三角形解的个数问题ppt课件

变形得： sin A a ．由题意得：当 A∈（90°，120°）时， 2
满足条件的△ABC 有两个，所以 3 a 1 ， 22
解得： 3 a 2. ，则 a 的取值范围是 ( 3, 2) ，故选 C．21
.
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5.在⊿ABC 中，若 AB= 2 2 ，BC=2，且⊿ABC 有两解，则 A 的范围是（
）
A． (0, )
3
B． ( , )
32
C． (0, )
4
D． ( , )
42
解
2：∵ cos
A
AC 2
AB2
BC2
x2
4
x
4 x
2，
2AC AB
4 2x 4 2 2
∴ 0 A 45 ，舍去 45 ．
．
C
b=4
a=?
╭
60°
A
D
B
解 ： 易知 0 sin B
3 2
或. sin
B
1 时，只有一解，故{a
|
a
2
3或a 14 4}．
流星宇高考仿真卷理三
4.在⊿ABC 中，角 A，B 的对边分别是 a,b,且∠A= 60 ，b =4，那么满足
条件的⊿ABC 只有一个时，边长 a 的取值范围是
．
解 ： 作图：
没有交点，则说明该三角形的解的个数为 0，故选 A．
.
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2．△ABC 中，已知 a＝x，b＝2，B＝45°.若解此 三角形有两解，则 x 的取值范围是__(_2_，_2__2_) __．
【解析】sin
A＝sin
425°·x＝
2 4 x.
因三角形有两解．
所以 45°<A<135°且∠A≠90°，
∴x>2，且 42x<1. 解得 2<x<2 2.
C
①当 0 a 2 3 时，0 个；
②当 a 2 3 时，1 个；
③当 2 3 a 4 时，2 个； ④当 a 4 时，1 个.
b=4
╭
60°
A
D
∴边长 a 的取值范围. 是{a | a 2 3或a 4}．
a=? B
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5.在⊿ABC 中，若 AB= 2 2 ，BC=2，且⊿ABC 有两解，则 A 的范围是（
那 么 x 应 满 足 xsin60°＜ 2＜ x， 即 2＜ x＜ 4
3
,
3
故 x 的 取 值 范 围 是 ： (2, 4 3 ) ． 3
.
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流星宇高考仿真卷理三
4.在⊿ABC 中，角 A，B 的对边分别是 a,b,且∠A= 60 ，b =4，那么满足
条件的⊿ABC 只有一个时，边长 a 的取值范围是
C
（ 1 ） 若 a > b s i n A , 则 有 两 解 ;
b
a a
（ 2 ） 若 a = b s i n A , 则 只 有 一 解 . A B2
B1
C
b A
a=bsinA B
C
b
a<bsinA
（ 3） 若 a<bsinA,则 . 无 解 . A
B 9
已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:
如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为 0；若有一个交点， 则说明该三角形的解的个数为 1；若有两个交点，则说明该三角形 的解的个数为 2．
.
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探 究 ： 在 A B C 中 ， 已 知 a , b , A , 讨 论 三 角 形 解 的 情 况 .
分 析 ： 由 sinB=bsinA ,可 求 出 角 B， a
）
A． (0, )
3
B． ( , )
32
C． (0, )
4
D． ( , )
42
解 1： ∵a＝2，c＝ 2 2 ，∴a＜c，∴A＜C，∴A 为锐角．
要使三角形有两解，则：csinA＜a＜c，即 2 2 sinA＜2＜ 2 2 ，
解得 sinA＜ 2 ．∴角 A 的取值范围为(0°，45°)．故选 C； 2
∴c·sin B＝ 3×12＝ 23，c·sin B<b<c， ∴符合条件的三角形有两个．
∵sinb B＝sinc C，即11＝sin3C，∴sin C＝ 23， 2
∴C＝60°或 120°，∴A＝90°或 30°，
又 S△ABC＝12bcs.in A，∴S△ABC＝ 23或 43，故选 D.
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练习：在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 a＝λ，
.
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例 3．已知△ABC 中，a,b,c 分别为∠A, ∠B, ∠C 的对边，∠B= 60°,
b=2，a=x，如 c 有两组解，则 x 的取值范围是
．
解 ： 当 asinB＜ b＜ a 时 ， 三 角 形 ABC 有 两 组 解 . 又 b=2， B=60°， a=x， 如 果 三 角 形 ABC 有 两 组 解 ，
三角形解的个数问题
.
1
方法一：大角对大边，正弦定理求解
在已知 ABC 中的边长 a ， b 和角 A ，且已知 a ， b 的大小关系，
常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，
一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角 B 与角 A 的大 小关系，然后求出 B 的值，根据三角函数的有界性求解．
.
