分段函数与复合函数

分段函数

1.已知函数f （x ）＝2

32,1,,1,

x x x ax x +<⎧⎨

+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ 2 .

解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=2

2. 已知函数3log ,0()2,0

x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1

(())9f f =

A.4

B.

1

4

C.-4 D-

14

【答案】B

【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211

(())(2)294

f f f -=-==，

所以B 正确.

3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨

⎧>---≤-0

),2()1(0

),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )

A.-1

B. 0

C.1

D. 2

【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,

(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,

(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C.

4.设函数2

()2()g x x x R =-∈，()4,(),

(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是

（A ）9,0(1,)4⎡⎤-

⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤

-⋃+∞⎢⎥⎣⎦

【答案】D

【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。 依

题

意

知

222

2

2(4),2()2,2

x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，

2

22,12()2,12

x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或

5.若函数f(x)=21

2

log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪

⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是

（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】C

【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。 由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论。

2112

22

0a<0()()log log log ()log ()

a f a f a a a a a >⎧⎧⎪⎪

>-⇒⎨⎨>->-⎪⎪⎩⎩或0

01-101

12a a a a a a a <>⎧⎧⎪⎪⇒⇒><<⎨⎨<>⎪⎪⎩⎩

或或 【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。

6.已知函数2

1,0()1,

0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是_____。

[解析]

考查分段函数的单调性。22

12(1)10

x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩ 7.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0

,60

,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）

A ),3()1,3(+∞⋃-

B ),2()1,3(+∞⋃-

C ),3()1,1(+∞⋃-

D )3,1()3,(⋃--∞ 【答案】A

【解析】由已知，函数先增后减再增 当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。

当0

故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解

8.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数

(),(),

(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨

>⎩

取函数()2

x

f x -=。当K =

1

2

时，函数()K f x 的单调递增区间为【 C 】 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,)+∞ 解: 函数1()2

()2x

x f x -==，作图易知1

()2

f x K ≤=⇒(,1][1,)x ∈-∞-+∞U ， 故在(,1)-∞-上是单调递增的，选C.

9.若函数1

,0()1(),0

3

x x x

f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为____________.

【答案】[]3,1-

【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.

（1）由01|()|301133

x f x x x <⎧⎪

≥⇒⇒-≤<⎨≥

⎪⎩.

（2）由001|()|01111133333x x

x x f x x ≥⎧≥⎧⎪⎪≥⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎛⎫⎛⎫≥≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭

⎝⎭⎩⎩.

∴不等式1

|()|3

f x ≥

的解集为{}|31x x -≤≤，∴应填[]3,1-. 10.设()⎩⎨

⎧<≥=1

,

1,

2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的

值域是（ ）

A.(][)+∞-∞-,11,Y

B.(][)+∞-∞-,01,Y

C.[)+∞,0

D. [)+∞,1

C.

答案:C.