三角函数高考试题精选(含详细答案解析)

三角函数高考试题精选
一．选择题（共18小题）
1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π
2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣
C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=
3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．
4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线x=对称
C．f（x+π）的一个零点为x=
D．f（x）在（，π）单调递减
5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）
A．B．1 C．D．
7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．
9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）
A．﹣B．﹣C．D．
10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关
11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）
A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）
12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）
上单调，则ω的最大值为（）
A．11 B．9 C．7 D．5
13．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）
A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）
A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）
15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为
C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为
16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（）
A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）
A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣） C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）
18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题（共9小题）
19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ= ．
20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．
21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin 2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．
22．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x ﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．
25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．
26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到．
27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是．
三．解答题（共3小题）
28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．
29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．
30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
三角函数2017高考试题精选（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π
【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
∵ω=2，
∴T=π，
故选：C
2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣
C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=
【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，
又f（）=2，f（）=0，得，
∴T=3π，则，即．
∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），
由f（）=，得sin（φ+）=1．
∴φ+=，k∈Z．
取k=0，得φ=＜π．
∴，φ=．
故选：A．
3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．
【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．
故选：C．
4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线x=对称
C．f（x+π）的一个零点为x=
D．f（x）在（，π）单调递减
【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，
C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，
D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D 错误，
故选：D
5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，
故选：D．
6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）
A．B．1 C．D．
【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos （﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）
=sin（x+）．
故选：A．
7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），
则函数的周期相同，若a=3，
此时sin（3x﹣）=sin（3x+b），
此时b=﹣+2π=，
若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin （3x﹣b+π），
则﹣=﹣b+π，则b=，
综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），
共有2组，
故选：B．
8．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．
【解答】解：∵tanα=，
∴cos2α+2sin2α====．
故选：A．
9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）
A．﹣B．﹣C．D．
【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ
==．
故选：D．
10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关
【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，
∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，
当b=0时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T==π，当b≠0时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，
∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，
∴f（x）的最小正周期为2π，
故f（x）的最小正周期与b有关，
故选：B
11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）
A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）
【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），
由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），
即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），
故选：B．
12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）
A．11 B．9 C．7 D．5
【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）
即ω=2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，
即T=≥，解得：ω≤12，
当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，
∵|φ|≤，
∴φ=﹣，
此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；
当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，
∵|φ|≤，
∴φ=，
此时f（x）在（，）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选：B
13．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）
A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度
【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，
故选：D．
14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）
A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）
【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，
由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，
可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，
即有y=2sin（2x﹣）．
故选：D．
15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为
C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为
【解答】解：将x=代入得：t=sin=，
将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，
得到P′（+s，）点，
若P′位于函数y=sin2x的图象上，
则sin（+2s）=cos2s=，
则2s=+2kπ，k∈Z，
则s=+kπ，k∈Z，
由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，
故选：A．
16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（）
A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度
【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，
平移后函数解析式为：y=sin（x+），
可得平移量为向左平行移动个单位长度，
故选：A
17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）
A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣） C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）
【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，
=，故T=π，ω=2，
故y=2sin（2x+φ），
将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，
则φ=﹣满足要求，
故y=2sin（2x﹣），
故选：A．
18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）
=1﹣2sin2x+6sinx，
令t=sinx（﹣1≤t≤1），
可得函数y=﹣2t2+6t+1
=﹣2（t﹣）2+，
由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，
即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．
故选：B．
二．填空题（共9小题）
19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ= ．
【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴α+β=π+2kπ，k∈Z，
∵sinα=，
∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=．
故答案为：．
20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．
【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，
要使+=2，
∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．
则：，k1∈Z．
，即，k2∈Z．
那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．
∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．
故答案为：．
21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是 1 ．
【解答】解：f（x）=sin 2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，
令cosx=t且t∈[0，1]，
则y=﹣t 2+t+=﹣（t﹣）2+1，
当t=时，f（t）max=1，
即f（x）的最大值为1，
故答案为：1
22．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．
【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ），其中tanθ=2，
可知函数的最大值为：．
故答案为：．
23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x ﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为 4 ．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），
∴必有|a|=2，
若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），
则函数的周期相同，若b=3，此时C=，
若b=﹣3，则C=，
若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，
综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），
共有4组，
故答案为：4．
24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7 ．
【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：
由图可知，共7个交点．
故答案为：7．
25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．
【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），
令f（x）=2sinx，
则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），
依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），
故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），
即φ=﹣2kπ+（k∈Z），
当k=0时，正数φmin=，
故答案为：．
26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到．
【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin
（x﹣），
∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），
令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），
则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），
即φ=﹣2kπ（k∈Z），
当k=0时，正数φmin=，
故答案为：．
27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是8 ．
【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，
可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①
由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，
在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，
又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，
则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，
由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，
令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，
由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，
tanAtanBtanC=﹣=﹣，
=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，
因此tanAtanBtanC的最小值为8，
另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，
两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，
∵﹣tanA=tan（B十C）=，
∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，
∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，
令tanAtanBtanC=x＞0，
即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．
当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，
解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．
三．解答题（共3小题）
28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，
=（co2x+sin2x）﹣sin2x，
=cos2x+sin2x，
=sin（2x+），
∴T==π，
∴f（x）的最小正周期为π，
（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，
∴2x+∈[﹣，]，
∴﹣≤sin（2x+）≤1，
∴f（x）≥﹣
29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x ﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x
=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；
再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，∴g（）=2sin+﹣1=．
30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx==．
由T=，得ω=1；
（2）由（1）得，f（x）=．
再由，得．
∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．。