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5.在⊿ABC 中，若 AB= 2 2 ，BC=2，且⊿ABC 有两解，则 A 的范围是（
）
A． (0, )
3
wenku.baidu.com
B． ( , )
32
C． (0, )
4
D． ( , )
42
解 3：∵ 2 2 2 sin A 2 sin C 2 ，∴ 0 A 45 ．
sin A sin C
2
2
b＝ 3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
解析：直接根据正弦定理可得sina A＝sinb B，可得
sin B＝bsian A＝
3λsin λ
45°＝
26>1,没有意义,
故满足条件的三角形的个数为 0，选 A．
.
6
方法二：画圆法
已知 ABC 中， A 为已知角（ 90 ），先画出 A ，确定顶点 A ， 再在 A 的一边上确定顶点 C ，使 AC 边长为已知长度，最后以顶点 C 为圆心，以 CB 边长为半径画圆，看该圆与 A 的另一边是否有交点，
B
综上， 3 a 2 ，选 C．
.
C
A P 2A0 ′
湖南师大附中2014届高考模拟卷（理科数学二）
6．若满足条件C ， AB 3 ， BC a 的三角形有两个，则 a （
）
3
A． (1,2)
B． ( 2, 3)
C． ( 3, 2)
D． ( 2, 2)
解：由正弦定理得： AB BC ，即 3 a ， sin C sin A sin 60 sin A
• 若A为锐角时:
a bsin A
无解
a bsin A 一解直角
bsin A a b二解一锐、一钝
a b
一解锐角
若A为直角或钝角时:
ab 无解
a b一解锐角
b Aab 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三
角形时，只有当A为锐角且 s i n时，有两解；
其它情况时则只有.一解或无解。
解 ： sinB=bsainA=100s 8 i 0 n4501.
又 a < b , B有两解, 三 角 形 有 两 解 。
.
4
例 3．已知△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，且 B＝30°，
则△ABC 的面积等于( D )
3 A. 2
3 B. 4
C. 23或 3
D.
43或
3 2
【解析】设 c＝AB＝ 3，b＝AC＝1，由于 B＝30°，
当 A 45 时，三角形只有一解，舍去．故得 0 A 45 ．
.
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湖南师大附中2014届高考模拟卷（理科数学二）
6．若满足条件 C ， AB 3 ， BC a 的三角形有两个，则 a （
）
3
A． (1, 2)
B． ( 2, 3)
C． ( 3, 2)
D． ( 2, 2)
.
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湖南师大附中2014届高考模拟卷（理科数学二）
则 C=1800(AB), 从而c= asinC . sin A
1.当 A为 钝 角 或 直 角 时 :
必 须 a > b , 才 能 有 且 只 有 一 解 ， 否 则 无 解 。
C
C
a
b
b
a
A
B
A
.
B 8
2.当A为锐角时:
C
如 果 a b , 那 么 只 有 一 解 。 b
A
a B
如 果 a < b , 那 么 可 以 分 下 面 三 种 情 况 讨 论 ：
.
2
【例 1】在 ABC 中，已知 a 3 ，b 2 ， B 45，求 A 、C 及c ．
解：由正弦定理，得sin A asin B 3sin 45 3 ，
b
2
2
∵ B 45 90 ， b a ，∴ A 60或120 ．
当 A 60时， C 75 ， c bsin C 2 sin 75 6 2 ；
6．若满足条件 C ， AB 3 ， BC a 的三角形有两个，则 a （
）
3
A． (1, 2)
B． ( 2, 3)
C． ( 3, 2)
D． ( 2, 2)
解：如图：
①由 BC sin 60 BP AB 得 a 2；
②又要求 AB BC ，否则 AB 就会在 BC 左边，
∠C 就不可能是 60 ，∴ a 3 ．
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【例 1】在 ABC 中， A 60 ， a 6 ， b 3 ，则 ABC 解的情况（ ）
（A）无解 （B）有一解
（C）有两解
（D）不能确定
C
a b
33 2
>
6
A D
解：在 A 的一边上确定顶点 C ，使 AC b 3 ，作 CAD 60 ，
以顶点 C 为圆心，以 CB a 6 为半径画圆，看该圆与 AD
sin B sin 45
2
当 A 120时， C 15 ， c bsin C 2 sin15 6 2 ．
sin B sin 45
2
点评：在三角形中， a b A B sin A sin B 这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．
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例 2 . 在 A A B4 C5 中 0 ， ， 试 已 判 知 断 a此 8 三 0 ， 角 b 形 解 1 0 的 0 ， 情 况 .