夫琅禾费衍射
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第二章 波动光学的基本概念(一)
Lecture 5
第 五 讲
§2.7 夫琅和费衍射
1.夫琅和费单缝衍射和矩孔衍射
(1)实验装置和现象
(2)光强公式 (3)光强分布特征 2.Babinet原理
1.夫琅和费单缝衍射
(1)实验装置和现象
实验结果：在接收屏上沿着x方向出现明暗相间的 衍射花样。
(2)光强公式
~ 其中 U 0
是夹缝处次波源的复振幅，为一常数。
夫琅和费单缝衍射中，P点光来自同一方向，倾 斜因子相同。不同方向的光，满足近轴条件， 0
1 cos 1 cos 0 F ( ) 1. 2 2
1 1 1 . r r0 r r0
e e
ikr
ik ( r0 r )
由
I0 sin 2 u I0 , 2 2 u
y
u
2
2
2 sin u u ,
2 2
2 sin u
0
1
作图法解这超越方程 得
4 u , 9
4 9
u
a sin 半 4 , 9
4 半 sin ( ). 9
返回
半 为中央极大半强点对应的衍射角.
e e
ikr0 ik r
.
r x sin .
将积分号中常数提到积分号外，
U ( P ) C C
a 2
a 2 a 2
e ik r d x e ik
x s in
a 2
dx
e C a ik sin
i k x sin
单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？
入射波长变化，衍射效应如何变化 ?
越大， 1越大，衍射效应越明显.
线光源的单缝衍射
衍射图样为直线条纹，是无数点光源 形成的衍射图样非相干叠加的结果。
夫琅和费矩孔衍射
sin u1 sin u2 I P I0 . 2 2 u1 u2
2
2
a sin 1 b sin 2 u1 , u2
sin u lim 1. 2 0 u
2
I 0 I 0 .
在屏幕中央，各光线同相位，相干叠加 后产生极大光强。零级衍射斑的中心就 是几何光学的像点。
(II) 各级衍射极小
当
u j
时， ( j
2
1, 2,)
sin j I I0 0. 2 ( j )
即当
a sin j ,
a sin ,
设 ds 为距中心为 x 的面元，到 P 点的光程为 r ，中心处的面元到 P 点的光程为 r0，则这两 光程之差为
r r r0 x sin ,
由菲涅耳衍射积分公式，P点光振动的复振幅为
~ ~ 1 ~ 1 ikr U ( P) K U 0 F ( )e dS K U 0 F ( )eikr bdx x r r
单缝衍射暗纹公式
a sin j
1
时，
为衍射极小. 衍射极小对应的衍射角为
2 sin ( ), sin ( ), a a
1
夫琅和费衍射中，衍射角很小，因此衍射 极小对应的衍射角也可表示为：
2 , , a a
各极小近似等间距。 (III) 各级衍射次极大
相邻两暗纹角宽度
j 1 j
f2’
a
中央明条纹的角宽度为其它明条纹角宽度的两倍.
总结:
(a)中央光强极大，次最大值远小于中央值。并 随j增大而很快减小 (b)中央明条纹的角宽度为其它明条纹角宽度的 两倍.
(c)中央明条纹的角宽度与a成反比，与波长成正 比。 j (d)当 a 时， sin 1 0, a 各极大挤在屏幕中心，形成一亮点，为几何光 学的焦点，衍射消失.
( P) U ( P) . IP U
sin u I P I0 . 2 u
2
(3)光强分布特征
dI 对光强求极值，令 0, du
得
2sin u (u cos u sin u ) 0, 3 u
sin u 0, u tgu
(I) 中央衍射极大
0 u 0
a 2
2
ka sin sin ~ 2 C sin k 2
a sin sin ~ Ca . a sin
其物理意义为边缘光束 在 衍射方向上相位差 之半.
令
a sin u,
因此
( P) Ca sin u . U u
P 点的光强为
各次极大能量很小，且越往外越小.绝大部 分（85%以上）能量集中在中央衍射极大中.
