第五章大数定律和中心极限定理讲解

12 June 2019
概率论与数理统计
理学院数学系
第五章 大数定律与中心极限定理
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说明：
(1) 切比雪夫弱大数定律和辛钦弱大数定律的条件是不同的， 但它们都可以推导出伯努利大数定律.
切比雪夫弱大数定律里随机变量序列不要求是同分布的， 但是要求它们的方差有一致的上界。
辛钦弱大数定律里随机变量序列是同分布的，但不要求 它们的方差存在或有一致上界。
讨论 “概率是频率的稳定值” 的确切含义：
伯努利大数定律和博雷尔强大数定律
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从抛硬币说起
回顾第一章概率的统计定义，我们是用 事件的频率近似代替这个事件的概率。
试验者 德.摩 根 蒲丰
皮尔逊 皮尔逊
维尼
抛 掷 次 数n 出现正面的次数m 出现正面的频率m / n
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切比雪夫弱大数定律
设X1, X2 , 为独立随机变量序列，具有共同
的数学期望，并且Var[Xi ] C, i 1, 2, , 则对任意 0有

lim
n
P

X1
X2 n

Xn






0.

注：这里的随机变量不要求是同分布的，
但是要求它们的方差有一致的上界。
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伯努利大数定律可以说是最早发现，也是最基本的大数定律， 以它为基础人们又发展起来其它的大数定律。 大家很容易理解抛硬币出现正面的概率是二分之一，但是日常 生活中，很多问题里事件的概率不能直观感受到或者预先知道， 这时我们就利用伯努利大数定律，以频率来代替概率。
种子粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000
2048
1061
0.518
4040 12000
2048 6019
0.5069 0.5016
24000 30000
12012 14994
0.5005 0.4998
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抛硬币实验的数学意义
我们用 n表示抛硬币n次中出现正面的次数， 是任意小的一个正数，譬如 =0.001，则
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除了伯努利实验，对一般的事件 有没有类似的大数定律？
某学校有10000个学生，平均身高为a；
1、随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。
2、随意观察10个学生的身高X1, X2 ,…, X10 ，则10个数据的均值 (X1+X2+…+X10 )/10与a较接近； 3、随意观察100个学生的身高X1, X2 ,…, X100 ，则100个数据 的均值(X1+X2+…+X100 )/100与a更接近； 4、随意观察1000个学生的身高X1, X2 ,…, X1000，则我们可以有 很大把握认为这些数据的均值(X1+X2+…+Xn ) / n与 a 充分接近.
(2) 以下我们仅就切比雪夫弱大数定律给出证明.
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设 vn 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，
每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 > 0，有
nlim
P

vn
n

p




0
注：这种极限收敛形式在概率论中，我们称为依概率收敛， 极限符号在概率符号之前。
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发芽粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 发芽率 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905
我们可以大胆认为：p 0.9
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第五章 大数定律与中心极限定理
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第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
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§5.1 大数定律
弱大数定律：
切比雪夫弱大数定律 辛钦弱大数定律
伯努利大数定律
强大数定律：
科尔莫哥洛夫强大数定律 博雷尔强大数定律
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对伯努利大数定律进行演绎
在n次伯努利试验中，以 p表示事件成功概率， 以Xi 表示第i次实验成功次数，则Xi B(1, p). 而X1 X2 Xn就表示n次试验中成功次数. 根据伯努利大数定律有
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辛钦弱大数定律
设X1, X2 , 为独立同分布的随机变量序列，
具有有限的数学期望，则对任意 0有
lim P n
X1
X2 n

Xn



0.

注：这里的随机变量序列是同分布的， 但不要求它们的方差存在或有一致上界。
nlim
P

vn
n

1 2




0
频率不一定恰好就是 1，有细微偏差，
2
但是与 1 的偏差超过 的可能性趋于零。
2
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Hale Waihona Puke 伯努利大数定律：频率“收敛于”概率
对一般的伯努利实验（p不一定是二分之一）有：
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意义：随着n的增大，依概率意义讲，频率
vn
n
越来
越接近概率p，而不接近 p 的可能性越来越小。
不能说： lim n
vn n

p，因为不管n有多大，仍可能有
pn
偏离 p 的情形出现(虽然这些例外情形出现的概率
趋于0)。
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lim
n
P

X1 X2 n

Xn

p




0,

注意到 E[ Xi ] p,进一步改写

lim
n
P

X1
Xn n

E[ X1 ]
E[Xn] n




0

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