ABD ∆和等边BCE ∆，连接AE 交BD 于点M ，连接CD 交BE 于点N ，连接MN ．以下结论：①AE DC =，②//MN AB ，③BD AE ⊥，④60DPM ∠=︒，⑤BMN ∆是等边三角形．其中正确的是 ①②④⑤ （把所有正确的序号都填上）．
【解答】解：在等边ABD ∆和等边BCE ∆中，AB BD =，BC BE =，60ABD CBE ∠=∠=︒， 120ABE DBC ∴∠=∠=︒，
在ABE ∆与DBC ∆中，AB DB ABE DBC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABE DBC SAS ∴∆≅∆，
AE DC ∴=，故①正确；
ABE DBC ∆≅∆，
BAM BDN ∴∠=∠，
60ABD DBE ∠=∠=︒，
AB BD =，
()ABM DBN ASA ∴∆≅∆，
BM BN ∴=，
BMN ∴∆是等边三角形，故⑤正确；
60BMN ∴∠=︒，
BMN ABM ∴∠=∠，
//NM AB ∴，故②正确；
120ABE ∠=︒，AB 不一定等于BE ，
BAM ∴∠不一定等于30︒，
60ABM ∠=︒，
AMB ∴∠不一定等于90︒，
BD ∴不一定垂直AE ；故③错误；
BAM BDP ∠=∠，AMB DMP ∠=∠，
60DPM ABD ∴∠=∠=︒，故④正确；
故答案为：①②④⑤．
20．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则6()a b += 654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++ ．
【解答】解：66542332456()61520156a b a a b a b a b a b ab b +=++++++
故本题答案为：654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++
三、解答题：本大题共7个小题，满分74分．解答时请写出必要的演推过程．
21．（16分）化简下列各式
（1）434235()(2)x x x x x x -+-
（2）22222[6()3()]3x xy y x x y xy x y +--÷
（3）(21)(21)x y x y +---
（4）2(23)(2)(2)x y x y x y +-+-
【解答】解：（1）原式888888x x x x =--=-；
（2）原式32232223222(6633)3(39)33x y x y x y x y x y x y x y x y x y =+-+÷=+÷=+；
（3）原式2222(1)4214x y x x y =--=-+-；
（4）原式22222412941210x xy y x y xy y =++-+=+．
22．在计算()()x a x b ++时，甲把错b 看成了6，得到结果是：2812x x ++；乙错把a 看成了a -，得到结果：26x x +-．
（1）求出a ，b 的值；
（2）在（1）的条件下，计算()()x a x b ++的结果．
【解答】解：（1）根据题意得：22()(6)(6)6812x a x x a x a x x ++=+++=++， 22()()()6x a x b x a b ab x x -+=+-+-=+-，
所以68a +=，1a b -+=，
解得：2a =，3b =；
（2）当2a =，3b =时，2()()(2)(3)56x a x b x x x x ++=++=++．
23．如图，是33⨯的正方形网格，将其中两个方格涂黑，使得涂黑后的整个图案是轴对称图形．请在以下备用网格中画出四个不同的图案（如果绕正方形的中心旋转，能重合的图案视为同一种，例如，下列四个图形就属于同一种）．
【解答】解：符合要求的正方形如图所示：
24．如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，BE 与CD 交与点O ，给出下列四个条件：
①DBO ECO ∠=∠，②BDO CEO ∠=∠，③BD CE =，④OB OC =．
（1）从上述四个条件中，任选两个为条件，可以判定ABC ∆是等腰三角形？写出所有可能的情况．
（2）选择（1）中的某一种情形，进行说明．
【解答】解：（1）上述四个条件中，①③，①④，②③，②④组合可判定ABC ∆是等腰三角形．
（2）选择①③证明．
DBO ECO ∠=∠，BD CE =，DOB EOC ∠=∠，
DOB EOC ∴∆≅∆，
OB OC ∴=，
OBC OCB ∴∠=∠，
ABC ACB ∴∠=∠，
ABC ∴∆是等腰三角形；
