角动量的耦合.ppt
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12
j1
j1 1 2
j j jm
12
Jˆ22
j j jm
12
j2
j2 1 2
j j jm
12
Jˆ2 j j j m j j 12 j j j m
12
12
Jˆz
j j jm
12
m j j j m
12
3、无偶合表象基底与偶合表象基底的变换 ①无耦合表象→耦合表象
对于确定的j1和j2,在 (2 j1 1)(2 j2 1)维子空间，
Jˆy Jˆ1y Jˆ2 y
Jˆz Jˆ1z Jˆ2z
所以
[Jˆx , Jˆy ] [Jˆ1x Jˆ2x , Jˆ1y Jˆ2 y ]
[Jˆ1x , Jˆ1y ] [Jˆ1x , Jˆ2 y ] [Jˆ2x , Jˆ1y ] [Jˆ2x , Jˆ2 y ]
[Jˆ1x , Jˆ1y ] 0 0 [Jˆ2x , Jˆ2 y ]
以 Jˆ 表示 Jˆ1与 Jˆ2之和：
Jˆ
Jˆ Jˆ1 Jˆ2
称为体系的总角动量，它满足角动量的一般对易关系：
Jˆ Jˆ iJˆ
(7.4 4)
即
[Jˆx , Jˆy ] ihJˆz
[Jˆy , Jˆz ] ihJˆx
[Jˆz , Jˆx ] ihJˆy
证明: 则有关系：
Jˆ Jˆ1 Jˆ2 Jˆx Jˆ1x Jˆ2x
则 J与 H 对易。
对 jl1 2
ljmj ,, sz
j1, j2, j, m j2, j, m
(7.4 9)
j1, j2, j, m 组成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为
耦合表象。
概括起来讲如下：
1、无耦合表象
基底： j1m1 j2 m2 j1m1 j2 m2
Jˆ12,
Jˆ1z
只对
j
1
m1
作用，Jˆ22, Jˆ2z 只对 j2 m2 作用 。
Jˆ12
j
1
m1
j
2
m2
j1
j11 2
j
1
m1
j
2
m2
Jˆ1z
j
1
m1
j
2
m2
m1
j1m1 j2 m2
Jˆ22
j
1
m1
j
2
m2
j2
j2 1 2
j
1
m1
j
2
m2
Jˆ2z
j1m1
j 2
m2
m2
j
1
m1
j
2
m2
2、耦合表象
基底：
j j jm
12
不能区分角动量1和2了！
Jˆ12
j j jm
Jˆ12
j1, m1 j1( j1 1)2 j1, m1 Jˆ1z j1, m1 m1 j1, m1 .
,
(7.4 6)
以 j2, m2 表示 Jˆ22 和 Jˆ2z的共同本征矢：
Jˆ22
j2 , m2 j2 ( j2 1)2 j2 , m2 Jˆ2z j2 , m2 m2 j2 , m2 .
,
(7.4 7)
因为 Jˆ12 , Jˆ1z , Jˆ22 , Jˆ2z 相互对易，所以它们的共同本征矢：
j1, m1 j2, m2 Байду номын сангаас1, m1, j2, m2 (7.4 8)
组成正交归一的完全系。以这些本征矢作为基矢的表象称为无
耦合表象，在这个表象中，Jˆ12
,
Jˆ1z
,
Jˆ22
,
Jˆ2
角动量的耦合
考虑电子自旋后，那么一个电子就涉及两个角 动量：轨道角动量与自旋角动量。两个角动量如何 相加，就是所谓的两个角动量的耦合问题。角动量 耦合是一个很重要但又非常复杂的理论，本讲主要 讨论两个角动量耦合（轨道与自旋角动量、自旋与 自旋角动量等）的一般理论。
首先,来看轨道与自旋角动量的耦合
§ 7.4 两个角动量的耦合
一、基本对易关系
以 Jˆ1, Jˆ2 表示体系的两个角动量算符，它们满足角动量的
一般对易关系：
Jˆ1 Jˆ1 iJˆ1,
(7.4 1)
Jˆ2 Jˆ2 iJˆ2.
(7.4 2)
Jˆ1 和 Jˆ2 是相互独立的，因而
对易的：
Jˆ1
的分量和
Jˆ2
的分量都是可
[Jˆ1, Jˆ2] 0
(7.4 3)
例如，电子的轨道和自旋的总角动量
j
l 1
2
l 1 2
j 1 2
当 l0 当 l 0
Jˆ
Jˆ2
可证明
Jˆ1
m=m1+m2
称为角量子数条件 j1 j2 j 。
j 的取值系列为：
j j1 j2 , j1 j2 1, , j1 j2
例1 有自旋轨道相互作用情况
考虑自旋轨道作用的氢原子,体系Hamilton量为
Sy[Lˆx , Ly ] Sz[Lˆx , Lz ]
SyihLˆz SzihLˆy
所以
Srˆ • Lrˆ
与 Srˆ Lrˆ 不对易.
