人教版A版高中数学期末必修四专题总复习教案

专题1：三角函数定义及同角公式
一、教学目标：
1.知识目标：掌握三角函数的定义及同角公式。

2.能力目标：会用三角函数的定义及同角公式的综合应用。

3.领导型人才培养目标结合学生实际，从“人自身”（学生自身）出发，能够用运用本节知识解决有关实际问题，并能结合其他知识熟练应用，最终达到培养学生数学素养的能力。

4. 具体环节体现的领培目标：
1) 提问环节——培养学生“创新、荣誉、责任、贡献“的精神。

2) 自主学习环节——培养学生“遵规、自强、梦想”的态度。

3) 学生展示环节——培养学生“自强、创新、友善、包容、遵规、贡献、荣誉”的积极心态。

二、教学重点：
三角三角函数的定义及同角公式 三、教学难点： 同角公式灵活变通应用 四、教学用具：多媒体，教具。

五、过程设计：
任务一：复习回顾三角函数定义及同角公式。

模块组合：
1、教师提问，学生回顾展示。

2、教师点拨，学生总结记忆。

任务二：例题精讲
模块组合：1、学生先做，教师抽典例精讲。

2、学生进行基础知识与方法梳理。

3、教师引领总结升华。

例题1：若角480α=︒的终边上有一点(),2a ，则a 的值是（ ）
A ．
B
C ．3
±
D ．3
-
【答案】D
例题2：若角α的终边在直线2y x =-上，则sin α等于（ ）
A ．15
±
B ．±
C ．
D ．12
±
【答案】C
例题3：求解下列各题. (1)已知1
sin 2
α=
,且α为第一象限角,求cos α,tan α; (2)已知4
cos 5
α=-
,且α为第三象限角,求sin α,tan α; (3)已知3
tan 4
α=-,且α为第四象限角,求sin α,cos α; (4)已知1
sin 3
α=
,且α为第二象限角,求cos α,tan α.
【答案】(1)cos α=
,tan α=.(2)3sin 5α=-,3tan 4α=.
(3)4cos 5α=
,3sin 5α=-.(4)cos 3α=-,tan 4
α=-. 例题4：已知tan 4α=-,求下列各式的值. (1)2sin α; (2)22cos sin αα-; (3)3sin cos αα;
(4)
4sin 2cos 5cos 3sin αααα
-+.
【答案】(1)1617;(2)1517-;(3)12
17
-;(4)187.
例题5：已知sin cos 5
αα-=-,求tan α的值. 【答案】tan 2α=或
12
任务三：当堂检测
模块组合：
1、独立完成
2、交叉批改
3、教师评价
1.已知角θ的终边过点(12,5)P -，求角θ的三角函数值.
【答案】5
sin 13θ=
；12cos 13θ=-；5
tan θ12
2.已知
2
π<θ<π且sin θ＝35m m -+，cos θ＝425m m -+，求tan θ的值．
【答案】5
12
-
3. 若sin θ＝－4
5
，tan θ>0，则cos θ＝________. 【答案】
35
4.如果tan 2θ=，那么1sin cos θθ+的值是（ ） A ．
73
B ．75
C ．
54
D ．
53
【答案】B
任务四：课堂小结
模块组合：1、学生展示：本节课你的收获是什么？ 2、教师点拨：本节课的重点内容和方法。

任务五：课后作业
模块组合：1、学生课后独立完成 2、教师核对答案针对性纠错。

1．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ） A ．
45 B ．35 C ．35- D ．45
- 【答案】D
2．已知角α的终边过点(4,3)P -，则2sin tan αα+的值是（ ） A ．920
-
B ．920
C ．25-
D ．2
5
【答案】B
3．已知角α的终边经过点(,6)P m -，且4
cos 5
α=-，则m =（ ） A ．8
B ．8-
C ．4
D ．4-
【答案】B
4．若α
+
的值为（ ）
A ．3
B ．-3
C ．1
D ．-1
【答案】B
5．已知α是锐角，且tan α 是方程2430x x +-=的根，则sin α =（ ） A ．
45 B ．35 C ．2
5 D ．15
【答案】B
6．已知角α的终边在直线2y x =上，分别求出sin ,cos tan ααα及的值．
【答案】sin tan 2ααα=
==或sin tan 2ααα===
7．已知tan α=且α是第二象限角,求角α的正弦和余弦.
【答案】sin α=,cos α=. 8．已知5
sin 13
α=,求cos α和tan α. 【详解】
因为sin 0α>，sin 1α≠，所以α是第一或第二象限角. 由22sin cos 1αα+=，得2
144
cos 169
α=
. 如果α是第一象限角，cos 0α>，
12cos 13α∴=
，5tan 12α=; 如果α是第二象限角，cos 0α<，
12cos 13α∴=-
，5
tan 12
α=-.
9．已知角α终边经过点P(x )(x ≠0)，且cos α＝
6
x ，求sin α、tan α的值．
【答案】sin tan α＝±
解：∵P(x )(x ≠0)，
∴P 到原点的距离r .
又cos
，∴cos ＝，
∵x ≠0，∴x ，∴r ＝.
当x 时，P 点坐标为)，
由三角函数定义，有sinαtanα
当x 时，P 点坐标为()，
∴sinαtanα 10．已知1690α︒=．
（1）把α写成2(,[0,2))k k Z πββπ+∈∈的形式； （2）求θ，使θ与α终边相同，且(4,4)θππ∈-． 【答案】（1）251690818ππ︒
=+
（2）47112561
,,18181818
ππππ--, 专题2：诱导公式
一、教学目标：
1.知识目标：掌握诱导公式
2.能力目标：会用诱导公式解决实际数学问题。

