2008年北京科技大学高等数学竞赛试题

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一、选择题（每题 2 分，共 40 分）
1. 设数列 {xn } 与 { yn } 满足 lim xn yn = 0 ， 则下列断言正确的是 (
n →∞
).
（A）若 {xn } 发散, 则 { yn } 必发散 （B）若 {xn } 无界, 则 { yn } 必有界 （C）若 {xn } 有界, 则 n → ∞, yn 必为无穷小 （D）若 n → ∞,
2
(ax + by ) 2 dxdydz =
2
2
.
17.
∫
1 0
dx ∫ e − y dy =
x
1
.
.
G G 18. 向量场 A = ( xy 2 , ye y , x ln(1 + z 2 )) 在点 (1,1, 0) 处的旋度 rotA(1,1, 0) =
19. 设曲面 Σ 为圆锥面 x 2 + y 2 = z 2 界于 0 ≤ z ≤ h 部分 , cos α , cos β , cos γ 为此曲面
(A) 没有渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 9. 设 f ( x) = ∫
1− cos x 0
sin t 2 dt , g ( x) = (B) (D)
∞
x5 x 6 + , 则当 x → 0 时, f ( x) 是 g ( x) 的( 5 6
低阶无穷小 同阶但非等价无穷小
∞
).
(A) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小
⎧1 − cos x , x>0 ⎪ , 其中 g ( x) 是有界函数, 则 f ( x) 在 x = 0 处( 4. 设 f ( x) = ⎨ x ⎪ x 2 g ( x), x ≤ 0 ⎩
1
(A) 极限不存在 (C) 连续不可导 5. 已知函数
数时,
(B) 可导 (D) 极限存在, 但不连续
2
18. 设 Ω 为半球体 x
奇函数, 则(
+ y 2 + z 2 ≤ R 2 , z > 0 , f (t ) 是 ( −∞, +∞ ) 上连续、 递增的
(B)
).
(A)
∫∫∫ f ( x + z )dv > 0
Ω
∫∫∫ f ( x + z )dv < 0
Ω
(C)
∫∫∫ f ( x + z )dv = 0
法向量的方向余弦, 且 cos γ < 0 , 则 ∫∫ ( x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS =
Σ
.
20. 设
⎧ sin x x ,x ≠ 0 ⎪ f ( x) = ⎨ x , g ( x ) = ∫ f ( x )dx , 0 ⎪ = 1, x 0 ⎩
.
1 1 1 1. 设 xn = + + " + 2 , n = 1, 2," , 则 lim xn = n →∞ 3 15 4n − 1 .
2n n ! 2. lim = n →∞ n n
3. lim (sin x − sin(sin x )) sin x = x →0 x4
. . .
4. 设 f ( x) = x( x − 1)( x − 2)" ( x − 1000) , 则 f ′(0) =
(B) (D)
a = c = 1, b = 0 a = b = 1, c = 0
).
3. 设函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1+ x , 讨论函数 f ( x) 的间断点, 其结论为 ( n →∞ 1 + x 2 n
(B) 存在间断点 x = 0 (D) 存在间断点 x = −1
).
(A) 不存在间断点 (C) 存在间断点 x = 1
f (t )dt = x ∫ f (t )dt + y ∫ f (t )dt ( x > 0,
1 1
y > 0) , 则 f ( x) =
.
15. 将半径为 r 的球沉入水中, 其最高点与水面相接, 球的密度为 1, 现将球从水中 取出, 所做的功为 .
5
16. 积分
2
x + y + z ≤1
∫∫∫
x →+∞
1
. .
2
8. lim
x →0
xe 2 x + xe x − 2e 2 x + 2e x = (e x − 1)3
9. 已知 f ( x) 的一个原函数是 e − x , 则 ∫ xf ′( x)dx =
.
10. lim
x →0
∫
sin 2 x 0
ln(1 + t )dt
1 + x4 − 1 π 1 11. ∫ dx = 0 1 + sin 2 x
).
(C)
(D)
20. 设 y = y ( x) 是方程 y′′ − y′ − esin x = 0 的解, 且 y′( x0 ) = 0 , 则 y ( x) 在 ( (A) (C)
x0 某邻域内单增 x0 处取得极小值
(B) (D)
x0 某邻域内单减 x0 处取得极大值
4
二、填空题（每小题 2 分, 共 40 分）
北京科技大学 2008 年《数学竞赛》试题
学院 注意事项：
(1) (2) (3) (4) (5) 题目未按难易程度编排，也就是说后面的问题也许更为简单; 答案一律写在第 7－8 页的答题纸上，否则无效（请将答题纸扯下来）; 第 9－10 页为草稿纸（请扯下来）; 考试时间 8:30—11:00; 交卷时, 答题纸与试题分开交!
12 ． 设 有 直 线 L1 : x + 1 = (
（A）
).
π
6
（B）
π
4
（C）
π
3
（D）
π
2
D
13. 记 D 是由 y = kx (k > 0) , y = 0 和 x = 1 所围成的区域 , 且 ∫∫ xy 2 dxdy =
k =(
1 , 则 15
).
