拉格朗日插值公式的证明及其应用讲解

拉格朗日插值公式的证明及其应用

摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估

曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()n

k k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的

准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值

１.１. 线性插值的定义

假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =,

()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ．

()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线，

如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即

()()k k

k k

k k x x x x y y y x L ---+

=++111 (点斜式)， 图１

()11111++++--+--=

k k

k k

k k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)．

y=L 1x ()

y=f x ()

y k+1

y k

x k+1

x k o y

x

2 由两点式方程看出，()x L 1由两个线性函数()11++--=

k k k k x x x x x l ,()k

k k

k x x x x x l --=++11的线性组合

得到,其系数分别为k y 及1+k y ,即()()()x l y x l y x L k k k k 111+++=． 显然,()x l k 及()x l k 1+也是插值多项式,在节点k x 及1+k x 上满足条件

()1=k k x l ， ()01=+k k x l ， ()0=k k x l ， ()111=++k k x l ．

称函数,()x l k （图２）及()x l k 1+（图３）为一次插值基函数或线性插值基函数. 图象为：

图2 图3

１.２. 线性插值例题

例1. 已知,352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===用线性插值计算.

解：由题意取000.320.314567x y =⎧⎨

=⎩，⎩⎨⎧==333487.034.011y x ，⎩⎨⎧==

352274

.036.022y x ．

若取34.0,32.010==x x 为节点，则线性插值为：

()()00

10

1013367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+

=≈

330365.00167.002

.001892

.0314567.0=⨯+

=.

若取36.0,34.021==x x 为节点，则线性插值为：

()()11

21

2113367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+

=≈()330387.00033.002

.0018787

.0333487.0=-⨯+

=

.

l k+1x ()

x

y

1

x k+1

x k o

l k+1x ()

x

y

1

x k+1

x k o

3

２.二次插值

２.１. 二次插值的定义

若2=n 时,假定插值节点为11,,+-k k k x x x 要求二次插值多项式()x L 2,使它满足()

j j y x L =2 (1,,1+-=k k k j )

()x L y 2=的几何意义:通过三点的()11,--k k y x ,()k k y x , , ()11,++k k y x 的抛物线.

例如()x l k 1-，因为它有两个零点1,+k k x x ，故可表示为：()()()11+---=k k k x x x x A x l . 由()111=--k k x l 得()()

11

+--=k k x x x x A .

所以， ()()()

()()

11111+--+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l .

同理

()()()()()1111+-+-----=

k k k k k k k x x x x x x x x x l ， ()()()

()()

k k k k k k k x x x x x x x x x l ----=+-+-+11111.

函数()x l k 1-, ()x l k ,()x l k 1+称为二次插值基函数或抛物插值基函数. 在区间[]11,+-k k x x 上的图形分别为:

利用二次插值基函数()x l k 1-, ()x l k , ()x l k 1+,立即可得到二次插值多项式

()()()()x l y x l y x l y x L k k k k k k 11112++--++=

()()()()()()()()()⎪⎩⎪

⎨⎧-===+-===+===+++---.

,1 0,1,1,1

0,1,

1, 0,1111111k k j x l x l k k j x l x l k k j x l x l j k k k j k k k j k k k

o

1

x k+1

x k

x k-1

l k-1x ()

y

x

x k-1o

1

x k+1

x k l k+1x ()

y

x

x k-1o

1

x k+1

x k l k x ()

y

x