函数与导数经典例题(含答案)
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③当 时，原方程有一解 ；
④当 或 时，原方程无解．
（Ⅲ）由已知得 ，
．
设数列 的前n项和为 ，且 （ ）
>
从而有 ，当 时， ．
又
．
即对任意 时，有 ，又因为 ，所以 ．
则 ，故原不等式成立．
3.设函数 ，
~
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数 ，使 对 恒成立．
注： 为自然对数的底数．
【解析】（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。
解：对 求导得 ①
（I）当 ，若
综合①,可知
—
+
0
－
0
+
.
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以, 是极小值点, 是极大值点.
~
（II）若 为R上的单调函数，则 在R上不变号，结合①与条件a>0，知
在R上恒成立，因此 由此并结合 ，知
5.已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。
故有
由此得
所以 ，切线 的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，所以
依题意，方程 有三个互不相同的实数 ，
故 是方程 的两相异的实根。
所以
又对任意的 成立，
特别地，取 时， 成立，得
由韦达定理，可得
对任意的
则
所以函数 的最大值为0。
于是当 时，对任意的 恒成立，
综上， 的取值范围是
（Ⅰ）解：当 时，
*
所以曲线 在点 处的切线方程为
（Ⅱ）解： ，令 ，解得
因为 ，以下分两种情况讨论：
（1）若 变化时， 的变化情况如下表：
}
+
-
+
、
所以， 的单调递增区间是 的单调递减区间是 。
（2）若 ，当 变化时， 的变化情况如下表：
+
（
-
+
所以， 的单调递增区间是 的单调递减区间是
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当 时， 在 内的单调递减，在 内单调递增，以下分两种情况讨论：
（Ⅱ）设 ，解关于x的方程 ；
（Ⅲ）设 ，证明： ．
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．
%
解：（Ⅰ） ，
．
令 ，得 （ 舍去）．
当 时． ；当 时， ，
故当 时， 为增函数；当 时， 为减函数．
2
又 的值域为[1，2]。
据经可得，若 ，则对每一个 ，直线y=t与曲线 都有公共点。
并且对每一个 ，直线 与曲线 都没有公共点。
<
综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个 ，直线y=t
与曲线 都有公共点。
6. 设函数 ， ，其中 ，a、b为常数，已知曲线 与 在点（2,0）处有相同的切线l。
函数与导数
1.已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求 的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的 在区间 内均存在零点．
【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
#
（1）当 时， 在（0，1）内单调递减，
所以对任意 在区间（0，1）内均存在零点。
（2）当 时， 在 内单调递减，在 内单调递增，若
所以 内存在零点。
若
"
所以 内存在零点。
所以，对任意 在区间（0，1）内均存在零点。
综上，对任意 在区间（0，1）内均存在零点。
2.已知函数 ， ．
（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；
解：（I）由
~
（II）由（I）可得
从而
，故：
（1）当
（2）当
综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为（0，1）；
当 时，函数 的单调递增区间为（0，1），
—
单调递减区间为 。
（III）当a=1时，
由（II）可得，当x在区间 内变化时， 的变化情况如下表：
—
-
0
+
·
单调递减
极小值1
单调递增
（I）求ห้องสมุดไป่ตู้、b的值，并写出切线l的方程；
（II）若方程 有三个互不相同的实根0、 、 ，其中 ，且对任意的 ， 恒成立，求实数m的取值范围。
【解析】20．本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分13分）
解：（Ⅰ）
由于曲线 在点（2，0）处有相同的切线，
为 的极大值点，且 ．
（Ⅱ）方法一：原方程可化为 ，
即为 ，且
/
①当 时， ，则 ，即 ，
，此时 ，∵ ，
此时方程仅有一解 ．
②当 时， ，由 ，得 ， ，
若 ，则 ，方程有两解 ；
若 时，则 ，方程有一解 ；
若 或 ，原方程无解．
方法二：原方程可化为 ，
…
即 ，
①当 时，原方程有一解 ；
②当 时，原方程有二解 ；
（Ⅰ）解：因为
所以
由于 ，所以 的增区间为 ，减区间为
（Ⅱ）证明：由题意得，
~
由（Ⅰ）知 内单调递增，
要使 恒成立，
只要
解得
4.设 ，其中 为正实数.
（Ⅰ）当 时，求 的极值点；
（Ⅱ）若 为 上的单调函数，求 的取值范围.
$
【解析】（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.