25．数形结合是数学学习的一种重要思想方法，我们学习平方差公式、完全平方公式等公式时，课本上用图形面积法验证了公式的正确性．观察下列4个全等的Rt △．
（1）用4个全等的Rt △拼成如图1所示的大正方形，大正方形的面积可以表示为2()a b +，还可以表示为 22c ab +， ，所以2()a b += ，将2()a b +展开整理后，可进一步的得到等式： ．
（2）用4个全等的Rt △还可以拼成如图2所示的大正方形，请利用图2证明（1）中等式成立．
（3）若已知Rt △中，8a =，6b =，利用你得到的等式求c 的值．
【解答】解：（1）如图1所示的大正方形221422
c a b c ab =+⨯⨯⨯=+， 22()2a b c ab ∴+=+，
22222a b ab c ab ∴++=+，
222a b c ∴+=；
故答案为：22c ab +，22c ab +，222a b c +=；
（2）图2所示大正方形面积可以表示为：2c ，也可以表示为2221()42
a b a b a b -+⨯⨯⨯=+． 222c a b ∴=+；
（3）8a =，6b =，且222c a b =+；
10c ∴=
26．先阅读下列材料，再解答下列问题：
题：分解因式：2()2()1a b a b +-++
解：将“a b +”看成整体，设M a b =+，则原式2221(1)M M M =-+=-
再将“M ”还原，得原式2(1)a b =+-．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法解答下列问题：
（1）因式分解：22(2)9a b a +-= ()(5)b a a b -+ ；22(32)(23)a b a b +-+= ．
（2）因式分解：2()2()1x y x y -+-+= ；()(4)4a b a b ++-+= ．
（3）求证：若n 为正整数，则式子2(1)(2)(3)1n n n n ++++的值一定是某一个正整数的平方．
【解答】解：（1）22(2)9a b a +-
(23)(23)a b a a b a =+-++
()(5)b a a b =-+，
22(32)(23)a b a b +-+
[(32)(23)][(32)(23)]a b a b a b a b =++++-+
(55)()a b a b =+-
5()()a b a b =+-，
故答案为：()(5)b a a b -+，5()()a b a b +-；
（2）22()2()1(1)x y x y x y -+-+=-+，
()(4)4a b a b ++-+
2()4()4a b a b =+-++
2(2)a b =+-，
故答案为：2(1)x y -+，2(2)a b +-；
（3）2(1)(2)(3)1n n n n ++++
22(32)(3)1n n n n =++++
222(3)2(3)1n n n n =++++
22(31)n n =++，
即若n 为正整数，则式子2(1)(2)(3)1n n n n ++++的值一定是某一个正整数231n n ++的平方．
27．如图①，ABC ∆中，AB AC =，B ∠、C ∠的平分线交于O 点，过O 点作//EF BC 交AB 、
AC 于E 、F ．
（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF 与BE 、CF 之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图②，若AB AC ≠，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗？
（3）如图③，若ABC ∆中B ∠的平分线BO 与三角形外角平分线CO 交于O ，过O 点作//OE BC 交AB 于E ，交AC 于F ．这时图中还有等腰三角形吗？EF 与BE 、CF 关系又如何？说明你的理由．
【解答】解：（1）图中有5个等腰三角形，
=+，
EF BE CF
∆≅∆，且这两个三角形均为等腰三角形，
BEO CFO
可得EF EO FO BE CF
=+=+；
（2）还有两个等腰三角形，为BEO
∆，
∆、CFO
如下图所示：//
EF BC，
∴∠=∠，
23
又12
∠=∠，
∴∠=∠，
13
∆中，同理可证．BEO
∴∆为等腰三角形，在CFO
∴=+存在．
EF BE CF
（3）有等腰三角形：BEO
=-，
∆、CFO
∆，此时EF BE CF
如下图所示：//
∴∠=∠，
OE BC，56
又45
∴∠=∠，
∠=∠，46
∴∆是等腰三角形，
BEO
在CFO
∆是等腰三角形，
∆中，同理可证CFO
=，OF FC
=，
BE EO
∴=+=+，
BE EF FO EF CF
∴=-
EF BE CF。