第五章大数定律和中心极限定理讲解

第7页
伯努利大数定律可以说是最早发现，也是最基本的大数定律， 以它为基础人们又发展起来其它的大数定律。 大家很容易理解抛硬币出现正面的概率是二分之一，但是日常 生活中，很多问题里事件的概率不能直观感受到或者预先知道， 这时我们就利用伯努利大数定律，以频率来代替概率。
种子粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000
设 vn 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，
每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 > 0，有
nlim
P

vn
n

p




0
注：这种极限收敛形式在概率论中，我们称为依概率收敛， 极限符号在概率符号之前。
12 June 2019
概率论与数理统计
理学院数学系
第五章 大数定律与中心极限定理
第6页
Байду номын сангаас
意义：随着n的增大，依概率意义讲，频率
vn
n
越来
越接近概率p，而不接近 p 的可能性越来越小。
不能说： lim n
vn n

p，因为不管n有多大，仍可能有
pn
偏离 p 的情形出现(虽然这些例外情形出现的概率
趋于0)。
12 June 2019
概率论与数理统计
理学院数学系
第五章 大数定律与中心极限定理
第10页
切比雪夫弱大数定律
设X1, X2 , 为独立随机变量序列，具有共同
的数学期望，并且Var[Xi ] C, i 1, 2, , 则对任意 0有

lim
n
P

X1
X2 n

Xn






0.

注：这里的随机变量不要求是同分布的，
但是要求它们的方差有一致的上界。
12 June 2019
概率论与数理统计
理学院数学系
第五章 大数定律与中心极限定理
第9页
对伯努利大数定律进行演绎
在n次伯努利试验中，以 p表示事件成功概率， 以Xi 表示第i次实验成功次数，则Xi B(1, p). 而X1 X2 Xn就表示n次试验中成功次数. 根据伯努利大数定律有

lim
n
P

X1 X2 n

Xn

p




0,

注意到 E[ Xi ] p,进一步改写

lim
n
P

X1
Xn n

E[ X1 ]
E[Xn] n




0

12 June 2019
概率论与数理统计
理学院数学系
第五章 大数定律与中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理
第1页
第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
12 June 2019
概率论与数理统计
理学院数学系
第五章 大数定律与中心极限定理
第2页
§5.1 大数定律
弱大数定律：
切比雪夫弱大数定律 辛钦弱大数定律
伯努利大数定律
强大数定律：
科尔莫哥洛夫强大数定律 博雷尔强大数定律
讨论 “概率是频率的稳定值” 的确切含义：
伯努利大数定律和博雷尔强大数定律
12 June 2019
概率论与数理统计
理学院数学系
第五章 大数定律与中心极限定理
第3页
从抛硬币说起
回顾第一章概率的统计定义，我们是用 事件的频率近似代替这个事件的概率。
试验者 德.摩 根 蒲丰
皮尔逊 皮尔逊
维尼
抛 掷 次 数n 出现正面的次数m 出现正面的频率m / n
第8页
除了伯努利实验，对一般的事件 有没有类似的大数定律？
某学校有10000个学生，平均身高为a；
1、随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。
2、随意观察10个学生的身高X1, X2 ,…, X10 ，则10个数据的均值 (X1+X2+…+X10 )/10与a较接近； 3、随意观察100个学生的身高X1, X2 ,…, X100 ，则100个数据 的均值(X1+X2+…+X100 )/100与a更接近； 4、随意观察1000个学生的身高X1, X2 ,…, X1000，则我们可以有 很大把握认为这些数据的均值(X1+X2+…+Xn ) / n与 a 充分接近.
12 June 2019
概率论与数理统计
理学院数学系
第五章 大数定律与中心极限定理
第12页
说明：
(1) 切比雪夫弱大数定律和辛钦弱大数定律的条件是不同的， 但它们都可以推导出伯努利大数定律.
切比雪夫弱大数定律里随机变量序列不要求是同分布的， 但是要求它们的方差有一致的上界。
辛钦弱大数定律里随机变量序列是同分布的，但不要求 它们的方差存在或有一致上界。
nlim
P

vn
n

1 2




0
频率不一定恰好就是 1，有细微偏差，
2
但是与 1 的偏差超过 的可能性趋于零。
2
12 June 2019
概率论与数理统计
理学院数学系
第五章 大数定律与中心极限定理
第5页
伯努利大数定律：频率“收敛于”概率
对一般的伯努利实验（p不一定是二分之一）有：
2048
1061
0.518
4040 12000
2048 6019
0.5069 0.5016
24000 30000
12012 14994
0.5005 0.4998
12 June 2019
概率论与数理统计
理学院数学系
第五章 大数定律与中心极限定理
第4页
抛硬币实验的数学意义
我们用 n表示抛硬币n次中出现正面的次数， 是任意小的一个正数，譬如 =0.001，则
12 June 2019
概率论与数理统计
理学院数学系
第五章 大数定律与中心极限定理
第11页
辛钦弱大数定律
设X1, X2 , 为独立同分布的随机变量序列，
具有有限的数学期望，则对任意 0有
lim P n
X1
X2 n

Xn



0.

注：这里的随机变量序列是同分布的， 但不要求它们的方差存在或有一致上界。
发芽粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 发芽率 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905
我们可以大胆认为：p 0.9
12 June 2019
概率论与数理统计
理学院数学系
第五章 大数定律与中心极限定理
(2) 以下我们仅就切比雪夫弱大数定律给出证明.
12 June 2019
概率论与数理统计