泛函分析考试题集与答案

泛函分析复习题2012

1．在实数轴R 上，令p

y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量

空间，p 为何值时，R 是赋范空间。

解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈∀,,，必须有：

),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立

即p

p

p

z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p

p p ，所以，1≤p

若R 是赋范空间，p

x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈∀,， 必须有：||||||||||x k kx ⋅=成立，即p

p

x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。

2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d

d

d +=12也是使X 成为度量空间。

解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈∀,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d

和0)

,(1)

,(),(2≥+=

y x d y x d y x d

且当y x =时0),(=y x d ，

于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0)

,(1)

,(),(2=+=y x d y x d y x d

以及若

0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0)

,(1)

,(),(2=+=

y x d y x d y x d

均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =，

因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),()

,(1)

,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=

3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此

}1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤

以及设x

x

x f +=

1)(，0)1(1)(2

>+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以)

,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+=

),(),(1)

,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++=

),(),()

,(1)

,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤

综上所述)1,m in(1d d =和d

d

d +=

12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。

3．设H 是内积空间，H y y x x n n ∈,,,，则当x x n →，y y n →时，

),(),(y x y x n n →，即内积关于两变元连续。

解：H 是内积空间，设||||⋅是由其内积导出的范数，由于x x n →，

y y n →，

所以0>∀ε，0n ∃使得当0n n >时均有ε<-||||x x n 和

ε<-||||y y n

同时由于y y n →，故知n y 有界，H x ∈所以||||x 有限。因此可取

||)||||,(||sup 1n n y x M ∞

≤≤=

因此|),(),(),(),(||),(),(|y x y x y x y x y x y x n n n n n n -+-=-

|

),(||),(||),(),(||),(),(|y y x y x x y x y x y x y x n n n n n n n -+-=-+-≤

ε

M y y M x x M y y x y x x n n n n n 2||||||||||||||||||||||||≤-+-≤-⋅+⋅-≤

故0)},(),(lim{=-∞

→y x y x n n n ，即),(),(y x y x n n →

4．设Y X ,是线性赋范空间，Y X T →:是线性算子，则T 不是连续的，当且仅当X x n ∈∃，使得0→n x ，但∞→||||n Tx

解：设T 不是连续的，则T 在X 上的每一点0x 都不是连续的，因此在点00=x 也不是连续的。则T 在包含X 上0点的任何有界邻域内

均无界，

取X O S ⊂=)2

1,0(1，则T 在1S 上无界，因此11S x ∈∃， 使得1||||1>Tx 成立。 取X O S ⊂=)2

1

,

0(22，则T 在2S 上无界，因此22S x ∈∃， 使得2||||2>Tx 成立。 类似地过程一直进行，直到 取X O S n n ⊂=)2

1

,

0(，则T 在n S 上无界，因此n n S x ∈∃， 使得n Tx n >||||成立。

因此，X x n ∈∃，使得0→n x ，但∞→||||n Tx

另外，如果有X x n ∈，当0→n x ，有∞→||||n Tx

由于在Y 上不能找到一点Y y ∈，使得∞=||||Ty ，因此对所有的点Y y ∈，均无法使得∞=||||Ty 成立，因此，在条件0→n x 下，对于所有的点Y y ∈，Ty Tx n →||||均不成立。所以T 在X 上的0点不是连续的，故T 不是连续的。

5．对于每个有界序列)(n α，定义线性算子p

p l l T →:，

),,(|),,(221121 x x x x αα→

求?||||=T

解：由于)(n α有界，所以有0>M ，使得||sup n n

M α=