3.领导型人才培养目标：结合学生实际，从“人自身”（学生自身）出发，能够用运用本节知识解决有关实际问题，并能结合其他知识熟练应用，最终达到培养学生数学素养的能力。

4. 具体环节体现的领培目标：
4) 提问环节——培养学生“创新、荣誉、责任、贡献“的精神。

5) 自主学习环节——培养学生“遵规、自强、梦想”的态度。

6) 学生展示环节——培养学生“自强、创新、友善、包容、遵规、贡献、荣誉”的积极心态。

二、教学重点： 诱导公式 三、教学难点：
诱导公式的灵活应用及变换之后的政府确定
四、教学用具：多媒体，教具。

五、过程设计：
任务一：复习回顾诱导公式。

模块组合：
1、教师提问，学生回顾展示。

2、教师点拨，学生总结记忆。

任务二：例题精讲
模块组合：1、学生先做，教师抽典例精讲。

2、学生进行基础知识与方法梳理。

3、教师引领总结升华。

例题1：若角θ的终边经过点34(,)55
-，则sin(
)cos()tan(2)2
π
θπθπθ++-+-=（ ）
A ．
43
B ．43
-
C ．
34
D ．34
-
【答案】A
例题2：cos(2)tan()sin()
cos()cos()
2
αααααπ+π+π-=
π-- ( ) A ．1 B ．1-
C ．tan α
D ．tan α-
【答案】C
例题3：设()()()()
()()
222sin 2cos 2cos 1sin sin 2cos 4f παπααααπαπα-+--=+++--，则
236f π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值为（ ） A
B
．C
D
．
【答案】D
例题4：已知π3πcos cos(2π)sin 22()3πsin(π)sin 2f αααααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=⎛⎫
-⋅+ ⎪
⎝⎭
．
（1）化简()f α；
（2）若α是第四象限角，且π1
cos 24
α⎛⎫+=
⎪⎝⎭，求()f α的值．
【答案】(1)cos α-；（2
）例题5：求证：()()()()
()
()()
()()sin 3cos 4sin 4cos 2cos cos sin tan sin απαππαπααππααπαπαπ-+---=
--++---. 证：左边
()()()()
()
()22
sin 4cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos παπα
παααα
ααπαπααααααα
παπα+-+⎡⎤++-⎣⎦=
=
=-----
-
⋅---()()()cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos αααααα
αααααα
-⋅⋅⋅==
+-+，
右边sin cos sin cos cos sin sin cos αααα
αααα
-⋅⋅=
=--+，∴左边=右边，故原式成立.
任务三：当堂检测
模块组合：
1、独立完成
2、交叉批改
3、教师评价
1.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （－3，4）． （1）求sinα，cosα的值； （2）
sin(π+α)+cos(−a)
cos(α−π
2
)
的值．
【答案】（1）sinα=4
5,cosα=−3
5； （2）−7
4 .
2.化简11sin(2)cos()cos cos 229cos()sin(3)sin()sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫
-++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
----+ ⎪
⎝⎭
.
【答案】tan α-
3.已知37cos sin 22()sin()
f ππθθθθπ⎛⎫⎛⎫
-⋅+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=
--
（1）化简()f θ； （2）若1
()3
f θ=，求tan θ的值； （3）若163f πθ⎛⎫-=
⎪⎝⎭，求56f πθ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值.
【答案】（1）()cos f θθ=；（2）当θ
为第四象限角时，sin θ==
sin tan cos θθθ=
=-（3）1
3
-. 4.求证：()()()
tan 2sin 2cos 6tan 33sin cos 22παπαπαα
ππαα----=-⎛⎫⎛
⎫++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭.
证：左边
()()()()()tan sin cos tan sin cos sin 2cos 2sin cos 2222
αααααα
πππππαπααα-⋅-⋅--⋅-⋅=
=
⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
22sin sin sin tan cos sin cos sin cos 22ααα
α
ππαα
ααα===-=--⋅⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=右边. ∴原等式成立.
任务四：课堂小结
模块组合：1、学生展示：本节课你的收获是什么？
2、教师点拨：本节课的重点内容和方法。

任务五：课后作业
模块组合：1、学生课后独立完成 2、教师核对答案针对性纠错。

1.化简. （1）
()()()
()
cos tan 2tan 2sin απαππαπα---+；
（2）()()()()()2
sin
tan 360sin 180cos 360tan 180ααααα------+；
（3）()3cos sin tan 22
ππααπα⎛⎫
⎛
⎫
+
-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
. 【答案】（1）tan α-；（2）tan α；（3）2sin α. 2．已知1sin()2πα+=
，则3cos 2απ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值为（ ）
A ．
1
2
B ．12
-
C
D
．
【答案】A
3．计算2222sin 1sin 2sin 3sin 89︒++++=︒︒︒（ ）
A ．89
B ．90
C ．
892
D ．45
【答案】C
4．已知tan 2θ=，则()()
2sin 3cos 3sin cos 22θππθππθθ++-=
⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
（ （
A ．7
B ．13
-
C ．73
-
D ．1
【答案】C 【解析】
5．记0
cos(80)k -=，那么0tan100=（ ）
A
B
．k
-
C
D
．
【答案】B
6．化简000000
cos(180)sin(360)cos(270)
sin(180)cos(180)sin(360)
αααααα++--=-----（ （ A ．1 B ．-1
C ．tan α
D ．tan α-
【答案】B 7．已知tan 2α=．
（1）求223cos 2sin αα+的值；
（2）求π3πcos(π)cos sin 22sin(3π)sin(π)cos(π)
αααααα⎛⎫⎛
⎫-+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭+-+的值． 【答案】（1）11
5；（2）12
-.
8．求下列各值. （1）271sin
6π；（2）1101cos 4π；（3）6133tan 6
π； （4）13sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（5）9cos 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（6）7tan 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
【答案】（1）12-
；（2
）（3
（4）12-；（5
；（6
） 9．化简:(1)
cos 2sin(2)cos(2)5sin 2πααππαπα⎛
⎫- ⎪
⎝⎭--⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
; (2)
()
2tan 360cos ()cos 2α
απα︒+--
⎛⎫+ ⎪⎝⎭
; (3)23cos(3)cos 2sin 2παπαπα⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭
⎛⎫- ⎪⎝
⎭.
【答案】（1）2sin α（2）2
1
cos cos αα
+（3）tan α
专题三 恒等变换（2课时）
一、教学目标：
1.知识目标：掌握和差角公式、二倍角公式及辅助角公式。

