拉格朗日插值公式的证明及其应用讲解

拉格朗日插值公式的证明及其应用
摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估
曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()n
k k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的
准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值
１.１. 线性插值的定义
假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =,
()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ．
()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线，
如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即
()()k k
k k
k k x x x x y y y x L ---+
=++111 (点斜式)， 图１
()11111++++--+--=
k k
k k
k k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)．
y=L 1x ()
y=f x ()
y k+1
y k
x k+1
x k o y
x
2 由两点式方程看出，()x L 1由两个线性函数()11++--=
k k k k x x x x x l ,()k
k k
k x x x x x l --=++11的线性组合
得到,其系数分别为k y 及1+k y ,即()()()x l y x l y x L k k k k 111+++=． 显然,()x l k 及()x l k 1+也是插值多项式,在节点k x 及1+k x 上满足条件
()1=k k x l ， ()01=+k k x l ， ()0=k k x l ， ()111=++k k x l ．
称函数,()x l k （图２）及()x l k 1+（图３）为一次插值基函数或线性插值基函数. 图象为：
图2 图3
１.２. 线性插值例题
例1. 已知,352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===用线性插值计算.
解：由题意取000.320.314567x y =⎧⎨
=⎩，⎩⎨⎧==333487.034.011y x ，⎩⎨⎧==
352274
.036.022y x ．
若取34.0,32.010==x x 为节点，则线性插值为：
()()00
10
1013367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+
=≈
330365.00167.002
.001892
.0314567.0=⨯+
=.
若取36.0,34.021==x x 为节点，则线性插值为：
()()11
21
2113367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+
=≈()330387.00033.002
.0018787
.0333487.0=-⨯+
=
.
l k+1x ()
x
y
1
x k+1
x k o
l k+1x ()
x
y
1
x k+1
x k o
3
２.二次插值
２.１. 二次插值的定义
若2=n 时,假定插值节点为11,,+-k k k x x x 要求二次插值多项式()x L 2,使它满足()
j j y x L =2 (1,,1+-=k k k j )
()x L y 2=的几何意义:通过三点的()11,--k k y x ,()k k y x , , ()11,++k k y x 的抛物线.
例如()x l k 1-，因为它有两个零点1,+k k x x ，故可表示为：()()()11+---=k k k x x x x A x l . 由()111=--k k x l 得()()
11
+--=k k x x x x A .
所以， ()()()
()()
11111+--+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l .
同理
()()()()()1111+-+-----=
k k k k k k k x x x x x x x x x l ， ()()()
()()
k k k k k k k x x x x x x x x x l ----=+-+-+11111.
函数()x l k 1-, ()x l k ,()x l k 1+称为二次插值基函数或抛物插值基函数. 在区间[]11,+-k k x x 上的图形分别为:
利用二次插值基函数()x l k 1-, ()x l k , ()x l k 1+,立即可得到二次插值多项式
()()()()x l y x l y x l y x L k k k k k k 11112++--++=
()()()()()()()()()⎪⎩⎪
⎨⎧-===+-===+===+++---.
,1 0,1,1,1
0,1,
1, 0,1111111k k j x l x l k k j x l x l k k j x l x l j k k k j k k k j k k k
o
1
x k+1
x k
x k-1
l k-1x ()
y
x
x k-1o
1
x k+1
x k l k+1x ()
y
x
x k-1o
1
x k+1
x k l k x ()
y
x
4
显然,它满足条件()
j j y x L =2 ()1,,1+-=k k k j . 即()=x L 21
-k y ()()()()1111+--+----k k k k k k x x x x x x x x + k y ()()
()()
1111+-+-----k k k k k k x x x x x x x x + 1
+k y
()()
()()
k k k k k k x x x x x x x x ----+-+-1111
２.２. 拉格朗日公式（二次插值）在解题中的应用
例2. 已知函数()c ax x f -=2（c a ,为实数 ）。

