椭圆的简单几何性质(二)

x
高考热点:求离心率
x2 y2
1.若椭圆 k 8+ 9 =1的离心率为 0.5，求k的值
解 ： 由 题 意 得 ：e 2
b2 1 a2
1 4
(1)当焦点在x轴上，k 8 9
分
则1 9 1
类
k 8 4
讨
k 4
论
(2)当焦点在y轴上， 0 k 8 9
的 思
则1 k 8 1
想
9
y
.B2
.P(x,y)
. . . . . F1
F2
A1
oHale Waihona Puke Baidu
A2
x
.
B1
po 2 x2 y2 ,
x2 a2
y2 b2
1, y2
b2
b2 a2
x2.
po 2 x2 y2 b2 (1 b2 )x2 b2 c2 x2
a2
a2
0 x2 a2,b2 po 2 b2 c2 a2.
F
B
A
例2.我国自行研制的“中星20号”通信卫星，于 2003年11月15日升空精确地进入预定轨道。这 颗卫星的运行轨道，是以地球的中心为一个焦点 的椭圆，近地点与地球表面距离为212Km，远 地点与地球表面距离为41981Km.已知地球半径 约为6371 Km，求这颗卫星运行轨道的近似方程 （长、短半轴长精确到0.1 Km）．
e c a
a2=b2+c2
x2 y2 b2 a2 1(a b 0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
探 任意究1一：点椭P圆到椭ax22圆 by中22 心1(Oa 的b 距 0离) 上的 ︱PO ︱的取值范围。
y
解： 由题意及椭圆的几何性质知
该卫星运行轨道的近地点与远
a+c
地点恰好是相应椭圆的长轴两 端点，设两端点为A,B,并以 B A,B所在直线为x轴，线段AB
F
o
A
a-c
x
中垂线为y轴建立如图所示平
面直角坐标系,并设地心在椭
圆的右焦点F处。 所以设它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1a
b 0
则 a-c=|FA|
标准方程
范复围 习
对称性 顶点坐标
焦点坐标 半轴长
离心率 a、b、c的关 系
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
4
k 5 4
综上得k 4或k 5 4
2.若椭圆
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
的两个
焦点及一个短轴端点构成正三角形，求其离心
率。
y
B2
A1
b
F1 o c
A2
F2
x
变式：若B1B2F2 是等边三角形？ B1
基本量a，b，c，e 及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系
3.已知椭圆的一个焦点将长轴分为 3 : 2 两段，
=6371+212=6583，
a+c=|FB|
解得
=6371+41981=48352.
a=27467.5，
B
∴b=√a2-c2=√(a+c)(a-c)
=√48352×6583
≈17841.0 .
∴ 所求的卫星运行轨道的近似方程为
x2
y2
27467 .52 17841 .02 1.
y
a+c
F
o
A
a-c
求其离心率
解：由题意， (a c) :(a c) 3 : 2
解得 e 5 2 6
,即 1 e 3 1e 2
4.若椭圆的长轴长不大于短轴
长的２倍，则椭圆的离心
e 率
。 0,
3
2
B1
例2.我国自行研制的“中星20号”通信卫星，于 2003年11月15日升空精确地进入预定轨道。这 颗卫星的运行轨道，是以地球的中心为一个焦点 的椭圆，近地点与地球表面距离为212Km，远 地点与地球表面距离为41981Km.已知地球半径 约为6371 Km，求这颗卫星运行轨道的近似方程 （长、短半轴长精确到0.1 Km）．
b po a.
结论：椭圆短轴端点离椭圆中心最近，长轴端点离中心最 远。注意利用二次函数讨论最值的方法及函数思想的应用。
探究2：
椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0上) 的任意一
点P到左焦点F1的距离︱P F1 ︱ 的取
值范围。
y
.B2
.P(x,y)
. . . . . F1
F2
A1
o
A2
x
.