2.能力目标：会恒等变换公式的综合应用。

3.领导型人才培养目标：结合学生实际，从“人自身”（学生自身）出发，能够用运用本节知识解决有关实际问题，并能结合其他知识熟练应用，最终达到培养学生数学素养的能力。

4. 具体环节体现的领培目标：
7) 提问环节——培养学生“创新、荣誉、责任、贡献“的精神。

8) 自主学习环节——培养学生“遵规、自强、梦想”的态度。

9) 学生展示环节——培养学生“自强、创新、友善、包容、遵规、贡献、荣誉”的积极心态。

二、教学重点：
和差角公式、二倍角公式及辅助角公式。

三、教学难点：
恒等变换公式的变形及逆向应用 四、教学用具：多媒体，教具。

五、过程设计：
任务一：复习回顾和差角公式、二倍角公式及辅助角公式。

模块组合：
1、教师提问，学生回顾展示。

2、教师点拨，学生总结记忆。

任务二：例题精讲
模块组合：1、学生先做，教师抽典例精讲。

2、学生进行基础知识与方法梳理。

3、教师引领总结升华。

例题1：已知角α的终边过点()4,3P -，则cos 4πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值为（ ）
A ．
B
C ．
D ．
10
【答案】B
例题2：已知,αβ都是锐角，cos ,cos 510
αβ==则αβ+=( ) A ．45︒ B ．135︒
C ．45︒或135︒
D ．不能确定
【答案】B
例题3：设α为锐角，若4cos()6
5π
α+
=
，则sin(2)12
π
α+的值为______.
【答案】
50
例题4：已知cos α=（2
π
απ<<. （1）求sin 2α的值； （2）求3cos(
)cos()4
2
π
π
αα+-
的值.
【答案】∴1∴45-
∴∴2∴5
.
例题5：计算（1）已知α，β均为锐角，cos α=
，角β的顶点是直角坐标系的原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(1,3)P ，求cos()αβ-； （2）已知1sin cos 8αα=
，且42
ππ
α<<，求cos sin αα-．
【答案】（1（2）cos sin αα-=
例题6：已知函数2()sin cos cos (0)f x a x x x b a =⋅+
+> (1)写出函数的最小正周期；
(2)设[0]2
x ，π
∈，()f x 的最小值是2-,a b 的值．
【答案】（1）π；（2）2,2a b ==-.
任务三：当堂检测
模块组合：
1、独立完成
2、交叉批改
3、教师评价
1.若cos()sin 6
π
αα-+=02πα-<<),则cos()6πα+=__________．
【答案】
3
5
2.已知,αβ都是锐角，且11
sin )14
=+=-ααβ，求角β的值. 【答案】
3
π
3.已知343sin(),cos(),,5522
+=--=-<<<<π
αβαβπαπβπ，求sin 2β． 【答案】0
4.设函数2()cos sin()3f x x x x π=⋅+，R x ∈.
（1）求()f x 的最小正周期和对称中心；
（2）若函数()()4g x f x π=+，求函数()g x 在区间[,]66ππ
-上的最值． 【答案】（1）T π=，对称中心为,026k ππ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
Z k ∈.（2）max 1()2g x =，min 1()4g x =-
任务四：课堂小结
模块组合：1、学生展示：本节课你的收获是什么？
2、教师点拨：本节课的重点内容和方法。