则 L, S与 H 不再对易。
解:(2)由
Jˆ Lˆ Sˆ
可有
Srˆ • Lrˆ 1 Jrˆ2 Lrˆ2 Srˆ2 2
容易证明 [Jrˆ, Srˆ • Lrˆ] 0
Hˆ
Hˆ 0
Hˆ
2
2
2
V
(r)
(r )L •
S
(1)证明 L ,S与 H 不再对易。
(2)证明J= L +S与 H 对易。
解:(1)
Srˆ • Lrˆ SxLx Sy Ly Sz Lz
可以证明 [Lˆx , Srˆ • Lrˆ] [Lˆx , SxLx SyLy SzLz ]
[Lˆx , SxLx ] [Lˆx , SyLy ] [Lˆx , SzLz ]
j j jm
12
m1
j1
j1
j 2
m1
j 2
Cmim
j
j1m1
j
2
m2
L (7.410)
上式中
Cmimj
称为矢量耦合系数或克来
布希—高登（Clebsch—Gordon）系数
三、 Jˆ Jˆ1 Jˆ2 的本征值
对于确定的 j1 和 j2 ，总角量子数 j 的取值系列为
j j1 j2 , j1 j2 1, , j1 j2 (7.412)
都是对角矩阵。
z
另一方面算符 Jˆ 2 , Jˆz , Jˆ12 , Jˆ22 也是相互对易的，所以它们有共同 本征矢 j1, j2, j, m , j 和 m 表明Jˆ 2 和 Jˆ z的对应本征值依次为 j( j 1)2 和 m :
Jˆ 2
j1, Jˆz
j2, j, m j( j 1)2 j1, j2, j, m m j1,
ihJˆ1z ihJˆ2z ihJˆz
此外，还有一些其他的对易关系：
[Jˆ 2 , Jˆ12 ] 0 [Jˆz , Jˆ12 ] 0 [Jˆ 2 , Jˆ] 0
[Jˆ 2 , Jˆ22 ] 0 [Jˆz , Jˆ22 ] 0
(7.4 5)
二、无耦合与耦合表象
以 j1, m1 表示 Jˆ12 和 Jˆ1z的工同本征矢：
j1
j1 1 2
j j jm
12
Jˆ22
j j jm
12
j2
j2 1 2
j j jm
12
Jˆ2 j j j m j j 12 j j j m
12
12
Jˆz
j j jm
12
m j j j m
12
3、无偶合表象基底与偶合表象基底的变换 ①无耦合表象→耦合表象
对于确定的j1和j2,在 (2 j1 1)(2 j2 1)维子空间，
Jˆy Jˆ1y Jˆ2 y
Jˆz Jˆ1z Jˆ2z
所以
[Jˆx , Jˆy ] [Jˆ1x Jˆ2x , Jˆ1y Jˆ2 y ]
[Jˆ1x , Jˆ1y ] [Jˆ1x , Jˆ2 y ] [Jˆ2x , Jˆ1y ] [Jˆ2x , Jˆ2 y ]
[Jˆ1x , Jˆ1y ] 0 0 [Jˆ2x , Jˆ2 y ]
以 Jˆ 表示 Jˆ1与 Jˆ2之和：
Jˆ
Jˆ Jˆ1 Jˆ2
称为体系的总角动量，它满足角动量的一般对易关系：
Jˆ Jˆ iJˆ
(7.4 4)
即
[Jˆx , Jˆy ] ihJˆz
[Jˆy , Jˆz ] ihJˆx
[Jˆz , Jˆx ] ihJˆy
证明: 则有关系：
Jˆ Jˆ1 Jˆ2 Jˆx Jˆ1x Jˆ2x
则 J与 H 对易。
对 jl1 2
ljmj ,, sz
j1, j2, j, m j2, j, m
(7.4 9)
j1, j2, j, m 组成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为
耦合表象。
概括起来讲如下：
1、无耦合表象
基底： j1m1 j2 m2 j1m1 j2 m2
Jˆ12,
Jˆ1z
只对
j
1
m1
作用，Jˆ22, Jˆ2z 只对 j2 m2 作用 。
Jˆ12
j
1
m1
j
2
m2
j1
j11 2
j
1
m1
j
2
m2
Jˆ1z
j
1
m1
j
2
m2
m1
j1m1 j2 m2
Jˆ22
j
1
m1
j
2
m2
j2
j2 1 2
j
1
m1
j
2
m2
Jˆ2z
j1m1
j 2
m2
m2
j
1
m1
j
2
m2
2、耦合表象
基底：
j j jm
12
不能区分角动量1和2了！
Jˆ12
j j jm
Jˆ12
j1, m1 j1( j1 1)2 j1, m1 Jˆ1z j1, m1 m1 j1, m1 .
