构造法求通项公式

一．累加法（适用于：)(1n f a a n n +=+）

例：已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 练习：1.数列{ a n }中，若a 1=1，a n+1-a n =2n, 求通项a n.

2.数列{ a n }中，若a 1=1，a n+1-a n =2n , 求通项a n.

3.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4.设数列}{n a 满足21=a ，12123-+⋅=-n n n a a ，求数列}{n a 的通项公式 二．累乘法（适用于)(1n f a a n

n =+） 例：数列{ a n }中，若a 1=1，n n na a n =++1)1(，求a n.

解：由n n na a n =++1)1(得：1

1+=+n n a a n n ∴2112=a a ， 3223=a a ， 4334=a a ，…n

n a a n n 11-=- 用累乘法把以上各式相乘得：

n a a n 11= ∴n

a n 1=。 练习：1）数列{ a n }中，若a 1=2，n n n a a 2=+，求a n. 三．倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例1. 已知数列{}n a 满足112,12

n n n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式。 练习：1.}{n a 数列中，若),(411,211N n a a a n

n ∈+==+求a n 2.数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311,2111N n a a a n

n ∈+==+求a n 3.数列{ a n }中，,2

2,111+==+n n n a a a a 求a n 通项公式。 4.数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且求a n .

四．构造如常数+=+n n a a 1的数列（适用于为常数d c d a c a n n ,c )1(,1

≠+⋅=+

方法：a n+1＝c a n +d, 设可化成a n+1+x=c(a n +x),

a n+1=c a n +(c-1)x

用待定系数法得： (c-1)x ＝d

∴ x=1-c d . 例：数列{ a n }中，若a 1=6,a n+1=2a n +1, 求数列{ a n }的通项公式。 解：a n+1+1=2a n +2, 即a n+1+1=2（a n +1）

设 b n = a n +1, 则b n = 2 b n-1 则数列{ b n }是等比数列，公比是2,首项b １= a １+1＝7, 11271,27--⋅=+⋅=∴n n n n a b 即

1271-⋅=∴-n n a ，)(N n ∈

练习：1.数列{ a n }满足a n+1=3a n +2, 求a n

2.数列{ a n }满足Ｓn +a n =2n+1,求a n

五．构造形如一次或二次函数+=+n n ka a 1的数列 例：已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++

六．构造形如指数+=+n n ka a 1的数列。 例：已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1152(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯

练习1. 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1123(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+

2.已知数列{}n a 中，651=a ,11)2

1(31+++=n n n a a ，求n a 七．构造形如n n n a a b -=+1的数列。

例：数列{ a n }中，若a 1=１，a ２=3,a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0 (n ∈N),求a n 。 解： a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0得： a n+2 － a n+1 = - 5（a n ＋１ － a n ）

设b n = a n ＋１ －a n ，

则数列{ b n }是等比数列，公比是-5,首项b １= a 2- a 1＝2, ∴a n ＋１ －a n =2•(-5)n-1

即a ２ －a １=2•(-5)

a ３ －a ２=2•(-5)２

a ４ －a ３=2•(-5)３

┄

a n －a n －１=2•(-5)n-2

各式相加得：a n －a １=2•［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］

即：a n －a １=2•)

5(1511-----n ）（ 3

)5(111---+=∴n n a ，即3)5(41

---=n n a ，（n )N ∈

八．构造形如2n n a b =的数列。

例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52

211∈-==+

解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则 ),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a n

a n

n b a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列

九．构造形如n n a b lg =的数列

例：正数数列{ a n }中，若a 1=10,且),,2(,lg 21lg 1N n n a a n n ∈≥=

-求a n . 解：由题意得：n n n n a b a a lg 21lg lg 1=∴=-可设，，即 ,2

11=-n n b b 110lg 211==∴b b n ，是等比数列，公比为 )(,)2

1()21(111N n b n n n ∈=⋅=∴--. 即1)21

(110,)21(lg -=∴=-n n n n a a 练习：数列{ a n }中，若a 1=3,2

1n n a a =+,n 是正整数，求数列{ a n }的通项公式。 对无穷递推数列 消项得到第1+n 与n 项的关系 例：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==+++

+-≥，，求{}n a 的通项公式。

练习.设数列满足，．求数列的通项；

裂项相消法

{}n a 211233333

n n n a a a a -++++=…a ∈*N {}n a