任务五：课后作业
模块组合：1、学生课后独立完成 2、教师核对答案针对性纠错。

1.若sin 2sin 62ππαα⎛⎫⎛
⎫+
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
，则tan α=________，cos2=α________．
1
2
-
2.已知tan ,tan αβ是方程23410x x +-=的两根，0,,,22⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
ππαβπ. 求：（1）角αβ+的值； （2）tan()αβ-的值.
【答案】（1）3
4
π；（2
3.已知2()2cos cos f x x x x a =++(a 为实常数). （1）当定义域为R 时，求()f x 的单调递增区间； （2）当定义域为0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最大值为4，求实数a 的值. 【答案】（1）,,3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
；（2）1
4.已知3,,,sin 2
⎛
⎫
∈== ⎪
⎝
⎭
παβπαβ，求角αβ-的值. 【答案】4
π
-
5.在ABC 中，2
sin sin cos 2
⋅=A
B C .试判定ABC 的形状. 解：由2
sin sin cos 2
⋅=A B C ， 可得： 11
sin sin cos 22
B C A ⋅=+ 所以11
sin sin cos()22
B C B C ⋅=-+ 所以111
sin sin cos cos sin sin 222
B C B C B C ⋅=
-+
所以111sin sin cos cos 222
B C B C ⋅+=
cos()1B C ∴-=，
B C ∴=，
所以b c =
即三角形为等腰三角形
6.
设函数2()cos sin()3f x x x x π=⋅+，R x ∈.
（1）求()f x 的最小正周期和对称中心；
（2）若函数()()4g x f x π=+，求函数()g x 在区间[,]66ππ
-上的最值． 【答案】（1）T π=，对称中心为,026k ππ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
Z k ∈.（2）max 1()2g x =，min 1()4g x =-
7.
已知函数2
2cos sin sin cos 3⎛
⎫=+-+ ⎪⎝
⎭
y x x x x x π.求：
（1）函数的最小正周期；
（2）函数的最大值和最小值及取得最值时x 的值； （3）函数的递增区间.
【答案】（1）T π=；（2）当,12
x k k Z π
π=+∈时，max 2y =；当5
,12
=-
∈x k k Z ππ时，min 2y =-；（3）5,,1212k k Z k ππππ⎡⎤
-
+⎢⎥⎣
∈⎦
8.已知函数(
)()2
2
f x sin x cos x x cos x x R =--∈ （I ）求2f 3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.
【答案】（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，
9.
已知函数3
()2cos 222
f x x x =
-． （1）求函数()f x 的最小正周期、单调递增区间；
（2）求()f x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域．
【答案】（1）最小正周期为π；5,,1212k k k ππ⎡⎤-
+π+π∈⎢⎥⎣⎦
Z .（2
）32⎡-⎢⎣ 10.若4cos 5α=-
,α是第三象限的角,则
1tan
21tan 2
α
α+=-（ ） A ．1
2
-
B ．12
C ．2
D ．-2
【答案】A
专题四：三角函数图象变换与函数性质（2课时）
一、教学目标：
1.知识目标：掌握三角函数图象画法、放缩变换以及函数性质。

2.能力目标：会画图、放缩变换利用函数性质解决相关数学问题。

3.领导型人才培养目标：结合学生实际，从“人自身”（学生自身）出发，能够用运用本节知识解决有关实际问题，并能结合其他知识熟练应用，最终达到培养学生数学素养的能力。

4. 具体环节体现的领培目标：
10) 提问环节——培养学生“创新、荣誉、责任、贡献“的精神。

11) 自主学习环节——培养学生“遵规、自强、梦想”的态度。

12) 学生展示环节——培养学生“自强、创新、友善、包容、遵规、贡献、荣誉”的积极心态。

二、教学重点：
三角函数图象画法、放缩变换以及函数性质。

三、教学难点： 放缩变换
四、教学用具：多媒体，教具。

五、过程设计：
任务一：复习回顾三角函数图象画法、放缩变换以及函数性质。

模块组合：
1、教师提问，学生回顾展示。

2、教师点拨，学生总结记忆。

任务二：例题精讲
模块组合：1、学生先做，教师抽典例精讲。

2、学生进行基础知识与方法梳理。

3、教师引领总结升华。

例题1：用五点法作下列函数的图像： （1）12sin ,[0,2]=-∈y x x π； （2）1
cos ,[,]2
=+∈-y x x ππ． 解：（1）列表：
描点连线，画图如下：
（2）列表：
描点连线，画图如下：
例题2：已知函数2
()2cos sin sin cos 3⎛⎫
=+-+ ⎪⎝
⎭
f x x x x x x π. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的值域； （3）求()f x 的递增区间 （4）求()f x 的对称轴； （5）求()f x 的对称中心；
（6）ABC 的三边a ，b ，c 满足2b ac =，且b 所对的角为x ，求x 的取值范围及函数()f x 的值域. 【答案】（1）π；（2）[2,2]-；（3）5,,1212k k Z k ππππ⎡
⎤-
+⎢⎥⎣
∈⎦；（4）直线,212
k x k Z ππ=+∈；（5）对称中心,0,26k k Z ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭；（6）0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，值域为[0,2]
【详解】：根据题意，2
()2cos sin sin cos 3⎛
⎫
=+
-+ ⎪⎝
⎭
f x x x x x x π，进行化简，
21()2cos (sin )sin cos 2f x x x x x x x =+
222sin cos sin )x x x x =+-sin 222sin(2)3
x x x π
==+，据此可得，
(1)()f x 的最小正周期为22
T π
π=
=； 答案：π
(2)()f x 的值域为[]22-,
； 答案：[2,2]-
(3)()f x 的递增区间为222,2
3
2x k x k k Z π
π
π
ππ⎧⎫
-
+≤+
≤
+∈⎨⎬⎩
⎭
，化简得 5,1212x k x k k Z ππππ⎧⎫
-+≤≤+∈⎨
⎬⎩⎭
，所以， ()f x 的递增区间为5,,1212k k Z k ππππ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣
∈⎦
答案：5,,1212k k Z k ππππ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣
∈⎦
(4)对于()f x ，令2,3
2
π
π
π+
=
+∈x k k Z ，化简得,212
k x k Z ππ
=
+∈，即()f x 的对称轴为直线,212
k x k Z ππ
=
+∈ 答案：直线,212k x k Z ππ
=
+∈ (5)对于()f x ，令2,3
x k k Z π
ππ+
=+∈，化简得，,26
k x k Z ππ
=
-∈，所以，对称中心为,0,26k k Z ππ⎛⎫
-∈ ⎪⎝
⎭； 答案：对称中心,0,26k k Z ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭
(6) 对于ABC 的三边a ，b ，c 满足2b ac =①，且b 所对的角为x ，0πx <<， 根据余弦定理得，2222cos b a c ac x =+-②，
由①和②得2221
cos 222
a c ac ac ac x ac ac +--=≥=，
即1cos 2≥
x ，所以，0,3x π⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，对于()2sin(2)3f x x π=+， 可知，2,33x π
ππ⎛⎤
+
∈ ⎥⎝⎦
，则()[0,2]f x ∈；
答案：0,
3x π⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
，值域为[0,2]。

