第三讲 复数域上的极限与连续

第三讲 复数域上的极限与连续

一．定义距离(两个复数之间的距离)

两个复数11122,z z x iy z x iy =+=+的距离为

1212(,)z z z z ρ=-=有了两个复数之间的距离后,容易得出下面的结论

1212121212max{,}x x y y z z x x y y --≤-≤-+-(如图2.1).

二．复数序列的极限

复数列1{}n n z ∞=,存在0z ∈

,使得

0lim n n z z →∞

=⇔对0,0N ε∀>∃>,当n N ∀>时,有

0n z z ε-<.

图2.1 引理 若000,1,2,

,n n n z x iy n z x iy =+==+,则

000

lim lim lim n

n n n n

n x x z z y y →∞→∞→∞=⎧⎪=⇔⎨=⎪⎩. 三．复函数的极限

定义 设:f D →

单值函数()w f z =,000z x iy =+是D 的一个聚点(非孤立点).

若对于0ε∀>,0δ∃>,当00z z δ<-<时,有()f z A ε-<,则称()f z 当

0z z →时以A 为极限,记为

lim ()z z f z A →=.

引理 设000,z x iy z x iy =+=+,()(,)(,),w f z u x y iv x y A a ib ==+=+,则有

00000(,)(,)

(,)(,)

lim (,)lim ()lim (,)x y x y z z x y x y u x y a f z A v x y b →→→=⎧⎪=⇔⎨

=⎪⎩. 四．复函数的连续

定义 设()w f z =定义在复数集D 上,000z x iy D =+∈是D 的一个聚点,若

0lim ()()z z f z f z →=,则称()f z 在点0z 连续.

注:若点0z 是D 的一个孤立点,则()f z 在点0z 连续.

引理 复函数()w f z =u iv =+在点000z x iy =+连续⇔函数(,),(,)u x y v x y 在点00(,)x y 连续.

复函数()w f z =在点集D 上的每一点连续,则()f z 是D 上的连续函数.

五．复级数

定义 设复数列1{}

k k u ∞

=,复数项级数的前

n 项之和1

n

n k k s u ==∑(1,2,)n =,

然而得部分和序列{}n s ,级数和1

lim k

n n k u

s ∞

→∞

=∑,即1

lim k n n k u A s A ∞

→∞

==⇔=∑.

引理 复数列1{}k k u ∞=,若k k k u a ib =+,00A a ib =+,有

01

101

k k k

k k k a a u A b b

∞

∞

=∞==⎧=⎪⎪=⇔⎨⎪=⎪⎩∑∑∑. 绝对收敛:级数

1

k

k u

∞

=∑收敛,则称

1

k

k u

∞

=∑绝对收敛.

级数1

k

k u

∞

=∑绝对收敛当且仅当级数

1

k

k a

∞

=∑和级数

1

k

k b

∞

=∑收敛.

六．复函数列1{()}k k u z ∞=

设复函项级数

1

()k k u z ∞

=∑,在点0

z

D ∈,使复数列01

()k k u z ∞

=∑收敛,则称复函数

列在点0z 收敛,0z 称为复函数列的收敛点.收敛域={所有收敛点}.

复函项级数1

()k

k u z ∞=∑绝对收敛⇔1

()k

k u z ∞

=∑收敛.

补充内容:实数域上有2

11!2!!

n x

x x x e n =+++

++

3

21

sin (1)3!(21)!n n

x x x x n +=-+

+-+

+

2

2cos 1(1)2!

(2)!

n

n

x x x n =-+

+-+

下面把上面的情况推广到复数域上:

(1)形式上的令2

()()11!2!

!

n

ix ix ix ix e n =+++

++(x ∈)

由21i =-得cos sin ix e x i x =+. 下面是对Euler 公式的严格定义和证明:

设z ∈

,对1,2,

n =,令2

11!2!!

n

n z z z z n =+++

+得到序列{}n z ,不妨设m n >,那么

1212

(1)!(2)!

!(1)!(2)!

!

n n m n n m

m n z z z z z z z z n n m n n m ++++-=++

+≤+++

++++ (1)

再对实数序列进行分析2

{1}1!2!

!

n n z

z z a n =++

++,{}n a 收敛于z e ,因为{}

n a 收敛,由柯西准则有

12

(1)!(2)!

!

n n m z z z n n m ε+++++

<++

由(1)可知{}n z 也是柯西序列,所以{}n z 收敛.记{}n z 的极限为z e , 即z

∀∈

定义

2

11!2!

!

n z z z z e n =+++

++1!

n

k z n ∞

==∑ 级数1!

n

k z n ∞

=∑收敛且绝对收敛,收敛域为整个复数域.