二重积分的对称性1
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情形一：积分区域D 关于坐标轴对称
定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有 (,)0D
f x y d xd y =⎰⎰ .
2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有
1
(,)2(,)D
D f x y d xd y f x y d xd y =⎰⎰
⎰⎰ .
其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。 例5 计算3()D
I xy y d xd y =
+⎰⎰
，其中D 为由2
2y x =与2x =围成的区域。
解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且
3
(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=-
即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有
3
()0D
f x y y d x d y +=⎰⎰
.
类似地，有：
定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则
2
2(,),(,)(,).(,)0,(,)(,).D D
f x y d xd y f x y f x y f x y d xd y f x y f x y ⎧-=⎪=⎨⎪-=⎩
⎰⎰⎰⎰
当当
其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。
例 6 计算2
,D
I x y d x d y =⎰⎰
其中D 为由
22;-22y x y x y =+=
+=及所围。
解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且2
(,)(,)f x y x y f x y -==，
即被积分函数是关于x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：
1
12222
2
22215
x D
D I x yd xd y x yd xd y d x x yd xd y -+=
===
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
.
定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴和y 轴都对称，则 （1）当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时，有
(,)0D
f x y d x d y =⎰⎰
.
（2）当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有
1
(,)4(,)D
D f x y d xd y f x y d xd y =⎰⎰
⎰⎰
其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。 9例7 计算二重积分(
)D
I x y d xd y =+⎰⎰，其中D ：1x y +≤ .
解：如图所示，D 关于x 轴和y 轴均对称，且被积分函数关于x 和y 是偶函数，即有
(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=，由定理2，得
1
(
)4()D
D I x y d xd y x y d xd y =
+=+⎰⎰⎰⎰
其中1D 是D 的第一象限部分，由对称性知,
1
1
D D x d x d y y d x d y =
⎰⎰
⎰⎰
，
故1
4()D I x y d xd y =+⎰⎰1
4()D x x d x d y =+⎰⎰1
8D x d xd y =⎰⎰43
=
.
情形二、积分区域D 关于原点对称
定理7 设平面区域12D D D =+,且1,D 2D 关于原点对称,则当D 上连续函数满足 1)(,)(,)f x y f x y --=时,有1
(,)2(,)D
D f x y d xd y f x y d xd y =⎰⎰⎰⎰
2)(,)(,)f x y f x y --=-时,有(,)0D
f x y d xd y =⎰⎰.
例8 计算二重积分
33
()D
x y d xd y +⎰⎰
,D
为
3
y x =与y x =所围区域.
解:如图所示,区域D 关于原点对称,对于被积函数33(,)f x y x y =+,有
3
3
3
3
(,)()()()(,)f x y x y x y f x y --=-+-=-+=-,有定理7,得
3
3
()0D
x
y d x d y +=⎰⎰
.
情形三、积分区域D 关于直线y x =±对称
定理8 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且12D D D =+,1,2D D 关于直线y x =对称,则
1)(,)(,)D
D
f x y d xd y f y x d xd y =
⎰⎰⎰⎰
;
1
2
(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =
⎰⎰
⎰⎰
.
2)当(,)(,)f y x f x y =-时,有(,)0D
f x y d xd y =⎰⎰.
3)当(,)(,)f y x f x y =时,有1
(,)2(,)D
D f x y d xd y f x y d xd y =⎰⎰⎰⎰.
例9 求222
2
(
)D
x y I dxdy a
b
=
+
⎰⎰,D 为222
x y R +≤所围.
解:积分区域D 关于直线y x =对称,由定理8,得
22222
2
2
2
()()D
D
x
y y
x dxdy dxdy a
b
a
b
+
=
+
⎰⎰⎰⎰,
故 222
2
()D
x
y I dxdy a
b =
+
⎰⎰22222
2
2
2
1[(
)()]2
D
D
x y y
x dxdy dxdy a
b a
b
=
+
+
+
⎰⎰⎰⎰
2
2
2
2
111(
)()2
D
x
y d xd y a
b
=
++⎰⎰22
2
2
111(
)2
R d r rd r a
b
πθ
=+
⎰
⎰
4
2
2
11(
)4
R a
b
π
=
+
.
类似地，可得：
定理9 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且12D D D =+,1,2D D 关于直线y x =对称,