设备故障诊断

1、频率谱将脑电信号所含的各频率成分的多少显示出来的表达方法，因而多指功

率谱。功率谱表示各频率成分对平均功率贡献的程度。平均功率就是取一定时间长度内所出现的脑电信号的波幅的平方均值。

在信号的频域描述中，以频率作为自变量，以组成信号的各个频率成分的幅值作为因变量，这样的频率函数称为幅值谱，它表征信号的幅值随频率的分布情况。对于随机信号的频域描述，常使用功率谱，它是表征信号的能量随着频率的分布情况。当然，功率谱也可用于周期信号和瞬变信号的频域描述。周期函数的幅值谱：一般周期信号均由一个直流分量、一个基波(正弦波)和无限个谐波(正弦波)所组成，各次谐波的频率是基波频率的整数倍，基波、各次谐波的幅值Ao和初相角是各不相同的，将幅值与频率的函数关系成为幅值谱。

信号的相位谱和信号的幅度谱一样，是信号的重要特征之一。讨论相位谱的特点和性质是信号谱分析的一个基本问题，尤其是在多点激励、载荷建立以及传递路径识别等方面问题的研究中，相位谱起着重要的作用。对于一个系统，能够通过其相位谱来判断该系统是否为线性相位系统。线性相位系统故名思义，看相位是否随频率线性变化。但相位谱的作用不仅限于此，奥本海姆在一篇经典文献中认为信号的相位包含的信息大于幅度，实际上从最初的最小相位系统，倒谱分析，到现在系统辨识，高阶谱估计等理论都是以相位谱为突破口。

功率谱表示了信号功率随着频率的变化关系。常用于功率信号（区别于能量信号）的表述与分析，其曲线（即功率谱曲线）一般横坐标为频率，纵坐标为功率。

由于功率没有负值，所以功率谱曲线上的纵坐标也没有负数值，功率谱曲线所覆盖的面积在数值上等于信号的总功率（能量）。

功率谱的定义

功率信号在时间段上的平均功率可以表示为

如果在时间段上可以用表示，且, 的傅里叶变换为，其中表示傅里叶变换。当增加时，

以及的能量增加。当时，此时可能趋近于一极限。假如此极限存在，则其平均功率亦可以在频域表示，即

定义

为的功率密度函数，或者简称为功率谱，其表达式如下。

功率谱的性质

功率谱密度的常用性质为：

(1)功率谱密度函数是实的；

(2)功率谱密度是非负的

(3)功率谱密度的逆傅里叶变换是信号的自协方差函数；

(4)功率谱密度对频率的积分给出信号的方差，即

上式中表示求方差的算符，表示求均值算符，表示的均值。

功率谱应用

功率谱密度定义给出了区别于时域的功率描述方法，常应用于统计信号处理，介绍两个基

本应用（1）白噪声与有色噪声的定义。若信号的功率谱等于常数，即，则随机过程称为白噪声，反之则称为有色噪声。（2）利用其与自协方差函数的关系求信号的自相关函数。

自谱信号

对于一个振动信号或其它类型的随机信号，有时为了研究其内在规律，需要分析随机信号的周期性，这就需要将信号从时域变换到频域，得到的频谱中每个频率都对应信号的一个周期谐波分量。频谱分析使信号处理中最基本的分析方法之一，广泛应用于各种工程技术领域。

自谱分析就是对一个信号进行频谱分析，包括幅值谱(PEAK)、幅值谱(RMS)、功率谱和功率谱密度等。其中幅值谱(PEAK)反映了频域中各谐波分量的单峰幅值，幅值谱(RMS)反映了各谐波分量的有效值幅值，功率谱反映了各谐波分量的能量（或称功率），功率谱密度反映了各谐波分量的能量分布情况。

频谱分析通常使用一定长度（例如1024点）FFT分析方法，当信号数据长度大于2倍的1024点时，可以对信号数据采用两种不同的分析方式：全程平均方式和瞬时分析方式，使用全程平均方式时，将整个信号分成若干段数据，分别进行FFT 分析，得到各自的频谱之后，再进行平均，最后的结果较全面反映全程数据的频谱特性；当使用瞬时分析时，可以随意选择一段数据，随即进行FFT分析，得到的频谱就是最后结果，它不能反映全部数据的频谱特性，但反映了当前选择的数据段的频谱特性。

