解析函数的概念和柯西—黎曼条件

f ( z ) 在点 z0 解析 f ( z ) 在点 z0 可导；但
2 f ( z ) 在点 z0 可导 f ( z ) 在点 z0 解析（例如Байду номын сангаас f ( z ) | z | 在 z 0 ，但在 z 0 不解
析。 ） （4）由定义 2.2 知， 函数在区域 D 内解析 函数在区域 D 内处处解析（即在区域 D 内的每一点都解析） 。 （5）由 Heine-Borel 定理知， 函数在有界闭域 D 上解析 函数在有界闭域 D 上的每一点都解析。 ▲（4） （5）给出了函数在区域或闭区域上解析与函数在点解析的关系，它也是我们今 后判断函数在区域或闭区域上解析的一种常用的方法。 根据函数解析的定义，易见
（3） （反函数解析的法则） 设函数 w f ( z ) 在区域 D 内单叶解析且 f ( z ) 0 ，则 ① G f ( D ) 是区域； ② 反函数 z f
1
( w) 在区域 G 内解析，且 ( f 1 ( w))
1 1 . f ( z ) f [ f 1 ( w)]
（实变复值函数的导数公式）
2.1.2 柯西—黎曼条件
本段，我们从复变函数的代数表示
w f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y )
出发，建立利用 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 判断函数可导和解析的条件。
1. 复变函数可微（可导）的充要条件
设
w f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) ，其中 z x iy
表明：复变函数可导与复变函数可微是等价的。
■ 若 lim 注：
f ( z ) f ( z0 ) w 不存在，则称 f ( z ) 在 z0 不可导或不可微。 lim z 0 z z 0 z z0
（1）复变函数导数的定义与一元实函数导数的定义形式一致，因此，不难验证： 一元实函数求导的基本公式和求导法则大多可不加更改地移植到复变函数上来。 复习思考： 请同学们复习一元函数的求导法则和公式， 并对照写出复变函数的相应的求 导法则和公式。 （2）由导数或可微的定义易得， 若函数 f ( z ) 在 z0 可导，则 f ( z ) 在 z0 连续（即连续是可导或可微的必要条件） 。 （3）在复变函数中，处处连续又处处不可导或不可微的函数几乎随手可得，比如
例 4 设多项式 P ( z ) an z an 1 z
n
n 1
则由例 3 及上述法则知， a0 (an 0) ， P( z )
在 z 平面上解析，且 P( z ) nan z
3 2
n 1
(n 1)an 1 z n 2 a1 。
例 5 设 f ( z ) (4 z 5 z 2) ，则由例 4 及上述法则知，它在 z 平面上解析，且
当 z 0 时，记 z x iy ，由于当 z 0 且 z x 时
z 0 z x
lim
f ( z z ) f ( z ) z lim ( z z z ) z z , z 0 z z z x
而当 z 0 且 z iy 时
所以 f ( z ) nz 成立。
n 1
，即 f ( z ) z 在点 z 可导，且 ( z ) ' nz
n n
n 1
。再由点 z 的任意性，结论
2. 解析函数及其简单性质
定义 2.2 设函数 w f ( z ) 在区域 D 内有定义， 如果 f ( z ) 在区域 D 内的每一点都可导， 则称 f ( z ) 在区域 D 内解析，此时也称 f ( z ) 为区域 D 内的解析函数（或全纯函数、正则函 数） 。 ■ 如果存在点 z0 的某邻域 U ( z0 ) ，使得 f ( z ) 在 U ( z0 ) 内解析，则称 f ( z ) 在点 z0 解 析。 ■ 如果存在区域 G ， 使得闭域 D G ， 且 f ( z ) 在区域 G 内解析， 则称 f ( z ) 在闭域 D 上解析，此时也称 f ( z ) 为闭域 D 上的解析函数。 注： （1）由定义 2.2 知，函数解析一定是与相伴区域密切联系在一起的。 （2）函数在一点解析是指函数在该点的某邻域内解析；函数在某闭区域上解析是指函 数在包含该闭区域的更大的区域内解析。 （3） 【函数在一点可导和解析的关系】易见，
当 z 取实数趋于零时，上述极限为 1 ，而当 z 取纯虚数趋于零时，上述极限为 1 ，因此 上述极限不存在，即 f ( z ) 在点 z0 不可导，由 z0 的任意性知
f ( z ) z 在点 z 平面上处处不可导。
例 2 讨论函数 f ( z ) | z | 在 z 平面上的可导性。
( f ( z ) g ( z )), f ( z ) g '( z ) ( f ( z ) g ( z )) ' f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) . g 2 ( z) g ( z)
'
f ' ( z0 ) lim
关于导数定义的说明：
f ( z ) f ( z0 ) w lim . z 0 z z 0 z z0
（2.1）
复变函数导数定义的形式与数学分析中一元函数导数的定义形式完全类似，但自变量
的改变量趋于 0 的方式，要复杂得多。比如， 对一元函数而言，导数存在性只需要：当 x0 x 由左 ( x 0) 及右 ( x 0) 两个方向 趋于 x0 时，比值 y / x 的极限都存在且相等。 而对复变函数而言， 导数存在性则要求： 当点 z0 z 沿连接点 z0 的任意路径趋于点 z0 时，比值 w / z 的极限都存在，并且这些极限都相等。
f ( z ) z , Re z , Im z , | z |
等等。而在实变函数中，要构造一个这种函数就不是容易的事。 例 1 讨论 f ( z ) z 在 z 平面上的可导性。 解：对于复平面中任意一点 z0 ，由于
f ( z0 z ) f ( z0 ) z0 z z0 z0 z z0 z z z z z
n n n 1
。
证明 任取一点 z C ，因为
z 0
lim
f ( z z ) f ( z ) ( z z ) n z n lim z 0 z z
2 n2 lim[nz n 1 Cn z z (z ) n 1 ] nz n 1 z 0
类似于导数的情形，我们对照一元函数可微，同样也可平行定义复变函数可微。 若存在仅与 z0 有关的常数 A( z0 ) ，使得
w f ( z0 z ) f ( z0 ) A( z0 )z o(z ) (z 0)
其中 o( z ) 为较 z 高阶的无穷小量，即 lim
2
解：对于复平面中任意一点 z ，由于
f ( z z ) f ( z ) | z z |2 | z |2 ( z z )( z z ) zz z z z z . z z z z
当 z 0 时，lim
z 0
f (z ) f (0) 所以， f ( z ) 在 z 0 可导， 且 f (0) 0 。 lim z 0 ， z 0 z
z 0
o(z ) 0 ，则称 f ( z ) 在 z0 可微，线性部分 z
A( z0 )z 称为 f ( z ) 在 z0 的微分，记为 df ( z0 ) A( z0 )z.
