浅析集合思想蕴含的数学思维方法

浅析集合思想蕴含的数学思维方法

集合是数学中一个非常重要的基础知识，有人将现代数学知识比喻成一座大厦，而集合则是这座大厦的基石。我想如果把现代数学思想方法视为一个有机的生命体，那么集合思想是形成这个生命体的种子，下面我从集合的三原则,三形态及三运算这三个层面逐次分析集合思想所衍生的诸多数学思想方法。

一、集合三原则

集合的三原则即集合中的元素必须满足确定性原则，互异性原则及元序性原则。

所谓确定性原则，即集合中的元素必须是确定的，元素a∈A或元素a∈A 二者必居其一也仅居其一，这一原则体现了数学思维的清晰性与严谨性，从而培养一个人必须具备科学的治学态度，根据这一原则可以衍生出分类讨论、逆向思维、容斥原理及抽屉原理等数学思维方法。

例1 设全集∪=｛x／1≤x≤100,x∈N｝

子集A=｛x／x≠2n或x≠3n,n∈N｝

求A中所有元素之和S

解：易知CuA=｛x／x=2n且x=3n,n∈N,x∈∪｝

=｛x／x=6n,n∈N,x∈∪｝

∴A的所有元素之和S

S=(1＋2＋3＋…＋100)－(6＋12＋…＋96)=4234

点评：警察办案时首先根据案犯特征确定所有的嫌疑犯，然后逐一排除未作案者，直至确定真正的案犯，正是根据集合思想中的确定性原则来应用解决实际问题。在某些较难的数学问题时，我们也常想到“正难则反”的逆向思维方法。

所谓互异性原则，即集合中的元素必须互不相同，如｛1,2,1｝这样的表示是无效的，所谓无序性原则，集合中元素的顺序变化不改变集合本身，如｛1,2,3｝与｛3,2,1｝表示同一个集合。这两个原则体现数学思维的简约性，和数学语言的精炼性，可以培养人具备更有效率的思维方式，以及追求公正平等的社会理想。根据这两个原则可以衍生出对应思维与方程思维方法等。

例2 已知M=｛a,a＋d,a＋2d｝N=｛a,aq,aq2｝

若M=N求q的值。

解：显然a≠0且d≠0且q≠±1

∵M=N

∴对应元素相同故

（1）a＋d=aq 或(2) a＋d=aq2

a＋2d=aq2a＋2d=aq

由（1）得q=1不合

由（2）得q=q=1(舍)

∴q=

点评：将班级学生的座位调换后，仍是原来的班级，这正是集合的无序性原则在生活中的体现。现在很多大人给自己的小孩都起了名字与小名，而小孩知道两个称谓都是指他自己。可见数学知识与生活是习习相关的，而在求解集合中的很多问题时，要特别注意互异性原则与无序性原则，避免增解或漏解。

二、集合的三形态

集合的三形态即集合的三种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法。由列举法可以衍生出简单枚举法与特征枚举法；由描述法衍生出抽象概括与符号化思维方法；而韦恩图法衍生出数形结合的思维方法等。

例3 已知U=R,M=｛a／a=x2-y2, x,y∈z｝,求CuM.

分析：先用简单的枚举法:0=02-02 1=12-023=22-12 4=22-02 5=32-22 7=42-328=32-12…由此猜想（1）所有的奇数都属于M。（2）所有4的倍数都属M。（3）其余的数都不属于M，然后证明此结论。

如由2n＋1=(n＋1)2－n2

4·2n=(2n＋1)2－(2n－1)2

4·(2n＋1)=(2n＋2)2－(2n)2

知猜想（1）（2）为真

又设4k＋2=2(2k＋1)=x2－y2=(x＋y)(x－y)

讨论数的奇偶性得出矛盾

故CuM=｛x／x=4k＋2,k∈z｝

点评：通过枚举具体的特殊的对象来抽象概括出同类事物的共同特征，是集合思想在数学思维中的核心价值的体现。这也是人们认识事物的普遍原理，而符号化的思维方法则是数学思维方法活的灵魂，是对科学认识方法论的一个独特的贡献。“白马非马”的诡辩论正是讥讽那些不懂得抽象概括思维方法的人。在数学教学活动中，一个新概念或新方法的生成常常要做这样的尝试:由特殊到一般，由具体到抽象，由自然语言到符号语言。

三、集合的运算

集合的运算指交集、并集、补集，由集合的交集运算可以衍生出交轨法与乘法计数原理。

由集合的并集运算可衍生出整体思维方法与加法计数原理，由集合的补集可以衍生反证法，与逆向思维方法，甚至在物理中的与门路或门电路，非门电路就是集合思想的直接运用。

例4已知A=｛x／x(x-2)(x＋4)＞0｝

B=｛x／x＋ax＋b≤0｝

A∪B=｛x／x＞-4｝

A∩B=｛x／1≤x＜0｝求a、b的值。

解：易知A=｛x／-4＜x＜0或者x＞2｝

设全集U=A∪B

∴CuA=｛x／0≤x≤2｝B

∴(CuA)∩B=｛x／0≤x≤2｝

又A∩B=｛x／1≤x＜0｝

∴B=［(CuA)∩B］∪(A∩B)=｛x／1≤x≤2｝

从而a=-(1＋2)=-3b=1×2=2

例5求证：若原命题为真，则它的逆否命题为真。

已知：pq 求证：q p

证明：记p=｛x／x具有性质p｝

Q=｛x／x具有性质q｝

∵pq ∴任意x∈px∈Q

即p Q 如图示：

∴CuQCuP

即x∈CuQ→x∈CuP

点评：例4包含了丰富的集合思想，还有我们经常运用集合思想进行转化，例5则揭示了反证法的逻辑分析,事实上数学上的逻辑推理的基础正是集合论中的诸多思维方法,因此加强对集合知识的教学活动是培养学生数学逻辑思维能力的一条捷径。

综上所述:集合思想就像一粒种胚,在这片土地上不断的衍生,发展与壮大,并且不断向数学的各分支渗透形成新的数学思维方法,甚至向其他学科（诸如物理学中）移植，表现出其作为基础知识的强大生命力。而在一般地文献与资料中都较少提及，愿以此文作抛砖引玉之望。