自适应滤波器的新型变步长算法及其应用

0引言
自适应滤波器以其优良的滤波效果，应用广泛。 自适应滤波器的常用算法是最小均方算法。该算法
具有方法简 单、计 算 量 小、易 于 实 现 实 时 处 理 等 优 点。由于均方误差与自适应步长成正比，然而步长 减小，收敛时间增大。因此，在最小均方算法的权系 数递推中常采用变步长代替固定步长，即变步长最
算法的自适应滤波器应用于笼型异步电动机的断条故障诊断中。实验证明，新型变步长算法可以
增强断条故障的特征，有利于信号特征的提取。
关键词： 自适应滤波器； 变步长算法； 转子断条； 故障检测
中图分类号： TN 911. 72
文献标志码： A
文章编号： 1007－ 449X（ 2011） 04－ 0023－ 05
d（t） 同步采样 d（k）
+
着（k）
+
-
x（ 1 k）
w（ 1 k）
x（t）
+ w（ 2பைடு நூலகம்k） +
y（k）
90 度移相
+
x（ 2 k） 最小均方算法
图 1 自适应滤波器的原理 Fig． 1 The principle chart of the adaptive filter
由图 1 可知，误差为
ε（ k） = d（ k） － y（ k） 。
收稿日期： 2010 － 07 － 22 基金项目： 河南省高校科技创新人才支持计划项目（ 2008HASTIT022） ； 河南省重点科技攻关项目（ 072102240006） ； 河南省控制工程重点学科
开放实验室开发基金项目（ KG2009 － 10） 。 作者简介： 王 新（ 1967—） ，男，博士，教授，研究方向为故障诊断、信号处理和电气传动。
3 新型的变步长算法
针对自适应调节过程 ε（ k） 或 x（ k） 是交变的特 点，提出了一种新型的变步长算法，其表达式为
第4 期
王 新等： 自适应滤波器的新型变步长算法及其应用
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} μ（ k） = kP1，
k≤M，
M
∑ μ（ k）
= kP2 M －1
i =1
|
ε（ k
－ i）
| ，k
＞
M。
（ 13）
为此，本文针对自适应调节过程中 ε（ k） 和x（ k） 的变化规律，提出了一种新型变步长算法，它可以克 服上述方法步长 μ（ k） 上下波动的不足，不仅具有较 快的收敛速度，而且当权系数接近最佳权系数时，具 有较小的步长，获取较小的均方误差。最后，本文将 新型变步长算法应用于笼型异步电动机的断条故障 诊断中，验证了新型变步长算法良好的效果。
Abstract： The variable step size algorithm affects the performance of the adaptive filter heavily． The step size of the usual variable step size algorithms has a certain relation with the error signal and the input signal． In the adaptive regulation process，the step size has a big fluctuation． This property severely affects the filtering effect of the adaptive filter． To solve these problems，a novel variable step size algorithm （ NVSSA） was put forward by analyzing and comparing the usual variable step size algorithms． In the NVSSA，the absolute value of error signal was taken，and then its mean was found． The mean decided the change of the step size． The NVSSA can overcome the shortage of the step size fluctuation． The adaptive filter based on the NVSSA has a faster convergence rate and a less mean square error． In the end， the adaptive filter based on the NVSSA was used in the fault diagnosis of the broken rotor bar of the squirrel cage induction motor． Experiments show that the NVSSA can highlight the feature of the broken rotor bar fault and is propitious to the signal feature exaction． Key words： adaptive filter； variable step size algorithm； broken rotor bar； fault detection
上没有波动，这对缩短自适应调节时间是有利的。
0.4
0.3
归一化值
0.2
0.1
0 20 40 60 80 100 采样点 （a） 变步长算法 1
0.4
0.3
归一化值
0.2
0.1
0 20 40 60 80 100 采样点 （b） 变步长算法 2
0.4
0.3
归一化值
0.2
0.1
0 20 40 60 80 100 采样点 （c） 变步长算法 3
| z | = （ 1 － 2μC2 ） 1 /2 。
（ 6）
由于通常 μC2 很小，所以极点在单位圆内，系统是稳
定的。
上述自适应滤波器的带宽为
BW = 2μC2 。
（ 7）
可见，自适应滤波器的带宽 BW 与步长 μ 成正比。
因此，步长 μ 越小，越有利于克服频率为 ω0 信号的 影响［1，4 － 5］。