(A)
1
3
(B)
3
4 5 2 15
(C)
f ( x) 是否有极值依赖于 n 的具体取值
).
x 7. 设常数 k > 0 , 函数 f ( x) = ln x − + k 在 (0, +∞) 内的零点个数为( e (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 8. 曲线 y
=
1 + e− x 1 − e− x
2
2
(
). (B) (D)
仅有水平渐近线 既有水平渐近线又有铅直渐近线
1 为无穷小, 则 n → ∞, yn 必为无穷小 xn
2
2. 设 x → 0 时 , e x − (ax 2 + bx + c) 是比 x 2 高阶的无穷小 , 其中 a, b, c 是常数 , 则 ( (A) (C) ).
a = 1, b = 2, c = 0 a = c = 2, b = 0
f ( x) = lim
Ω
x 0
(D)
∫∫∫ f ( x + z )dv = 2∫∫∫ f ( x)dv
Ω Ω
19. 满足方程
f ( x) + 2∫ f ( x)dx = x 2 的解 f ( x) = (
(B)
).
(A)
1 1 − e −2 x + x + 2 2 ce −2 x + x − 1 2
1 −2 x 1 e +x− 2 2 ce −2 x + x + 1 2
则
g ( x) 的 麦 克 劳 林 级 数
为
三、证明题（每题 10 分，共 20 分）
1. 证明: sin1 是无理数.
a ⎡ 1 ⎤ 2．设 f ( x) 在 ⎢ − , a ⎥ 上非负连续 (a > 0) , 且 ∫ 1 xf ( x)dx = 0 , 证明: − ⎣ a ⎦ a a
1 − a
∫
2 10. 设常数 λ > 0 , 且级数 ∑ an 收敛, 则级数 ∑
n =1
an n2 + λ
(
).
n =1
(A) 发散 (C) 绝对收敛
(B) (D)
条件收敛 收敛性与 λ 有关
11 ． 设 函 数 f ( x) = x , 0 ≤ x ≤ 1 , 而
2
S ( x) = ∑ bn sin nx, −∞ < x < +∞ , 其 中
x 2 f ( x)dx ≤ ∫
a
− 1 a
f ( x)dx .
6
1 15
(D)
3
设 D 是以 (1,1),(−1,1) 和 14． 分, 则
−x ∫∫ ( xy + e D
2
(−1, −1) 为顶点的三角形域, D1 是 D 的第一象限部
).
（B） 2
−x ∫∫ e
2
− y2
sin y )dxdy = (
（A） 2
∫∫ xydxdy
D1
2
− y2
sin ydxdy
⎧ x = 1 − et d3y 5. 设 ⎨ , 则 = −t dx 3 ⎩y = t + e
.
时, 可使对任意的 x ∈ (0, +∞) , 都
6. 设 f ( x) = 3x 2 + ax −3 , 当正常数 a ≥
有 f ( x) ≥ 20 成立.
7. lim (arc cot x) ln x =
（B）1
）.
3
（C）
1 2
（D） 2
2
16．设 Σ 为半锥面 z = x 2 + y 2 在柱体 x ( ).
（A）
+ y 2 ≤ 2 x 内部的部分, 则 ∫∫ | y | dS =
Σ
4 2 3
（B）
4 2π 3 2 2π 3
).
(C)
2 2 3
（D）
17． 已知 (A) −1 (C) 1
( x + ay )dx + ydy 是某函数的全微分表达式, 则常数 a = ( ( x + y)2 (B) 0 (D) 2
且
f ( x) 具有任意阶导数,
). (B) n !( f ( x)) 2 n (D)
f ′( x) = ( f ( x)) 2 , 则当 n 为大于 2 的正整
f ( n ) ( x) 为(
( f ( x)) 2 n
(A)
(C) n( f ( x)) n +1
n !( f ( x)) n +1
1 1 ⎞ ⎛ 6. 设 n 为正整数 , 则关于函数 f ( x) = ⎜ 1 + x + x 2 + " + x n ⎟ e − x 的极值问题是 n! ⎠ 2! ⎝ ( ). (A) 有极小值 (D) (B) 有极大值 (C) 既无极小值也无极大值
= . 1 1 f ( x)dx , 则 f ( x) = 2∫0
e −t dt = 0 所确定, 则
xy 1
2
.
12. 设 f ( x) = x(1 − x)5 + 13. 设 y = y ( x) 由 x − ∫
.
=
x =0
y x
y+ x
1
d2y dx 2
.
14. 设 f ( x) 在 x > 0 时连续, f (1) = 3 , 且 ∫
D1
（C） 4
−x ∫∫ ( xy + e
− y2
sin y )dxdy
（D） 0
D1
15．设曲线积分 ∫ xϕ ( y )dx + x 2 ydy 与路径无关, 其中 ϕ (0) = 0 , ϕ ( y ) 具有一阶连续
L
导数, 则 ∫ （A） 3
(1,2) (0,1)
xϕ ( y )dx + x 2 ydy = （
n =1
∞
1 ⎛ 5⎞ bn = 2 ∫ f ( x) sin nxdx, n = 1, 2," , 则 S ⎜ − ⎟ = ( 0 ⎝ 2⎠
).
2
1 4 1 （C） 4
（A） −
（B） −
(D)
1 2 1 2 y −5 ⎧x − y = 6 , 则 L1 与 L2 的 夹 角 为 = z + 8 与 L2 : ⎨ −2 ⎩2 y + z = 3