例题3：已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444
x x x
m n ==，若()f x m n =⋅, （1）求()f x 递增区间；
（2）ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且(2)cos cos a c B b C -=，求(A)f 的取值范围．
【答案】（1）42[4,4],33k k k Z ππππ-
+∈；（2）3(1,)2
. 解：∴1∴()f x m n =⋅
2cos cos 444
x x x + 1cos 2sin 222
x
x +=+ 1sin 262
x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴ 由22,2262x k k k Z πππππ-≤+≤+∈得：4244,33
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈∴ ()f x ∴的递增区间为424,4,33k k k Z ππππ⎡
⎤-
+∈⎢⎥⎣
⎦
∴2∴
()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=∴
2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ∴-=∴()2sin cos sin A B B C ∴=+∴ (),sin sin 0A B C B C A π++=∴+=≠∴1
cos 2
B ∴=
0B π<<∴2,03
3B A π
π∴=
∴<<
∴6262A πππ∴<+<∴1sin ,1262A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴ 又
()1sin 262x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴()1
sin 262
A f A π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭∴
故函数()f A 的取值范围是31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
∴
例题4：函数sin()2
4
x y π
=+的图象可以由函数cos 2
x y =的图象向________平移________个单位长度得到.
【答案】 右.
2
π. 例题5：设函数()5sin 22
f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，下述四个结论： ①()f x 的图象的一条对称轴方程为2
x π=-
②()f x 是奇函数
③将sin 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位长度可得到函数()f x 的图象； ④()f x 在区间123ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭，上单调递增． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．②③④
【答案】C
例题6：要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos 3y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象（ ） A ．向右平移6π
个单位 B ．向右平移
3π
个单位 C ．向左平移3
π
个单位
D ．向左平移6
π
个单位
【答案】A
例题7：要得到函数cos 37y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数cos3y x =的图象（ ） A ．向右平移7π
个单位长度 B ．向左平移
7π
个单位长度 C ．向右平移21
π
个单位长度
D ．向左平移21
π
个单位长度
【答案】C
任务三：当堂检测
模块组合：
1、独立完成
2、交叉批改
3、教师评价 1.用五点法作出函数32cos y x =+在[]0,2π内的图像. 【详解】列表：
描点得32cos y x =+在[]0,2π内的图像（如图所示）：
2.对于函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，①关于直线
12x π=-对称；②关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称；③可看作是把sin2y x =的图象向左平移
6π个单位而得到；④可看作是把sin 6y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上所有点的纵坐
标不变，横坐标缩短到原来的1
2
倍而得到.以上叙述正确的个数是( ) A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
3.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
部分图象如图所示.
（1）求()f x 的解析式；
（2）设()()cos2g x f x x =-，求函数()g x 在区间π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
【答案】（1）()πsin 26f x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭；（2）最大值为1，最小值1
2
-
4.已知函数()()2
cos 2cos 0ωωωω=+>f x x x x ，且()f x 的最小正周期为π.
（1）求ω的值及函数()f x 的递减区间；
（2）将函数()f x 的图象向右平移6π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，求当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()g x 的最大值.
任务四：课堂小结
模块组合：1、学生展示：本节课你的收获是什么？
2、教师点拨：本节课的重点内容和方法。