若 4-≤()11-≤f ，()221≤≤-f ，则()
8f 的最大值是多少？
提示：由()c ax x f -=2是偶函数，得()()11f f =-.
令节点2,1,1210==-=x x x ，由拉格朗日插值公式（抛物插值）得
()()()()()()()()()72111281882010210=------=
----=
x x x x x x x x l
()()()()()()()
()()272111281882101201--+-+=----=
x x x x x x x x l
()()()()()()()
()()
211212181881202102=-+-+=----=
x x x x x x x x l
()()()()()()()12212112717221127178≤+-=+--=f f f f f f f
注：用高中知识很难解决该题，从此题中可知拉格朗日公式在解题中的方便与快捷.
例3. 已知()c bx x x f ++=2
求证：()()()3,2,1f f f 中至少有一个值不小于
2
1． 证明：根据二次函数的插值公式
()()()()()()()()()()()()()()()
()3231321232123113121322f x x f x x f x x c bx x x f ----+----+----=
++= 比较上式两边2
x 的系数，有
()()()1321
2121=+-f f f 假若()()()3,2,1f f f 都小于2
1
，
则1=
()()()()()()12
1.212121.2132121213212121=++<++≤+-f f f f f f 得出矛盾.
所以，()()()3,2,1f f f 中至少有一个值不小于2
1
注：这是一道全国高中数学联赛题，对高中生有一定难度，但应用高等数学知识来做却易如反掌。

从这方面可看出高等数学的学习对我们中学数学教学的指导有重要作用。

5
例4．设c b a ,,为非等腰C ∆AB 的三边长，S 为面积。

求证：
()()()()()()
21
433
3332S b c a c c c b a b b c a b a a ⨯>--+--+--
分析：由不等式左边分母联想到拉格朗日插值公式 证明：构造二次多项式：()()()()c x b x a x x x f ----=3
则由拉格朗日插值公式得
()()()()()()()()()()()()
()()()c x b x a x x c b c a c b x a x b c b a b c x a x a c a b a c x b x ----=----+----+----3333 比较等式两边2
x 的系数得
()()()()()()
p c b a b c a c c c b a b b c a b a a 23
33=++=--+--+--
由海伦公式得
()()()()273343
2
p c b a p p c p b p a p p S =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-≤---= 因为c b a ,,不全相等，所以，上式等号不成立. 于是， 2
1432
14
3
3223S p S
p ⨯>⇒>
小结：由此可推广：设n x x x ,,,21 为互不相等的n 个数，则
()
∑∑
∏=-=≤≤≠i n
k n
j k j j k n
k
x x x x 1
1．
例5．二次函数()x f 满足()()()92,76,910-==-=-f f f ，则()2008f 的值是多少？ 提示：由拉格朗日插值公式可设
()()()()()()()()()()()()()()()
()2102621066261062101021061026f x x f x x f x x x f +++++---+--++---+--+=
例６．已知,416,39,24===求7的近似值 解：令x y =
，列表
x 40=x 91=x 162=x
x y =
20=y
31=y 42=y
1).用线性插值多项式
三组数据中，可以任取两组数据构造线性插值多项式()x L 1．鉴于插值点所处的位置，应选取
6 ()()1100,,,y x y x 构造()x L 1．
()()()()()45
3
9523494294911001-+--=⨯--+⨯--=
+=x x x x y x l y x l x L 所以 ， ()6.2771=≈L 2).用抛物插值多项式
用全部数据构造抛物插值多项式()x L 2
()()()()()()()()()()()()()()()()
4916416943169491642164941692211002⨯----+⨯----+⨯----=
++=x x x x x x y x l y x l y x l x L 所以， ()6286.27
2
538153772=-+=
≈L 结论：对比2,1==n n 时，抛物插值更精确．
例7.已知()()02
≠++=a c bx ax x f 满足()()(),831,325,117≤≤-≤≤--≤≤-f f f 求()
4f 的取值范围.
分析：解决本题关键是用()()()3,2,1f f f 表示()4f ，用高中知识联立方程组()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧++=++=++=c b a f c b a f c b a f 3932421
求出c b a ,,并代入()c b a f ++=4164，从而确定()4f 的取值范围，这样做过程较繁，而使用二次函数的拉格朗日公式却恰到好处.
解：由二次拉格朗日公式得
()()()()()()()()()()2132
1
13232121--+------
=x x f x x f x x f x f 则()()()()332314f f f f +-= 由已知得()38419≤≤-f 3.n 次Lagrange 插值多项式
上面对1=n 及2=n 的情况,得到一次与二次插值多项式()x L 1及()x L 2, 用插值基函数表示的方法容易推广到一般情形.下面讨论1+n 个节点n x x x <<< 10的n 次插值多项式()x L n ,假定它满足条件
()j j n y x L =
()n j ,,1,0 =
（１）
为了构造()x L n ,先定义n 次插值基函数．
7
定义：若n 次多项式()x l j ()n j ,,1,0 = 在1+n 个节点n x x x <<< 10上满足条件
()⎩⎨
⎧≠==j
k j
k x l k j ,0,1 ()n k j ,,1,0, =
就称这1+n 个n 次多项式()()()x l x l x l n ,,,10 为节点n x x x ,,,10 上的n 次插值基函数．类似1=n 及2=n 的推导方法，可得n 次插值基函数为()()()()()
()()()()
n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=
+-+- 110110
()n k ,,1,0 =．
满足（１）的插值多项式可表示
()()∑==n
k k k n x l y x L 0
（２）
由()x l k 的定义知()()j
j
n
k k
k j n y
x l y x L ==
∑=0
()n j ,,1,0 =．
形如(２)式的插值多项式()x L n 称为Lagrange 插值多项式． 令()()()()n n x x x x x x x w ---=+ 101
易求()()()()()n k k k k k k k n x x x x x x x x x w ----=+-+ 110'
1
则（２）可改写为：()()
()()
∑=++-=
n
k k n k n k
n x w x x x w y x L 0
'11
注意: n 次插值多项式()x L n 通常是次数为n 的多项式,特殊情况次数可能小于n ．
二．拉格朗日（Lagrang ）插值公式的证明
设已知函数()x f 在1+n 个互异的点n x x x ,,,10 处的函数值()
j j y x f =，()n j ,,1,0 =现构造一个次数不超过n 的多项式，使满足
()k k n y x L =，n k ,,1,0 =.（３）
1.唯一存在性
满足插值条件（３）的次数不超过n 次的多项式
()()()()()()()n n n x x x x x x a x x x x a x x a a x L ---++--+-+= 10102010 (４)
是唯一存在。

