离散小波变换

第三章 离散小波变换

3.1 尺度与位移的离散化方法

减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数⎪⎭

⎫

⎝⎛-=

a t a t a τψψτ1)(,的τ,a 限定在一些离散点上取值。

1. 尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，

即取m

m a a 0=（m 为整数，10≠a ，一般取20=a ）。如果采用对数坐标，则尺度a

的离散取值如图3.1所示。

图3.1 尺度与位移离散方法

2. 位移的离散化：当120==a 时，()τψψτ-=t t a )(,。 （1）通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。

（2）要求采样间隔τ满足Nyquist 采样定理，即采样频率大于该尺度下频率通带的2倍。

3. )(,t a τψ=？

当m 增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图2.2），可见采样频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度0=m 时τ的间隔为s T ，则在尺度为m 2时，间隔可取s m T 2。此时)(,t a τψ可表示为

为简化起见，往往把t 轴用s T 归一化，这样上式就变为

()n t t m m n m -=--

22)(2

,ψψ （3.1）

4. 任意函数)(t f 的离散小波变换为

⎰⋅=R

n m f dt t t f n m WT )()(),(,ψ （3.2）

DWT 与CWT 不同，在尺度—位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题：

（1）离散小波变换>=<)(),(),(,t t f n m WT n m f ψ是否完全表征函数)(t f 的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数)(t f 。

（2）是否任意函数)(t f 都可以表示为以)(,t n m ψ为基本单元的加权和

∑∈=

Z

n m n m n

m t C

t f ,,,)()(ψ？如果可以，系数n m C ,如何求？

上述两个问题可以归结为一个。假设条件（1）满足，可合理的选择ψ，并对τ,a 进行适当的离散（即适当的选择s T a ,0），那么一定存在与小波序列n m ,ψ对

应的n

m ,~ψ序列，使得问题（1）的重建简单地表示为 ∑∈><=

Z

n m n

m n

m f t f ,,,~,)(ψψ

（3.3） n m ,~ψ称为n

m ,ψ的对偶，它可以由一个基本小波)(~t ψ通过位移和伸缩取得： 由上式，若存在)()(2R L t g ∈，则有

=∑>><

m n

m n m g f ,,,),~,(ψψ =∑>><

m n

m n m f g ,,,,~,ψψ =∑>><

m n

m n m f g ,,,,~,ψψ 也即

故问题（2）也成立，其中>=

m n m g C ,,~,ψ 由于问题（1）和问题（2）是统一的，我们首先来看问题（1），该问题的数学语言描述如下：

若小波系数>

>

当1f 和2f 很接近时，Z n m n m f ∈><,,1,ψ 和Z n m n m f ∈><,,2,ψ也必然很接近。用范数

的概念来描述，即当21f f -为一个很小的数时，2

,,2,1,,∑><->

m n m n m f f ψψ也

必然为一个很小的数，用数学公式来描述：

2

212

,,2,1,,f f B f f n

m n m n m -≤><-><∑ψψ ， +∈R B

也即

2

2

,,,f

B f n

m n m ≤><∑ψ （3.4a ）

若要小波系数>

当序列Z n m n m f ∈><,,1,ψ 和Z n m n m f ∈><,,2,ψ很接近时，函数1f 和2f 也很接近，即

,,2

,,2

∑><≤n

m n m f f

A ψ +∈R A （3.4b ）

把（3.4a ）和（3.4b ）合到一起。我们便得到一个合理的离散小波变换，该小波变换对所有)()(2R L t f ∈必须满足下述条件：

;,2

2

,,2

f B f f

A n

m n m ≤><≤∑ψ +∈R B A , （3.4c ）

满足式（3.4c ）的离散函数序列{}Z n m n m ∈,;,ψ在数学上称为“框架”。

3.2 小波框架与离散小波变换的逆变换

3.2.1 小波框架

（1）小波框架的定义

当由基本小波)(t ψ经伸缩和位移引出的函数族

()

s j j

k j kT t a a t -=--

02

0,)(ψψ； Z k j ∈, （3.5）

具有下述性质时：

;,2

2

,2

f B f f

A j

k

k j ≤><≤∑∑ψ ∞<<

便称{}Z k j k j t ∈,,)(ψ构成了一个小波框架，

称上式为小波框架条件，其频域表示为 ∑∈≤ψ≤Z

j j

,)2(2

βωα ∞<<<βα0 （3.7）

（2）小波框架的性质

1）满足小波框架条件的)(,t k j ψ，其基本小波)(t ψ必定满足容许性条件。 但是并不是满足容许性条件的小波，在任意离散间隔s T 及尺度基数0a 下都满足小波框架的条件。

2）小波函数的对偶函数()

k t t j j

k

j -=--2~2)(~2,ψψ也构成一个框架，其框架的上、下界是)(,t k j ψ框架上、下界的倒数：

2

2,2

1~,1

f B f f A

j k

k

j ≤><≤∑∑ψ （3.8）

3）离散小波变换具有非伸缩和时移共变性。

4）离散小波变换仍然具有冗余度。