任务五：课后作业
模块组合：1、学生课后独立完成 2、教师核对答案针对性纠错。

1.已知函数2
2
()(sin cos )2cos 2f x x x x =++-. （I ）求函数()f x 的单调递增区间； （II ）当3,44x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大和最小值.
【答案】(Ⅰ)3,88k k ππππ⎡⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈；(Ⅱ)函数()f x 的最大值是1，最小值是.
2.已知函数()()π2f x x ϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象过点π,3⎛ ⎝.
（1）求()f x 图象的对称轴方程；
（2）求()f x 在,22ππx ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
上的最大值.
【答案】（1）()3
x k k Z π
π=+
∈；
（2）3.函数sin()(0,0,||)y A x B A ωϕωϕπ=++>><的图像如图所示，求A ，B ，ω，ϕ的值.
【答案】1,1A B ==；2ω=；56
ϕπ=
4.用五点法作出函数1
2sin 2
6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在一个周期上的大致图象．
【详解】列表如下：
函数1
2sin 2
6y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭在一个周期内的图象如下图所示：
5.函数()sin()f x A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，其中0A >，0>ω，π
||2
ϕ<
.
（1）求函数()y f x =解析式；
（2）求[0,π]x ∈时，函数()y f x =的值域； （3）将函数()y f x =的图象向右平移π
4
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递减区间.
【答案】（1）π()2sin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪
⎝⎭；（2）[]0,4；（3）单调减区间为5π11ππ,π1212k k ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z . 6.已知向量(3sin ,cos 2)a x x =+，(cos ,cos 2)b x x =-，设()f x a b =⋅
（1）求()f x 的解析式 （2）求()f x 的单调递增区间 （3）当[,
]6
3
x π
π
∈-
时，求()f x 的最大值和最小值
【答案】（1）7()sin(2)6
2f x x π
=+-
（2）单调递增区间为[,]()36
k k k Z ππ
ππ-+∈（3）最大值和最小值分别为5
,42
-
- 7.已知()3sin 214f x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭.
（1）求()f x 的图象是由sin y x =的图象如何变换而来？
（2）求()f x 的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x 的集合.
【答案】（1）见解析；（2）π；128x k π
π=+，k Z ∈；2；,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
8.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移56
π
个单位后得到函数()g x 的图象，设函数()()()h x g x f x =-. （1）求函数()h x 的单调递增区间； （2）若2
63
g πα⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭
，求()h α的值.
【答案】（1）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
；（2）23.
9.将函数()sin g x x =的图象纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），再将横坐标缩短为原来的1
2
倍（纵坐标不变），最后把得到的函数图象向左平移
8
π
个单位得到函数()y f x =的图象.
（1）写出函数()y f x =的解析式； （2）用五点法作出函数()7,,88y f x x ππ=∈-
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的图象. 【答案】（1）()2sin 24x f x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
；（2）见解析. 【详解】（1）根据三角函数的平移伸缩变换法知：()2sin 24x f x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
. （2）
7,88x ππ⎡⎤
⎢⎥⎣∈-⎦
，0224x ππ∴≤+≤，列表如下
画出函数图像，如图所示：
10．已知函数1
3sin 2
4y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭.
（1）用“五点法”作函数的图象；
（2）说出此图象是由sin y x =的图象经过怎样的变化得到的； （3）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）对称轴322x k ππ=
+，k Z ∈；对称中心2,02k ππ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，k Z ∈；单调递增区间34,422k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈.
解：（1）函数1
3sin 2
4y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭，对应五点如下表所示：
将点坐标3579,0,,3,,0,,3,,022222πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
分别描在平面直角坐标系中，连接各点如下图所示： ，
（2）方法一：将sin y x =的横坐标扩大为原来的2倍，可得1
sin 2y x =，再将函数图象向右平移2
π个单位可得1sin 2
4y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭，最后将纵坐标伸长为原来的3倍，即可得1
3sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；
方法二：将sin y x =向右平移
4π个单位可得sin 4y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，再将横坐标扩大为原来的2倍，可得
1sin 2
4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后将纵坐标伸长为原来的3倍，即可得1
3sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；
（3）由正弦函数的图象与性质可知，函数1
3sin 2
4y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭对称轴满足21,24x k k Z πππ-=+∈，解得
322
x k π
π=
+，k Z ∈； 由正弦函数的图象与性质可知，函数1
3sin 2
4y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭对称中心满足1,24x k k Z ππ-=∈，解得
22x k π
=
+π，所以对称中心为2,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，k Z ∈； 由正弦函数的图象与性质可知，函数1
3sin 2
4y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭的单调递增区间满足
12,2,2422x k k k Z πππππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得34,4,22x k k k Z ππππ⎡⎤
∈-++∈⎢⎥⎣⎦
，所以单调递增区间为34,422k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈. 11．已知函数()62f x sin x ⎛
⎫- ⎝π=-⎪⎭
，将函数()f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移
6
π
个单位，再向上平移2个单位，得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式； （2）求函数()g x 在,122ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）()26g x sin x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭；（2）1，1
2
-. 解：（1）函数()6sin 2f x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭π，将函数()f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移
6
π
个单位，再向上平移2个单位， 可得()sin 22266g x x ππ⎡⎤
⎛⎫=+--+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦， 化简得()sin 26g x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
（2）∵
12
2
x π
π
≤≤
，可得
723
6
6
x π
π
π≤+
≤
， ∴1sin 2126x π⎛
⎫-
≤+≤ ⎪⎝
⎭. 当6
x π
=时，函数()g x 有最大值1； 当2
x π=
时，函数()g x 有最小值1
2
-
12．已知O 为坐标原点，()cos ,1OA x =（()
2cos OB x x =（R x ∈（若()f x OA OB =⋅. （ 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（ 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4
π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在5,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最小值． 【答案】（1）,,3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
；（2）2
【详解】：(1)由题意()cos ,1OA x =∴()
2cos OB x x =∴
所以()2
2cos cos212sin 216f x x x x x x π⎛⎫
=+=++=+
+ ⎪⎝
⎭
∴ 所以函数()f x 的最小正周期为2π
π2
T ==∴ 由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈，
得,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈∴
所以()f x 的单调递增区间为,,3
6k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
.
(2)由(1)得()2sin 216f x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
∴ 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数为
2sin 16y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭∴再将得到的图象向左平移4π个单位，得到的图象对应的函数为
52sin 12sin 14612y x x πππ⎛⎫⎛
⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
∴()52sin 112g x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
∴ ∵5,1212x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
∴ ∴55,1236x πππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦
∴ ∴当55126x ππ+
=，即512x π=时，()g x 有最小值，且()min 552sin 12126g x g ππ⎛⎫
==+= ⎪⎝⎭
∴ ∴函数()y g x =在5,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为2∴ 专题五：三角函数模型简单应用
一、教学目标：
1.知识目标：掌握三角函数相关模型。

2.能力目标：会用三角函数模型解决简单实际生活问题。

3.领导型人才培养目标：结合学生实际，从“人自身”（学生自身）出发，能够用运用本节知识解决有关实际问题，并能结合其他知识熟练应用，最终达到培养学生数学素养的能力。