8 证明：把条件（３）带入（４）式得：
()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---++-+=-+=n
n n n n n n y x x x x x x a x x a a y x x a a y a 10010101100
0 以n a a a ,,,10 的系数组成的行列式为
()()
()()()
1100011
01001
------=
n n n n n n x x x x x x x x x x D
()()()()11001-----=n n n n x x x x x x x x
由于n x x x ,,,10 互异，所以0≠n D ，这样n a a a ,,,10 有唯一的解，所以()x L n 唯一存在.
2.证明过程
证明：以10,x x 代入（４）式得：()⎩⎨
⎧=-+=1
01100
0y x x a a y a
解得：⎪⎩
⎪⎨⎧--==010
110
0x x y y a y a
从而有
()()()1
1000
10110100010
100101l y l y x x x x y x x x x y x x x x y y y x x a a x L +=--+--=---+
=-+=
这里
101
0x x x x l --=
，0
101x x x x l --=
易证：()
⎩
⎨
⎧≠==j k ,0j
k ,1j k x l .
这就证明了2=n 时，公式成立.现假设1-=p n 时公式成立，则p n =时，我们把p x 代入（４）得
()()()()10010---++-+=p p p p p p p x x x x a x x a a x L
解得：
9
()()()()
()()
1020101-------++-+=
p p p
p p p p p p p p p x x x x
x x x x a x x a a x L a （５）
从而
()()()()()()()10110010x x x x a x L x x x x a x x a a x L p p p p p p p p p p --+=--++-+=--
把（５）式代入上式得
()()()
()()
()()101011---------+
=p p p p
n p p p p x x x x x x x x
x L y x L x L
从假设得：()()()()()()()()()111011101
-+--+--=--------=
∑p k k k k k k p k k p k k p x x x x x x x x x x x x x x x x y x L ()()()()()()()()()()()()
10101011101110x -x ---=-+--+----⋅
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---------+∑p p p p p k p k k k k k k p p k p k p p k p x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y
()()()()()()()()
111011101
0-+--+--=--------=∑p k k k k k k p k k p k k
x x x x x x x x x x x x x x x x y ()()()()()()()()
()()
10101110101
1
---+---=----+-⋅
-------∑p p p
p p
k p p k k k k k k p p k k x x x x
x x x x y x x x x x x x x x x x x x x y
()()()()()()()()()()()()1010111011101
01---+--+--=----+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---⋅--------=∑p k k p p
k p k p k k k k k k p k k p k k x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y ()()()()()()()()()()()()()()1010111011101
---+--+--=----+----------=∑p k k p p
p k p k k k k k k p p k p k p k k x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y
()x l y p
k k k ∑==0
这里
()()()()()()()()()