相对光强曲线
I I0
1.0
3 2
0
2
u
(IV) 明条纹的角宽度
相邻暗纹的角距离作为其间亮纹的角宽度
中央亮纹角宽度
L2 x’2
x’1
x'
中 21
I
2 a
1
中
P0
x '中
夫琅和费矩孔衍射中光源、衍射屏和衍射图样的对应
2.Babinet原理
互补屏
Sa Sb S 透光部分相加等于无衍射屏。
( P ) C 1 F ( )eikr dS Ua r Sa ( P) C 1 F ( )eikr dS Ub r Sb 1 ikr ( P) U ( P) C Ua F ( )e dS U 0 ( P ) b S r Sa b
dI 对光强求极值，令 0, du
得
tgu .43
y u
2
解得
0
1.43
2
u
u : 1.43 2 .46 , I : ( 4 .7 %) I 0 , (1 .7 %) I 0 ,
3 . 47 ,
( 0 .8 %) I 0 ,
dx
L1
x
L2
r r0
P
S
a
x
0
b a.
f1
x sin
a sin
f 2
屏 幕
缝长为 b ,沿y方向.
由惠更斯-菲涅尔原理，把单缝处的波面分割 成许多等宽的小窄条，面积 ds = b dx,它们是 振幅相等，初相位相等的子波源，向各个方 向发出次级子波. 来自不同面元，具有相同衍射角 的光波，会 聚在屏幕上同一点 P .P点的复振幅是这些子波 在P点的复振幅的叠加。 在 衍射方向上，单缝边缘光束的光程差为
U 0 ( P)为无衍射屏时的自由光波场
平行光入射到互补屏时， 按几何光学原理成象，除像点之外，处处振动为零。
U b ( P) U a ( P),即I a I b
即细丝与狭缝的衍射花样， 除零级中央主极大外，处处相同。 激光测径仪的原理。
Homework
2.4
Page 225 4
Lecture 5
第 五 讲
§2.7 夫琅和费衍射
1.夫琅和费单缝衍射和矩孔衍射
(1)实验装置和现象
(2)光强公式 (3)光强分布特征 2.Babinet原理
1.夫琅和费单缝衍射
(1)实验装置和现象
实验结果：在接收屏上沿着x方向出现明暗相间的 衍射花样。
(2)光强公式
~ 其中 U 0
是夹缝处次波源的复振幅，为一常数。
夫琅和费单缝衍射中，P点光来自同一方向，倾 斜因子相同。不同方向的光，满足近轴条件， 0
1 cos 1 cos 0 F ( ) 1. 2 2
1 1 1 . r r0 r r0
e e
ikr
ik ( r0 r )
由
I0 sin 2 u I0 , 2 2 u
y
u
2
2
2 sin u u ,
2 2
2 sin u
0
1
作图法解这超越方程 得
4 u , 9
4 9
u
a sin 半 4 , 9
4 半 sin ( ). 9
返回
半 为中央极大半强点对应的衍射角.
e e
ikr0 ik r
.
r x sin .
将积分号中常数提到积分号外，
U ( P ) C C
a 2
a 2 a 2
e ik r d x e ik
x s in
a 2
dx
e C a ik sin
i k x sin
单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？
入射波长变化，衍射效应如何变化 ?
越大， 1越大，衍射效应越明显.
线光源的单缝衍射
衍射图样为直线条纹，是无数点光源 形成的衍射图样非相干叠加的结果。
夫琅和费矩孔衍射
sin u1 sin u2 I P I0 . 2 2 u1 u2
2
2
a sin 1 b sin 2 u1 , u2
sin u lim 1. 2 0 u
2
I 0 I 0 .