4. 具体环节体现的领培目标：
13)提问环节——培养学生“创新、荣誉、责任、贡献“的精神。

14)自主学习环节——培养学生“遵规、自强、梦想”的态度。

15)学生展示环节——培养学生“自强、创新、友善、包容、遵规、贡献、荣誉”的积极心态。

二、教学重点：
三角函数简单模型。

三、教学难点：
三角函数模型解决实际生活问题。

四、教学用具：多媒体，教具。

五、过程设计：
任务一：复习回顾三角函数。

模块组合：
1、教师提问，学生回顾展示。

2、教师点拨，学生总结记忆。

任务二：例题精讲
模块组合：1、学生先做，教师抽典例精讲。

2、学生进行基础知识与方法梳理。

3、教师引领总结升华。

例题1：《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中
最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4
米，肩宽约为π
8
米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为
1.732)
≈≈
A ．1.012米
B ．1.768米
C ．2.043米
D ．2.945米
【答案】B
【解析】由题得：弓所在的弧长为：πππ5π
4488
l =
++=
；
所以其所对的圆心角
5π
π
8524
α
==；
∴两手之间的距离π
2sin 2 1.25 1.7684
d R ==⨯≈．
2．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置(),P x y ，若初如位置为
012P ⎫
⎪⎪⎝⎭
，秒针从0P （注：此时0)t =开始沿顺时针方向走动，则点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关
系为
A ．π
πsin 30
6y t ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
B ．π
πsin 606y t ⎛⎫=-
- ⎪⎝⎭ C ．π
πsin 30
6y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
D ．π
πsin 30
6y t ⎛⎫=-
- ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】
秒针是顺时针旋转，
∴角速度0ω<．又由每60秒转一周，
2ππ
6030
ω∴=-
=-（弧度/秒）
，
由0P ，1)2，得，cos ϕ=，1sin 2
ϕ=． 解得π
6
ϕ=
， 3．某游乐场中半径为30米的摩天轮逆时针（固定从一侧观察）匀速旋转，每5分钟转一圈，其最低点离底面5米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度y （米)随时间t （秒
)变化的关系式为
A ．2π
π30sin 355
2y t ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
B ．π
π30sin 35150
2y t ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭ C ．2π
π30sin 55
2y t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
D ．π
π30sin 5150
2y t ⎛⎫=++
⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】设()sin y A t B ωϕ=++，
由题意可得30A =，2ππ
300150
ω=
=
，30253035B =⨯+-=，()0,5为最低点， 代入可得530sin 35ϕ=+，sin 1ϕ=-，
π
2π2k ϕ=-+，0k =时，π2
ϕ=-，
π
π30sin 35150
2y t ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭，
4.平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y （米)是随着一天的时间(024t t ，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t 的水深数据的近似值如表：
（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①()Asin y t ωφ=+，②
()Acos y t b ωϕ=++，③Asin (A 0y t b ω=-+>，0ω>，π0)ϕ-<<．中选择一个合适的函数模
型，并求出该拟合模型的函数解析式；
（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5~18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全． 【答案】（Ⅰ）π0.9sin 1.56y t ⎛⎫
∴=+
⎪⎝⎭
;（Ⅱ）这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．
【解析】（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：
依题意，选②()Acos y t b ωφ=++做为函数模型，
2.40.6 2.40.6
A 0.9 1.522
b -+∴=
===， 2π
ππ120.9cos 1.566T y t ωϕω
⎛⎫
=
=∴=
∴=++ ⎪⎝⎭
又
函数π0.9cos 1.56y t ϕ⎛⎫
=++
⎪⎝⎭
的图象过点()3,2.4， π2.40.9cos 3 1.56ϕ⎛⎫
∴=⨯⨯++ ⎪⎝⎭，
πcos 12ϕ⎛⎫
∴+= ⎪⎝⎭
，sin 1ϕ∴=-，
又
π0ϕ-<<，π2
ϕ∴=-，
πππ0.9cos 1.50.9sin 1.5626y t t ⎛⎫⎛⎫
∴=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：π0.9sin 1.56y t ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
令 1.05y ，即ππ10.9sin 1.5 1.05sin 662t t ⎛⎫⎛⎫
+∴-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()ππ7π
2π2π666
k t k k ∴-
+∈Z ， 121127k t k ∴-+ 又
51857t t 或1118t
∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，
才能确保集训队员的安全．
任务三：当堂检测
模块组合：
1、独立完成
2、交叉批改
3、教师评价
1.水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米若．以水面为x 轴，圆心到水面的垂线为y 轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点A 处开始计时，经过t 秒后转到P 点的位置，则点P 到水面的距离h 与时间t 的函数关系式为
A ．π
π3sin 1.540
6h t ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭ B ．π
π1.5cos 340
6h t ⎛⎫=++
⎪⎝⎭
C ．π
π3cos 1.540
3h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
D ．π
π1.5sin 340
3h t ⎛⎫=++
⎪⎝⎭
【答案】A
【解析】由题意，如图，过P 向x 轴作垂线，垂足为E ， 则 1.5h PE PD ==+，
3r =， 1.5BO =，可得π
6
CBA BAO ∠=∠=
， 水车的角速度2ππ
8040
ω=
=
， ∴由题意可得，π40PBA t ∠=，可得ππ
406
PBD PBA CBA t ∠=∠-∠=-，
∴在PBD ∆中，π
πsin 3sin 406PD PB PBD t ⎛⎫=∠=- ⎪⎝⎭，
∴点P 到水面的距离π
π1.53sin 1.540
6h PD t ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．
故选A ．
2.如图，摩天轮的半径为40m ，其中心O 点距离地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且
20min 转一圈，若摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中错误的是
A ．经过10min 点P 距离地面10m
B ．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的
1
2
倍 C ．第17min 和第43min 时P 点距离地面的高度相同
D ．摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m 的时间为20
3
min 【答案】B
【解析】依题意，40A =，50h =，20T =， 则2ππ2010ω=
=，且()040sin 5090f ϕ=+=，所以π2
ϕ=； 所以()π
π40sin 5010
2f t t ⎛⎫=++
⎪⎝⎭，()0t ．
对于A ．()π
π1040sin 10501010
2f ⎛⎫=⨯++=
⎪⎝⎭，A 正确；
对于B ，若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的2倍，B 错误； 对于C ，()π
π7π3π1740sin 175040cos 5040cos 5010
21010f ⎛⎫=⨯++=-+=+
⎪⎝⎭，
()π
π3π4340sin 435040cos 5010
210f ⎛⎫=⨯++=+ ⎪⎝⎭；
所以()()1743f f =，C 正确； 对于D ，令()70f t ，得π
π40sin 507010
2t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，
所以π1
cos
102
t ，
所以πππ2π2π3103k t k -
++，k ∈Z ； 解得1010202033
k t k -++，k ∈Z ；
101020333
⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 即摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m 的时间为20
3
min ，D 正确． 故选B ．
任务四：课堂小结
模块组合：1、学生展示：本节课你的收获是什么？ 2、教师点拨：本节课的重点内容和方法。

