高等数学教案ch 8.3 全微分及其应用

§8.3 全微分及其应用

一、全微分的定义

根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有

偏增量与偏微分:

f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,

f (x +∆x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,

f (x , y +∆y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).

计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量

∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )

可表示为

) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ,

其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即

dz =A ∆x +B ∆y .

如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续.

这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则

∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ),

于是 0lim 0

=∆→z ρ, 从而 ),(]),([lim ),(lim

0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ.

因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续.

可微条件:

定理1(必要条件)

如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x

z ∂∂、y z ∂∂必定存在,

且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y y z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +∆x , y +∆y ), 有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有

f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).

上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得

A x

y x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim

0, 从而偏导数x z ∂∂存在, 且A x z =∂∂. 同理可证偏导数y z ∂∂存在, 且B y

z =∂∂. 所以 y y

z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 简要证明: 设函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分. 于是有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有

f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).

上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得

A x x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim

00, 从而x z ∂∂存在, 且A x z =∂∂. 同理y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以y y

z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 偏导数x z ∂∂、y z ∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件.

例如,

函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(22222

2y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0,

但函数在(0, 0)不可微分, 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,

ρ]

)0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆02

1)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x y

x .

定理2(充分条件)

如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、y z ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.

按着习惯, ∆x 、∆y 分别记作dx 、dy , 并分别称为自变量的微分, 则函数z =f (x , y )的全微分可写作

dy y

z dx x z dz ∂∂+∂∂=.

二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u =f (x , y , z ) 的全微分为 dz z

u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=. 例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分.

解 因为xy x z 2=∂∂, y x y

z 22+=∂∂, 所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .

例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分.

解 因为xy ye x z =∂∂, xy xe y

z =∂∂, 212

e x z

y x =∂∂==, 212

2e y z y x =∂∂==,

所以 dz =e 2dx +2e 2dy .

例3 计算函数yz e y x u ++=2sin

的全微分. 解 因为1=∂∂x u , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye z

u =∂∂, 所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2

cos 21(. *二、全微分在近似计算中的应用

当二元函数z =f (x , y )在点P (x , y )的两个偏导数f x (x , y ) , f y (x , y )连续, 并且|∆x |, |∆y |都较小时, 有近似等式

∆z ≈dz = f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y ,

即 f (x +∆x , y +∆y ) ≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y .

我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.

例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20. 05cm , 高度由100cu 减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值.

解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V , 则有

V =π r 2h .

已知r =20, h =100, ∆r =0. 05, ∆h =-1. 根据近似公式, 有

∆V ≈dV =V r ∆r +V h ∆h =2πrh ∆r +πr 2∆h

=2π⨯20⨯100⨯0. 05+π⨯202⨯(-1)=-200π (cm 3).

即此圆柱体在受压后体积约减少了200π cm 3.