在屏幕中央，各光线同相位，相干叠加 后产生极大光强。零级衍射斑的中心就 是几何光学的像点。
(II) 各级衍射极小
当
u j
时， ( j
2
1, 2,)
sin j I I0 0. 2 ( j )
即当
a sin j ,
a sin ,
设 ds 为距中心为 x 的面元，到 P 点的光程为 r ，中心处的面元到 P 点的光程为 r0，则这两 光程之差为
r r r0 x sin ,
由菲涅耳衍射积分公式，P点光振动的复振幅为
~ ~ 1 ~ 1 ikr U ( P) K U 0 F ( )e dS K U 0 F ( )eikr bdx x r r
单缝衍射暗纹公式
a sin j
1
时，
为衍射极小. 衍射极小对应的衍射角为
2 sin ( ), sin ( ), a a
1
夫琅和费衍射中，衍射角很小，因此衍射 极小对应的衍射角也可表示为：
2 , , a a
各极小近似等间距。 (III) 各级衍射次极大
相邻两暗纹角宽度
j 1 j
f2’
a
中央明条纹的角宽度为其它明条纹角宽度的两倍.
总结:
(a)中央光强极大，次最大值远小于中央值。并 随j增大而很快减小 (b)中央明条纹的角宽度为其它明条纹角宽度的 两倍.
(c)中央明条纹的角宽度与a成反比，与波长成正 比。 j (d)当 a 时， sin 1 0, a 各极大挤在屏幕中心，形成一亮点，为几何光 学的焦点，衍射消失.
( P) U ( P) . IP U
sin u I P I0 . 2 u
2
(3)光强分布特征
dI 对光强求极值，令 0, du
得
2sin u (u cos u sin u ) 0, 3 u
sin u 0, u tgu
(I) 中央衍射极大
0 u 0
a 2
2
ka sin sin ~ 2 C sin k 2
a sin sin ~ Ca . a sin
其物理意义为边缘光束 在 衍射方向上相位差 之半.
令
a sin u,
因此
( P) Ca sin u . U u
P 点的光强为
各次极大能量很小，且越往外越小.绝大部 分（85%以上）能量集中在中央衍射极大中.
相对光强曲线
I I0
1.0
3 2
0
2
u
(IV) 明条纹的角宽度
相邻暗纹的角距离作为其间亮纹的角宽度
中央亮纹角宽度
L2 x’2
x’1
x'
中 21
I
2 a
1
中
P0
x '中
夫琅和费矩孔衍射中光源、衍射屏和衍射图样的对应
2.Babinet原理
互补屏
Sa Sb S 透光部分相加等于无衍射屏。
( P ) C 1 F ( )eikr dS Ua r Sa ( P) C 1 F ( )eikr dS Ub r Sb 1 ikr ( P) U ( P) C Ua F ( )e dS U 0 ( P ) b S r Sa b
dI 对光强求极值，令 0, du
得
tgu .43
y u
2
解得
0
1.43
2
u
u : 1.43 2 .46 , I : ( 4 .7 %) I 0 , (1 .7 %) I 0 ,
3 . 47 ,
( 0 .8 %) I 0 ,
dx
L1
x
L2
r r0
P
S
a
x
0
b a.
f1
x sin
a sin
f 2
屏 幕
缝长为 b ,沿y方向.
由惠更斯-菲涅尔原理，把单缝处的波面分割 成许多等宽的小窄条，面积 ds = b dx,它们是 振幅相等，初相位相等的子波源，向各个方 向发出次级子波. 来自不同面元，具有相同衍射角 的光波，会 聚在屏幕上同一点 P .P点的复振幅是这些子波 在P点的复振幅的叠加。 在 衍射方向上，单缝边缘光束的光程差为
U 0 ( P)为无衍射屏时的自由光波场
平行光入射到互补屏时， 按几何光学原理成象，除像点之外，处处振动为零。
U b ( P) U a ( P),即I a I b
即细丝与狭缝的衍射花样， 除零级中央主极大外，处处相同。 激光测径仪的原理。
Homework
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