本文称之为变步长算法 3。式中： kP1 、kP2 均为待定 的正数； M 为正整数。因此，kP1 、kP2 的选取应满足以 下要求： 根据初始误差 | ε（ k） | 值的大小来选择 kP1 、 kP2 值，使得初始误差 | ε（ k） | 在满足算法收敛的条件 下所对应的 μ（ k） 值尽可能大些，起到加快收敛的作
第 15 卷 第 4 期 2011 年 4 月
电机与控制学报 ELECTRIC MACHINES AND CONTROL
Vol. 15 No. 4 Apr． 2011
自适应滤波器的新型变步长算法及其应用
王新
（ 河南理工大学 电气工程与自动化学院，河南 焦作 454003）
摘 要： 针对变步长算法的选取对自适应滤波器的性能有重大的影响，而常见变步长算法的步长与
（ 12）
本文称之为变步长算法 2。式（ 11） 和（ 12） 中，α、β、
m 均为 待 定 的 正 数。实 验 证 明，当 取 α = 50，β =
0. 3，m = 1 时，可以取得较好的效果。可以看出，变
步长算法 1、2 中，μ（ k） 与 ε（ k） 或 x（ k） 成一种非线
性关系，这将增加算法的复杂度，不利于实时运算。
为了兼顾自适应滤波器的收敛速度和滤波效
果，自适应 滤 波 器 通 常 采 用 变 步 长 取 代 固 定 步 长。
此时，权的修正过程为
w1（ k + 1） = w1（ k） + 2μ（ k） ε（ k） x1（ k） ， （ 8） w2（ k + 1） = w2（ k） + 2μ（ k） ε（ k） x2（ k） 。 （ 9）
1 自适应滤波器的工作原理
自适应滤波器的工作原理如图 1 所示。图中， d（ t） 为原始输入信号，x （ t） 为参考输入信号，其中 x（ t） = Ccos（ ω0 t） ，式中 C 为参考信号的幅值，ω0 为 待陷波的干扰正弦波的频率。d （ k） 、x1 （ k） 、x2 （ k） 分别为 d（ t） 、x1 （ t） 、x2 （ t） 在 kT 时刻（ T 为采样周 期） 的采样值，w1 （ k） 、w2 （ k） 为权值采样值，ε（ k） = d（ k） － y（ k） ，其中 y（ k） 为滤波器输出。
Novel variable step size algorithm of adaptive filter and its application
WANG Xin
（ School of Electrical Engineering and Automation，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454003，China）
（ 1）
权的修正过程为
w1 （ k + 1） = w1 （ k） + 2με（ k） x1 （ k） ， （ 2）
w2 （ k + 1） = w2 （ k） + 2με（ k） x2 （ k） 。 （ 3）
对于上述自适应滤波器，可以求得其闭环传递函数为
Φ（ z）
=
Y（ D（
z） z）
=
z2
－ 2z（
z2 － 2zcosω0 + 1 1 － μC2 ） cosω0 + 1
－
2μC2 。
（ 4） 对于慢自适应过程而言，式（ 4） 中 μC2 很小，这时闭
环系统的极点为
z = （ 1 － μC2 ） cosω0 ±
j［（ 1 － 2μC2 ） － （ 1 － μC2 ） 2 cos2 ω0］1/2 ， （ 5）
A = 0. 02。同时，为了分析方便取 C = 1。
文献［2］提出的步长变化算法为
[ ] μ（ k）
=β
1
+
1 e － α | ε（
k）
|m
－ 0.
5
。
（ 11）
本文称之为变步长算法 1。
文献［3］提出的步长变化算法为 μ（ k） = β［1 － e － α| ε（ k） x（ k） | m ］。
用。这里，根据信号 d（ k） 的特点和实验效果，取 kP1 = 0. 15，kP2 = 0. 1，M = 10。变步长算法 1、2、3 对应的 步长变化情况分别如图 2（ a） 、图 2（ b） 、图 2（ c） 所示。
可以看出，当采用变步长算法 1、2 时步长 μ（ k） 有较
大的波动，而当采用变步长算法 3 时步长 μ（ k） 基本
2 常见的变步长算法
为了便于比较不同算法的滤波效果，模拟笼型
异步电动机的断条故障信号的特点构造信号为
d（ k） = Ccos（ kω0 ） + ACcos（ kω1 ） （ 10） 式中： ω0 = 100π rad / s； ω1 = 96π rad / s； A 为断条故障 特征分量的幅值，通常情况下 A = 0 ～ 0. 05，这里取
误差或输入信号有关，在自适应调节过程中步长存在较大的波动，影响自适应滤波器的滤波效果等
问题，通过分析和比较常见的变步长算法，提出一种新型变步长算法。该算法先将误差信号取绝对
值，然后再求其均值，以该均值决定步长的变化，克服步长波动的不足。采用新型变步长算法的自
适应滤波器，不仅具有较快的收敛速度，而且可以获取较小的均方误差。最后，将基于新型变步长
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电机与控制学报
第 15 卷
小均方算法。这样，当权系数远离于最佳权系数，使 用较大的步长，加速收敛速度； 当权系数接近于最佳 权系数时，使用较小的步长，获取较小的均方误差。 在变步长最小均方算法中，变步长算法的选取十分 关键，它对 自 适 应 滤 波 器 的 滤 波 效 果 有 重 大 的 影 响［1］。目前，文献［2 － 3］提出的变步长算法应用较 广泛。在自适应滤波器中，参考输入信号 x（ k） 是幅 值固定的余弦信号，误差 ε（ k） 在自适应调节过程中 是衰减振荡的，而当自适应调节过程趋于稳定时，ε （ k） 近似为幅值固定的交变信号。如果实际输入信 号 d（ k） 只含 2 个频率分量，那么自适应调节过程趋 于稳定时，ε（ k） 近似为正弦信号。由于文献［2 － 3］ 中步长变化算法的步长 μ（ k） 与 ε（ k） 或 x（ k） 有关。 所以，在自适应调节过程中，尽管步长 μ（ k） 是衰减 的，但是它存在较大的波动，这对自适应滤波器的滤 波效果有较大的影响。