,
(7.4 6)
以 j2, m2 表示 Jˆ22 和 Jˆ2z的共同本征矢：
Jˆ22
j2 , m2 j2 ( j2 1)2 j2 , m2 Jˆ2z j2 , m2 m2 j2 , m2 .
,
(7.4 7)
因为 Jˆ12 , Jˆ1z , Jˆ22 , Jˆ2z 相互对易，所以它们的共同本征矢：
j1, m1 j2, m2 Байду номын сангаас1, m1, j2, m2 (7.4 8)
组成正交归一的完全系。以这些本征矢作为基矢的表象称为无
耦合表象，在这个表象中，Jˆ12
,
Jˆ1z
,
Jˆ22
,
Jˆ2
角动量的耦合
考虑电子自旋后，那么一个电子就涉及两个角 动量：轨道角动量与自旋角动量。两个角动量如何 相加，就是所谓的两个角动量的耦合问题。角动量 耦合是一个很重要但又非常复杂的理论，本讲主要 讨论两个角动量耦合（轨道与自旋角动量、自旋与 自旋角动量等）的一般理论。
首先,来看轨道与自旋角动量的耦合
§ 7.4 两个角动量的耦合
一、基本对易关系
以 Jˆ1, Jˆ2 表示体系的两个角动量算符，它们满足角动量的
一般对易关系：
Jˆ1 Jˆ1 iJˆ1,
(7.4 1)
Jˆ2 Jˆ2 iJˆ2.
(7.4 2)
Jˆ1 和 Jˆ2 是相互独立的，因而
对易的：
Jˆ1
的分量和
Jˆ2
的分量都是可
[Jˆ1, Jˆ2] 0
(7.4 3)
例如，电子的轨道和自旋的总角动量
j
l 1
2
l 1 2
j 1 2
当 l0 当 l 0
Jˆ
Jˆ2
可证明
Jˆ1
m=m1+m2
称为角量子数条件 j1 j2 j 。
j 的取值系列为：
j j1 j2 , j1 j2 1, , j1 j2
例1 有自旋轨道相互作用情况
考虑自旋轨道作用的氢原子,体系Hamilton量为
Sy[Lˆx , Ly ] Sz[Lˆx , Lz ]
SyihLˆz SzihLˆy
所以
Srˆ • Lrˆ
与 Srˆ Lrˆ 不对易.
则 L, S与 H 不再对易。
解:(2)由
Jˆ Lˆ Sˆ
可有
Srˆ • Lrˆ 1 Jrˆ2 Lrˆ2 Srˆ2 2
容易证明 [Jrˆ, Srˆ • Lrˆ] 0
Hˆ
Hˆ 0
Hˆ
2
2
2
V
(r)
(r )L •
S
(1)证明 L ,S与 H 不再对易。
(2)证明J= L +S与 H 对易。
解:(1)
Srˆ • Lrˆ SxLx Sy Ly Sz Lz
可以证明 [Lˆx , Srˆ • Lrˆ] [Lˆx , SxLx SyLy SzLz ]
[Lˆx , SxLx ] [Lˆx , SyLy ] [Lˆx , SzLz ]
j j jm
12
m1
j1
j1
j 2
m1
j 2
Cmim
j
j1m1
j
2
m2
L (7.410)
上式中
Cmimj
称为矢量耦合系数或克来
布希—高登（Clebsch—Gordon）系数
三、 Jˆ Jˆ1 Jˆ2 的本征值
对于确定的 j1 和 j2 ，总角量子数 j 的取值系列为
j j1 j2 , j1 j2 1, , j1 j2 (7.412)
都是对角矩阵。
z
另一方面算符 Jˆ 2 , Jˆz , Jˆ12 , Jˆ22 也是相互对易的，所以它们有共同 本征矢 j1, j2, j, m , j 和 m 表明Jˆ 2 和 Jˆ z的对应本征值依次为 j( j 1)2 和 m :
Jˆ 2
j1, Jˆz
j2, j, m j( j 1)2 j1, j2, j, m m j1,
ihJˆ1z ihJˆ2z ihJˆz
此外，还有一些其他的对易关系：
[Jˆ 2 , Jˆ12 ] 0 [Jˆz , Jˆ12 ] 0 [Jˆ 2 , Jˆ] 0
[Jˆ 2 , Jˆ22 ] 0 [Jˆz , Jˆ22 ] 0
(7.4 5)
二、无耦合与耦合表象
以 j1, m1 表示 Jˆ12 和 Jˆ1z的工同本征矢：