p k k k k k k p k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=
+-+- 110110 易证：()
⎩
⎨
⎧≠==j k ,0j
k ,1j k x l
即p n =时成立.得证.
从证明过程可看出，插值基函数的结构和由来是自然而合理的.
三．拉格朗日插值公式在实际生活（资产评估）中的应用
10 1．资产评估公式
资产评估就是在利用现时条件下,被评估资产全新状态的重置成本减去资产的各种陈旧贬值后的差额作为被评估资产现时价值,基本计算公式为:
资产价值 = 重置全价 – ( 实体性贬值 + 功能性贬值 + 经济性贬值 ) 2. 理论方法与实际应用分析
假设某类设备1+n 个功能参数与价格,即已知1+n 个功能参数: n x x x ,,,10 ,及其相对 的1+n 个价格:n y y y y ,,,,210 ,现在的问题是如何根据此组数据列表:
x 0x 1x 2x
n x
y
0y 1y 2y
n y
功能与成本数据表
找出功能与成本之间的函数关系:()x f y =
假设在该参数区间( 插值区间 ) 内存在一条代数多项 式的函数曲线,在该曲线上的数值均满足以上各点的数值对 应关系,以此函数曲线作为关系式()x f y =的模拟曲线，就 是所谓的拉格朗日插值法.利用这条曲线（图４）,输入新的
功
功能参数,即可得到重置成本参考价. 图４ 函数曲线 拉格朗日插值多项式为
()()()()()
()()()()
n k k k k k k n k k n
k k
n x x x x x x x x x x x x x x x x y x L --------=+-+-=∑ 1101100
(6)
由此公式,代入n x x x ,,,10 时,可看出结果就是对应的n y y y y ,,,,210 ,假设令1=n ,即只有两个数据时,就得到两点插值计算公式:
()0
101101
1x x x x y x x x x y x L --+--= ( 7 )
这是个线性函数,利用已知两点作一条直线,作为拟合曲线,代表功能与成本之间的关系,也叫线性插值( 图 ５ )
若2=n 时,则得到3点插值计算公式:
()()()()()()()()()()()()()
120220221012012010210
2x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----+----= （8）
这是个二次函数,在图形上,即通过已知各点作一条抛物线,代表功能与成本之间的关系,叫抛物线插值( 图６ )
y=f x ()
y x
y n
y 2y 1y 0x n
x 2x 1x 0o
11
图５ 图６
2.计算机运算方法分析
根据以上理论,已知设备信息点越多,曲线拟合也越复杂,品评估的准确率就越高,计算公式也相应地复杂起来.所以只能依靠计算机来解决.为便于计算,可将拉格朗日插值多项式改写为 ()∑∏=<>=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡
--=n k j k j n
k j j k n x x x x y x L 01 ( 9 ) 编制程序时,只须利用一个二重循环就可完成()x L n 值的计算:先通过内循环,即先固定k ，令j 从0到n 累乘;然后再通过外循环,即令k 从0到n 累加得出插值结果()x L n .
程序流程图见图７:
输入()n i y x i i ,,1,0, =及x n , 0=y n k ,,1,0 = 1=p n j ,,1,0 = ?i k = ()()j k j x x x x p p --*= y 2x 2y=f x ()y 1y 0
x 1x 0o y
x
y=f x ()y 1y 0
x 1x 0o y x
12
图７
3. 结论
由以上分析可知,采用拉格朗日插值法计算设备的功能重置成本,计算精度较高,方法快捷。

但是,由于上述方法只能针对可比性较强的标准设备,方法本身也只考虑单一功能参数,因此,它的应用范围受到一定的限制。

作为一种探索,可将此算法以及其他算法集成与计算机评估分析系统中,作为传统评估分析方法的辅助参考工具,以提高资产价值鉴定的科学性和准确性。

四．评价与总结
拉格朗日插值方法式最基本的插值方法，其插值公式形式对称，便于记忆，在了解，证明，应用拉格朗日插值公式的过程中，不仅要注重理论上的认识，更加要应用于实际生活中的各种问题中，不仅只有大学才能用拉格朗日公式来解决各种问题，高中的有些题也可以用它来解决会更加方便快捷，尤其是线性函数和二次函数方面。

对于高次函数来说，我们并不了解它的性质特征，而拉格朗日插值公式却能轻易解决这个问题。

参考文献:
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