积分与数学期望

积分与数学期望

作者 闫春霞

（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）

摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关系。本文将从两个部分进行讨论。第一部分是测度空间上的积分的定义与其性质。第二部分是测度空间（概率空间）上的数学期望的定义与其性质。这其中包括着两者之间的关系。 关键词：积分；数学期望；测度空间

1 积分的定义与性质

1.1 积分的定义

定义1.1.1 设(),F,μΩ为测度空间，12,,,m A A A ⋅⋅⋅为两两不交的可测集，且

1

m

i i A ==Ω∑，

0,1,2,,i x i m ≤≤∞=⋅⋅⋅则称1

i m

i A i f x I ==∑为非负简单函数，定义在上对的积分为：

()1

1

i

m

m

i A i i i i f d x I

d x A μμμΩ

Ω

====∑∑⎰

⎰

如上，此定义是在测度空间上定义的，所以，显然，讨论积分的空间必为可测空间，而f 正是此可测空间上的一个可测函数（此定义中的是特殊的可测函数——非负简单函数，以下的定义2是一般可测函数的积分定义），并且其在此空间上积分有限的充要条件是f 的测度为有限的，这点在以下的积分的性质中会有体现。

现在，给出一般可测函数的积分定义，我们知道，若f 为可测函数，则,f f +-

均为非负可

测函数

f f f +-=+，于是可以利用非负可测函数的积分来定义一般可测函数的积分。

定义 1.1.2 设f 为可测空间(),F ,μΩ上的可测函数。如果

f d μ+Ω

<+∞⎰

与

f d μ-Ω

<+∞⎰

至少一个成立，则称f 积分存在，也称积分有意义，将f 在Ω上对μ的积

分定义为：

f d f d f d μμμ+-Ω

Ω

Ω

=-⎰

⎰⎰

特别地，如果

f d μ+Ω

<+∞⎰

与f d μ-Ω

<+∞⎰同时成立，则f d μΩ

⎰为一个有限实值，此

时称可积。

下面再叙述一个积分的定义，此时的函数并不是测度空间上的一个可测函数，但其是该空间上的几乎处处可测的函数。

定义 1.1.3 设f 为测度空间(),F,μΩ上的可测函数，..g a e 有定义，且..f g a e =，若积分存在（积分），则称积分存在（可积），并将的积分定义为

f d gd μμΩ

Ω

=⎰

⎰

上述定义将积分的概念进一步扩大到..a e 可测的情形，甚至在一个零测集内可以没有定义。因此，对于一个积分存在的函数，在一个零测集上随意变更甚至取消其函数值，结果“积分存在性”、“可积性”都不变。因此以上所叙述的定理、命题中，将条件所属函数用..a e 相等的函数替换，不会影响关于积分的结论成立。 1.2 积分的性质

命题 1.2.1 设,f g 为测度空间(),F,μΩ上的非负简单函数，则有 （1） 线性性质：若0,a b ≤≤∞，则()af bg d a f d b gd μμμΩΩ

Ω

+=+⎰⎰

⎰；

（2） 单调性：若f g ≤，则

f d gd μμΩ

Ω

≤⎰

⎰；

（3） 对于任意的F B ∈，令()B B fI d ϕμΩ

=

⎰

，则ϕ为F 上的测度。

命题 1.2.2 设,f g 为测度空间(),F,μΩ上的非负可测函数，则有 （1） 若0f d μΩ

>⎰

，则存在0δ>及A δ，使得(),A A f I δδμδδ≥≥；

（2）

00..f d f a e μΩ

=⇔=⎰

；

（3） 单调性f g f d gd μμΩ

Ω

≤⇒

≤⎰

⎰；

（4） ()0f f d μμΩ

=∞>⇒=∞⎰即..f d f a e μΩ

<∞⇒<+∞⎰；

（5） ..f g a e f d gd μμΩ

Ω

=⇒

=⎰

⎰

命题 1.2.3（单调收敛定理）设{}n f ，f 为测度空间(),F,μΩ上的非负可测函数，且

n f f ↑，则有：

lim lim n n n n f d f d f d μμμΩ

ΩΩ

→∞→∞

==⎰⎰⎰

下面，在定义1.1.3的基础上，在已将概念扩大到..a e 可测的情形上，进一步叙述一下积

分的一些比较复杂的性质。

命题 1.2.4 设f 为可测空间(),F,μΩ上的可测函数，且积分存在，设{}

F n B n N +

∈⊂，

且

1

n

n B

B ∞

==∑，则

1

n

B

B n f d f d μμ∞

==∑⎰

⎰ （1）

若f 积分存在但不可积，则两个正项级数一个手链一个发散，（1）式两端或者同为+∞，或者同为-∞，等式仍然成立。而且，上述定理中，若令()B

B f d ϕμ=

⎰

，则()B ϕ具有σ

可加性，那么久和后面的符号测度联系起来了，在此不再赘述。

命题 1.2.5（积分的绝对连续性） 如果f 可积，则对任意的0ε>，存在0σ>，使得任意F B ∈，只要()B μσ<，就有

B

f d με<⎰

。

下面，在本文的积分部分再叙述一个重要的定理，此定理不仅在积分中有重要的应用，在以后的学习和定理证明中也有重要的作用，此定理就是Fatou 定理。 命题 1.2.6 设{}n f 为测度空间(),F,μΩ上的一列可测函数。 （1） 若存在可积函数g ，使得n N +

∀∈，n f g ≥，则有lim lim n

n n n f d f d μμΩΩ→∞→∞≤⎰

⎰

（2） 若存在可积函数h ，使得n N +∀∈，n f h ≤，则有

lim lim n

n n n f d f d μμΩΩ

→∞→∞≥⎰

⎰

2 数学期望

2.1 数学期望的定义

数学期望，简称期望，是概率论的一个基本概念，在初等概率论中我们分别对离散型随

机变量与连续性随机变量定义了期望，下面我们对所有类型的随机变量统一定义期望。 定义 2.1.1 设(),F,ΩP 为概率空间，X 为可测函数，若X 在Ω上对P 的积分存在，则

称其积分值为随机变量X 的数学期望，简称期望，并用记号X E 表示

即

X Xd Ω

E ∆P ⎰

由以上定义可以看出数学期望也是测度空间上可测函数的积分，因此具备前述关于积分的所有性质，不再一一重述。特殊之处在于，此测度空间是概率空间，而概率空间是有限测度空间，所以在这个空间上如前所述的可测函数关于测度的积分变成了其对概率的积分，因而具备一些特殊的性质，例如下面数学期望中要提到的收敛定理。 在测度论的学习中，我们在测度空间上重新定义数学期望等随机变量的概念，我自己觉得最有收获的地方在于两点：第一，初等概率论中我们只对离散型和连续型随机变量做了定义，