任务五：课后作业
模块组合：1、学生课后独立完成 2、教师核对答案针对性纠错。

1．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h ，低潮时水深为9m ，高潮时水深为15m ．每天潮涨潮落时，该港口水的深度()m y 关于时间()h t 的函数图象可以近似地看成函数()Asin y t k ωϕ=++的图象，其中024t ，且3t =时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是
A ．π
3sin 126y t =+ B ．π
3sin
126y t =-+ C ．π
3sin 1212
y t =+
D ．π
3cos 1212
y t =+
【答案】A 【解析】依题意，159A K A K +=⎧⎨-+=⎩，解得3
12A K =⎧⎨=⎩
，
又2π
12T ω
=
=，
π
6
ω∴=
． 又f （3）15=，
33sin π12156ϕ⎛⎫
∴++= ⎪⎝⎭，
πsin 12ϕ⎛⎫
∴+= ⎪⎝⎭
．
0ϕ∴=，
()π
3sin 126
y f t t ∴==+．
故选A ．
2．如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼()h T eLondonEye 是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮，已知其旋转半径60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为
A ．95米
B ．100米
C ．105米
D ．110米
【答案】C
【解析】设人在摩天轮上离地面高度（米)与时间t （分钟）的函数关系为
()()Asin (A 0f t t B ωϕ=++>，0ω>，[0ϕ∈，2π))；
由题意可知A 60=，1356075B =-=， 且最小正周期为2π
30T ω
==，
所以π15
ω=
， 即()π60sin 7515f t t ϕ⎛⎫
=++
⎪⎝⎭
； 又因为()013512015f =-=， 解得sin 1ϕ=-，所以3π
2
ϕ=， 所以()π
3ππ60sin 7560cos 7515
215f t t t ⎛⎫=++=-+
⎪⎝⎭，
所以()2π
1060cos 751053
f =-⨯+=． 故选C ．
3．位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没
有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中A O 与地面垂直，垂足为点D ，某乘客从D 处进入A 处的观景舱，顺时针转动t 分钟后，第1次到达B 点，此时B 点与地面的距离为114米，则t =
A ．16分钟
B ．18分钟
C ．20分钟
D ．22分钟
【答案】C
【解析】根据题意，作A OC D ⊥，，如下图所示；
直径为124，则A 62OB O ==，114BF =， 所以1456283OD =-=，
则1148331BE BF OD =-=-=， 所以311
sin 622
BE BOE OB ∠=
==， 即30BOE ∠=︒， 所以120BOD ∠=︒，
因为摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟， 所以从A 到B 所需时间为3601203020360︒-︒
⨯=︒
（分钟）
． 故选C ．
4．某摩天轮建筑，其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为
A ．75米
B ．85米
C ．100米
D ．110米
【答案】B
【解析】设P 与地面的高度()f t 与时间t 的关系为
()()Asin (A 0f t t B ωϕ=++>，0ω>，[0ϕ∈，2π))，
由题意可知A 50=，1105060B =-=，2π
21T ω
=
=，
2π21
ω∴=
， 即()2π50sin 6021f t t ϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
， 又
()011010010f =-=，
即sin 1ϕ=-， 故3π2
ϕ=
， ()2π
3π50sin 60212f t t ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，
f ∴（7）2π
3π50sin 7608521
2⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭．
故选B ．
5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如左图．假定在水流量稳定的情况下，半径为3m 的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为
π
/min 3
rad 的匀速圆周运动，平面示意图如图，已知筒车中心O 到水面BC 的距离为2m ，初始时刻其中一个盛水筒位于点0P 处，且()0
πA A //6
P O O BC ∠=，则8min 后该盛水筒到水面的距离为 m ．
【答案】72
【解析】由题意知，点0P 离水面的距离函数为ππ3sin 236y t ⎛⎫=++
⎪⎝⎭， 当8t =时，ππ17π373sin 823sin 223
6622y ⎛⎫=⨯++=+=+= ⎪⎝⎭， 则8min 后该盛水筒到水面的距离BE OC ⊥为
7m 2． 故答案为：72
． 专题六：平面向量的线性运算及坐标表示
一、教学目标：
1.知识目标：掌握向量的线性运算及坐标表示。

2.能力目标：会用线性运算解决数学问题。

3.领导型人才培养目标：结合学生实际，从“人自身”（学生自身）出发，能够用运用本节知识解决有关实际问题，并能结合其他知识熟练应用，最终达到培养学生数学素养的能力。

4. 具体环节体现的领培目标：
16) 提问环节——培养学生“创新、荣誉、责任、贡献“的精神。

17) 自主学习环节——培养学生“遵规、自强、梦想”的态度。

18) 学生展示环节——培养学生“自强、创新、友善、包容、遵规、贡献、荣誉”的积极心态。

二、教学重点：
向量的线性运算及坐标表示
三、教学难点：
线性运算的复杂应用。

四、教学用具：多媒体，教具。

五、过程设计：
任务一：复习回顾向量的线性运算及坐标表示。