（I）求实数b的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m<M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[ ，e]）都有公共点若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。
【解析】22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。
④当 或 时，原方程无解．
（Ⅲ）由已知得 ，
．
设数列 的前n项和为 ，且 （ ）
>
从而有 ，当 时， ．
又
．
即对任意 时，有 ，又因为 ，所以 ．
则 ，故原不等式成立．
3.设函数 ，
~
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数 ，使 对 恒成立．
注： 为自然对数的底数．
【解析】（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。
解：对 求导得 ①
（I）当 ，若
综合①,可知
—
+
0
－
0
+
.
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以, 是极小值点, 是极大值点.
~
（II）若 为R上的单调函数，则 在R上不变号，结合①与条件a>0，知
在R上恒成立，因此 由此并结合 ，知
5.已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。
故有
由此得
所以 ，切线 的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，所以
依题意，方程 有三个互不相同的实数 ，
故 是方程 的两相异的实根。
所以
又对任意的 成立，
特别地，取 时， 成立，得
由韦达定理，可得
对任意的
则
所以函数 的最大值为0。
于是当 时，对任意的 恒成立，
综上， 的取值范围是
（Ⅰ）解：当 时，
*
所以曲线 在点 处的切线方程为
（Ⅱ）解： ，令 ，解得
因为 ，以下分两种情况讨论：
（1）若 变化时， 的变化情况如下表：
}
+
-
+
、
所以， 的单调递增区间是 的单调递减区间是 。
（2）若 ，当 变化时， 的变化情况如下表：
+
（
-
+
所以， 的单调递增区间是 的单调递减区间是
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当 时， 在 内的单调递减，在 内单调递增，以下分两种情况讨论：
（Ⅱ）设 ，解关于x的方程 ；
（Ⅲ）设 ，证明： ．
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．
%
解：（Ⅰ） ，
．
令 ，得 （ 舍去）．
当 时． ；当 时， ，
故当 时， 为增函数；当 时， 为减函数．
2
又 的值域为[1，2]。
据经可得，若 ，则对每一个 ，直线y=t与曲线 都有公共点。
并且对每一个 ，直线 与曲线 都没有公共点。
<
综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个 ，直线y=t
与曲线 都有公共点。
6. 设函数 ， ，其中 ，a、b为常数，已知曲线 与 在点（2,0）处有相同的切线l。
函数与导数
1.已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求 的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的 在区间 内均存在零点．
【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
#
（1）当 时， 在（0，1）内单调递减，
所以对任意 在区间（0，1）内均存在零点。
（2）当 时， 在 内单调递减，在 内单调递增，若
所以 内存在零点。
若
"
所以 内存在零点。
所以，对任意 在区间（0，1）内均存在零点。
综上，对任意 在区间（0，1）内均存在零点。
2.已知函数 ， ．
（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；
解：（I）由
~
（II）由（I）可得
从而
，故：
（1）当
（2）当
综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为（0，1）；
当 时，函数 的单调递增区间为（0，1），
—
单调递减区间为 。
（III）当a=1时，
由（II）可得，当x在区间 内变化时， 的变化情况如下表：
—
-
0
+
·
单调递减
极小值1
单调递增
（I）求ห้องสมุดไป่ตู้、b的值，并写出切线l的方程；
（II）若方程 有三个互不相同的实根0、 、 ，其中 ，且对任意的 ， 恒成立，求实数m的取值范围。
【解析】20．本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分13分）
解：（Ⅰ）
由于曲线 在点（2，0）处有相同的切线，
为 的极大值点，且 ．
（Ⅱ）方法一：原方程可化为 ，
即为 ，且
/
①当 时， ，则 ，即 ，
，此时 ，∵ ，
此时方程仅有一解 ．
②当 时， ，由 ，得 ， ，
若 ，则 ，方程有两解 ；
若 时，则 ，方程有一解 ；
若 或 ，原方程无解．
方法二：原方程可化为 ，
…
即 ，
①当 时，原方程有一解 ；
②当 时，原方程有二解 ；
（Ⅰ）解：因为
所以
由于 ，所以 的增区间为 ，减区间为
（Ⅱ）证明：由题意得，
~
由（Ⅰ）知 内单调递增，
要使 恒成立，
只要
解得
4.设 ，其中 为正实数.
（Ⅰ）当 时，求 的极值点；
（Ⅱ）若 为 上的单调函数，求 的取值范围.
$
【解析】（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.
（I）求实数b的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m<M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[ ，e]）都有公共点若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。
【解析】22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。