二面角的几种求法

二面角的几种求法

4.1概念法

顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。

例1：如图2所示，在四面体ABCD 中，1AC AB ==,2CD BD ==,3AD =。求二面角A BC D --的大小。

图2

分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。

解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。

根据已知的条件1AC AB ==，2CD BD ==，可以知道AE BC ⊥且DE BC ⊥。又BC 是平面ABC 和平面DBC 的交线。

根据定义，可以得出：AED ∠即为二面角A BC D --的平面角。 可以求出3

2

AE =

，3DE =，并且3AD =。 根据余弦定理知：

2

22

2

2

2

3(

)(3)372cos 243

23

2

AE DE AD

AED AE DE

+-+-∠=

=

=-⨯⨯⨯ 即二面角A BC D --的大小为7

arccos 4

π-。

同样，例2也是用概念法直接解决问题的。

例2：如图3所示，ABCD 是正方形，PB ABCD ⊥平面，1PB AB ==，求二面角

A PD C --的大小。

图3

解：作辅助线CE PD ⊥于点E ，连接AC 、AE 。

由于AD CD =，PA PC =，所以PAD PCD ≅三角形三角形。即AE PD ⊥。由于

CE PD ⊥，所以AEC ∠即为所求的二面角的大小。

通过计算可以得到：2PC =，3PD =，又1CD =，在三角形PCD 中可以计算得到63CE =

。由此可以得到：63

AE CE ==，又2AC =。 由余弦定理：2

2

2

22

2133cos 22223

AE CE AC AEC AE AC +-+-∠===-⋅⋅ 即：23AEC π

∠=。

4.2空间变换法

空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。

下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。

例3：如图4所示，现有平面α和平面β，它们的交线是直线DE，点F在平面α内，点C在平面β内。求二面角F DE C

--的大小。

图4

分析：过点C作辅助线CA垂直于DE，作CB垂直于平面β于点B。

4.2.1补角法

直接求解二面角F DE C

--的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角

--是互补的关系，现在先求出

--与二面角C DE B

C DE B

--。因为二面角F DE C

二面角C DE B

--的大小就很容易计算了。

--后，二面角F DE C

4.2.2三垂线法

由于CA DE

⊥，CB⊥平面β。那么根据三垂线定理可以得知：CA在平面β内的射影AB垂直于两平面的交线DE。即AC DE

⊥且AB DE

⊥，根据定义可知，二面角

--的大小可以用补角法得

∠的大小。那么二面角F DE C

C DE B

--的大小即为CAB

到。

4.2.3切平面法

切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。如图4所示，可以作平面CAB垂直于两个平面的交线DE，平面CAB与平面α的交线是AC，平面CAB与平面β的交线是AB，根据二面角的定义知CAB

∠即为所求二面角的补角，根据补角法，可以求出二面角F DE C

--

的大小。

下面用例4来详细讲解一下切平面法。

例4： 在图5中，PA ABC ⊥平面，90o ABC ∠=。其中1PA AB ==，2PB BC ==。

E 是PC 的中点，DE PC ⊥。求二面角C BD E --的大小。

图5

解：由于E 是PC 的中点，且PBC ∆是等腰三角形，那么BD PC ⊥。 又DE PC ⊥，可以推出：PC BDE ⊥平面。所以：PC BD ⊥。 又PA ABC ⊥平面，则BD PA ⊥，所以BD PAC ⊥平面。 可以得出：PAC 平面是CBD 平面和EBD 平面的公共切平面。 由此，根据切平面法知CDE ∠即为所求二面角的平面角。 由于CDE CPA ≈∆，那么：

123233CE CD CP CA =

⋅=⋅=，13

133

CE DE PA CA =⋅=⋅=

。 又：22111

221222

CE PC BP BC =

=+=+=。 在三角形CDE 中根据余弦定理可知：

2

2

2

412

1

1

333cos 422

3232333

CD DE CE CDE CD DE +-+-∠====⋅⋅⋅

那么60o CDE ∠=。

即求二面角C BD E --的大小是60o 。

4.2.4补形法

以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，以下通过一个单独的例子来讲解第四种方法——补形法。

例5：在图6中，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD 是一个直角梯形，其中1PA =，

1AD =，1CD =，1

2

AB =。90BAD ADC ︒∠=∠=。求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的大小。

图6

解：延长直线DA 与BC ，它们相交于点E ，连接PE 。

由题意可知，BA 平行于CD ，AB 的长度是CD 的一半，且BA AD ⊥，BA PA ⊥，那么BA PED ⊥平面，CD PED ⊥平面，1AE =，2PE =。

在三角形PED 中，2PD PE ==，2ED AE AD =+=。那么根据勾股定理可知

90DPE ︒∠=，即DP PE ⊥。

CD PED ⊥平面，DP PE ⊥，且DP 是CP 在平面PED 内的射影，根据三垂线定理

知：CP PE ⊥。

又DP PE ⊥，即CPD ∠即为所求的二面角。

在Rt CDP ∆中，1CD =，2PD =，3PC =。那么6cos 3

CPD ∠=

。 即：6arccos

3

CPD ∠=