傅立叶变换本身是连续的，无法使用计算机计算，而离散傅立叶变换的运算量又太大，为提高运算速度，通常使用快速傅立叶变换方法(FFT)，但此时所得到的频谱不是连续的曲线了，具有一定的频率分辨率Δf，且Δf = SF / N，SF为信号采样频率，N为FFT分析点数（常为1024点）。由于频率分辨率的存在，以及时域信号为有限长度等原因，使FFT分析结果具有泄露的可能，为此常常使用一些措施来消除，如平滑、加窗、能量修正、细化分析等等。

当使用FFT分析后，由于频率分辨率造成的泄露原因使频谱主峰的幅值偏小，使用平滑处理可以使频谱主峰的幅值更加准确，但同时降低了频谱主峰以外的频率处的幅值精度。

由于时域信号的截断造成的泄漏，使用加窗也是一个有效的办法，DASP提供以下几种窗函数：矩形窗、指数窗、hanning窗、Kaiser-Base窗、平顶窗、hamming窗、Y1窗、Y2窗、余弦矩形窗和三角窗，不同的窗函数具有不同的效果，但都可以提高主频处的幅值精度。其中矩形窗相当于没有加窗。

傅立叶变换本身是能量守恒的，根据变换前的时域能量对频谱结果进行能量修正，也可以有效的提高整体频谱幅值精度，但对单个主频的幅值精度提高并不突出。

对于频率分辨率，更多可能使用各种细化方法，减小频率分辨率，DASP中提供以下几种细化分析方法：FFT/FT细化、ZoomFFT细化、ZOOMBDFT细化、BDFWPS细化、长数据FFT细化等方法。

各种细化方法都需要较复杂的过程和较长的运算时间，有时仅仅需要几个频率点处的精确频率值，

这就可以使用DASP的频率计技术，快速准确地得到少数几个点的精确频率和幅值。

互谱信号

设有两个平稳随机信号x(t)与y(t)，根据随机过程理论，它们之间的统计相关特性，应该用其互相关函数表达。对x(t)与y(t)的互相关函数进行傅里叶变换，获得其频域中的功率密度谱，即称为互功率密度谱，也称互频谱。可见，互谱与互相关函数是分别从频域和时域描述两个信号统计相关的两种不同表示，它们互为傅里叶变换。互谱也适用于确定性信号分析。互谱在通信及信号处理领域中有重要用途，可用来测定一个未知参数的线性系统的频率响应。这时主要要测出系统输入和输出信号之间的互谱。互谱也可以用于系统时延，如声纳接收信号等时延估计。

在实用中，通常利用快速傅里叶变换来计算和测量互谱，这是因为实际要求提高测量运算速度而提出来的，已经生产了许多测量功率谱密度函数的仪器，它们也可以用于互谱的测量。倒谱

设离散信号序列{ x(n)，n=1,2,3，‘’‘，N-1 }，如果它的离散傅里叶变换及反变换用DFT及IDFT表示，则的倒谱定义为

若用Z变换来表示DFT，则上式定义可以改写成

式中X(Z)是x(n)的Z变换。

倒谱在信号处理有着广泛的用途，它主要的功能是可以线性分离经卷积后的两个或多个分别的信号。其原理是显而易见的。假若两个信号分别为而x1(n)及x2(n），卷积后的信号为x(n)，对x(n)的Z变换X(Z)应为

这样对x(n)的倒谱

利用线性滤波方法即可以将分开。这就实现到对卷积信号的信号分离。

以上处理过程所形成的系统，有如下的形式图5

这种系统常称为产生倒谱的同态系统。

在通信、地震信号、地质勘察信号以及语声信号分析中，由于经常遇到这类卷积信号序列，所以倒谱分析在这些领域找到广泛的应用。

功率谱的对数值的逆傅氏变换称为倒谱，又称作功率倒频谱。广泛应用于语音信号处理。

倒频谱函数C(q)(power cepstrum)其数学表达式为：

倒谱的同态系统