由定义不难证明：
f ( z ) 在 z0 可导 f ( z ) 在 z0 可微且 A( z0 ) f ' ( z0 ) 。
6
f ( z ) 6(4 z 3 5 z 2 2)5 (12 z 2 10 z ) 。
□ 例 6 对于参数方程 z (t ) x(t ) iy (t ) 接由定义 2.1 求得
(t [ , ]) ——称为实变复值函数， 则可直
z (t ) x(t ) iy(t ) (t [ , ]) .
2.1 解析函数的概念和柯西—黎曼条件
2.1.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数
定义 2.1 设函数 w f ( z ) 在含 z0 的区域 D 内有定义，记
z z z0 , w f ( z ) f ( z0 ) f ( z0 z ) f ( z0 )
若 lim
z 0 z iy
lim
f ( z z ) f ( z ) z lim ( z z z ) z z z z ， z 0 z z z iy
所以， f ( z ) 在 z 0 不可导。 综上，仅当 z 0 时， f ( z ) 可导且导数为 0 ，在其他的点都不可导。 例 3 证明：函数 f ( z ) z （ n 为正整数）在 z 平面上可导，且 ( z ) ' nz
（2） （解析函数的复合运算） 设函数 f ( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析，函数 w g ( ) 在 平面上的区域 G 内 解析，并且 f ( D ) G ，则复合函数 w g ( f ( z )) 在区域 D 内解析，并且
,
g ( f ( z )) g ( ) f ( z ) g ( f ( z )) f ( z ).
第 2 章 解析函数与初等解析函数
复变函数重点研究的对象是解析函数（即平面区域内可导的复变函数） 。从本章开始一 直到第五章，我们将介绍解析函数的基本理论，其中本章介绍解析函数的基础知识，第 3 至第 5 章介绍研究解析函数的两种重要的工具。 本章，将具体学习以下内容： 一、从复变函数的导数概念出发，引入解析函数，建立复变函数可微和解析的主要条 件——柯西—黎曼（Cauchy—Riemann）条件，并给出用数学分析的方法判断函数可微和 解析的一类充分必要条件； 二、把数学分析中大家所熟知的初等函数推广到复数域，建立初等解析函数，并研究 它们的简单性质。
f ( z ) f ( z0 ) w lim A 存在，即 z 0 z z 0 z z0
对任意 0 ，存在 0 ，使得当 z D 且 0 | z z0 | 时，总有
f ( z ) f ( z0 ) A z z0
则称 f ( z ) 在 z0 可导， A 称为 f ( z ) 在 z0 的导数，记为 A f ( z0 ) ，即
是一个定义在区域 D 内的函数。 ■ 当二元实函数 u ( x, y ) 及 v( x, y ) 给定时，此函数也就完全确定。 ■ 但如果 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 互相独立， 即使 u ( x, y ) 及 v( x, y ) 对 x 与 y 所有偏导数都存 在并且连续，并不能保证 f ( z ) 是可微的。 例如， w z x iy 处处连续，并且 u x, v y 对 x 和 y 的一切偏导数都存在且连 续，但由例 1 知， w z 却是一个处处不可微的函数。 ■ 因此，如果 f ( z ) 可微，它的实部 u ( x, y ) 和虚部 v( x, y ) 应当不是互相独立的，而必 须适合一定的条件。 下面，来探讨这种条件。 若 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) 在点 z x iy 可微（可导） ，则
f ( z ) z n 在 z 平面上解析， f ( z ) z , Re z , Im z , | z | 在 z 平面上处处不解析。
■ 类似于一元实函数的导数法则，下面，可平行地给出解析函数的相应法则： （1） （解析函数的四则运算） 如果 f ( z ), g ( z ) 都在区域 D 内解析，则 f ( z ), g ( z ) 的和、差、乘积和商（商的情形要 求分母函数不为零）在区域 D 内仍解析，并且