含参数线性规划题型归纳

线性规划中带有参数重难点突破题型分析

(一) 目标函数中含参数

例1．已知实数,x y满足约束条件

2

1

2(2)

y

x y

y x

≤

⎧

⎪

+≥

⎨

⎪≥-

⎩

，若(0)

z x ty t

=+>的最大值为11，则实数t=______.

【解析】由已知得到可行域如图：

可求出三个交点坐标A（3，2），B（-1,2）,C

52

,

33

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

,目标函数(0)

z x ty t

=+>的最大值为11，

几何意义是直线

1z

y x

t t

=-+截距的最大值为11,

由图得知,当

1z

y x

t t

=-+过点A截距取得最大值,故1132t

=+，解得=4。

【变式训练1】．（线性规划与基本不等式）设变量，满足约束条件，若目标函数

的最小值为1，则的最小值为（）

A．B ．C．D．

【解析】变量x，y满足约束条件的可行域如图，

当直线z＝ax+by（a＞0，b＞0）过直线y＝1和2x﹣y﹣3＝0的交点（2，1）时，有最小值为1；∴2a+b＝1，（2a+b）（）＝33+23+2．

选D．

【变式训练2】．（2015山东）已知,x y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪

+⎨⎪⎩

≥≤≥，若z ax y =+的最大值为4，则a =

A ．3

B ．2

C ．－2

D ．－3 【解析】 由z ax y =+得y ax z =-+，借助图形可知： 当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意； 当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==， 不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值

14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，

即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >．

【变式训练3】．y x ,满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯．．

一．，则实数a 的值为（ ） A ．

121-或 B ．2

1

2或 C ．2或1 D ．12-或 【解析】解法一 由题中条件画出可行域，

可知三交点(0,2)A ，(2,0)B ，(2,2)C --，则2A z =，2B z a =-，22C z a =-，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要A B C z z z =>或A C B z z z =>或B C A z z z =>，解得1a =-或2a =．

解法二 目标函数z y ax =-可化为y ax z =+，令0l ：y ax =，平移0l ，则当0l AB ∥ 或0l AC ∥时符合题意，故1a =-或2a =．

(二)约束条件中含参数

例2．实数x ，y 满足121y y x x y m

≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩

，如果目标函数z x y =-的最小值为2-，则y

x 的最小值为_______．

【解析】先做1

21

y y x ≥⎧⎨

≤-⎩的区域如图可知在三角形ABC 区域内，

由z x y =-得y x z =-可知，直线的截距最大时，z 取得最小值，此时直线为()22y x x =--=+， 作出直线2y x =+，交21y x =-于A 点，

由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x y m +=也过A 点，

由212y x y x =-⎧⎨=+⎩，得35

x y =⎧⎨=⎩，代入x y m +=，得358m =+=，所以点C 的坐标为()7,1． y x 等价于点(,)x y 与原点连线的斜率，所以当点为点C 时，y x 取得最小值，最小值为17

。 【变式训练1】．若,x y 满足20

200x y kx y y +-≥⎧⎪

-+≥⎨⎪≥⎩

且z y x =-的最小值为－4，则k 的值为

A ．2

B ．-2

C ．

12 D ．12

- 【解析】作出线性约束条件20200x y kx y y +-≥⎧⎪

-+≥⎨⎪≥⎩

，的可行域．当0k >时，如图(1)所示，此时可行域为y 轴上方

直线20x y +-=的右上方、直线20kx y -+=的右下方的区域，显然此时z y x =-无最小值．当1k <- 时．z y x =-取得最小值2；

当1k =-时，z y x =-取得最小值-2，均不符合题意， 当10k -<<时，如图(2)所示，此时可行域为点A (2，0)，B （-

2

k

，0），C (0，2)所围成的三角形区域，当

直线z y x =-经过点B （-

2

k

，0）时，有最小值， 即2()4k --=-，所以得1

2

k =-．故选D ．

【变式训练2】．（线性目标函数y 的系数为负值）已知x ，y 满足约束条件，若20

100x x y x y m -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩

，若32z x y =-的最大值为4，则实数m 的值为（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．8

【解析】由不等式组，画出可行域如下图所示：

线性目标函数z 3x 2y =-，化为322

z y x =

- 画出目标函数可知，当在A 点时取得z 取得最大值 因为A （2，-2+m ）代入目标函数可得34

2222

m -+=⨯-解得m=3所以选B 。

(三)目标函数及约束条件中均含参数

例3．（2011湖南）设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪

≤⎨⎪+≤⎩

下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值

范围为（ ）

A ．（1，12+

B ．（12+∞）

C ．（1,3 ）

D ．（3，+∞）