稳定性理论

引言

稳定一词的字面意思为坚持或保持。形容词“稳定的”的英语和法语stable、德语stabil均来源于拉丁语stbilis。最早见于罗马共和国末期的诗人和哲学家卢克莱修(Titus Lucretius Carus，约前99年-约前55年)所写的哲理长诗《物性论》([1] 140页)：

因为水就是这样动的，

一受到最微小的影响就波动，

由于它是由会滚动的小形粒子所构成；

但是相反地密的本性则是更稳定，

它的液汁更富于懒性，它流动更迟缓；

因为它的物质更牢结在一起，

因为，实在说，构成它的粒子，

不是这样地光滑，不是这样地小而圆。

在汉语中，“稳定”是舶来品，本土原先很少用，因此始编于1908年主要收录1840年以前的汉语词汇的《辞源》都没有收入“稳定”。罕见的一个古代使用例子见于《清史稿·列传一百七》，其中收有1814年河东河道总督栗毓美(1778-1840)上疏，论证用烧砖筑堤的必要性----能在水流冲击下不动，上年盛涨，较二年及十二年尤猛迅，砖坝均屹立不移。仪睢、中河两厅，河水下卸，塌滩汇坝，抢镶埽段，旋即走失，用砖抛护，均能稳定([2]11656页)。

传统汉语中，与稳定意思接近的词是“安稳”，意思是平安稳妥。除去天下局势太平、人心所向的引申含义外，主要用于说明行舟的平稳无惊。南朝宋临川王刘义庆(403-444)所撰《世说新语·排调》记载，东晋书法家、画家顾恺之(348-409)遇风浪后写信报平安，行人安稳，布帆无恙([3]438页)。这一故事也收入《晋书·列传第六十二》([4]2404页)。《宋史·志第一百四十八兵九》记载北宋抗金名臣李纲(1083-1140)的主张，水战之利，南方所宜。沿河、淮、海、江帅府、要郡，宜效古制造战船，以运转轻捷安稳为良。又习火攻，以焚敌舟([5]4869页)。。《清史稿·列传七十九》记载1723年江西巡抚裴幰度(?-1740)上疏设关榷税事宜，九江旧关，上有龙开河、官牌夹，下有老鹤塘、白水港，地势宽平，泊舟安稳([6]10311页)。

除行舟外，安稳还用于说明人的体态步态。《庄子·应帝王》中说，泰氏其卧徐徐，其觉于于，司马彪(?-306)注：徐徐，安稳貌([7]289页)。《潜夫论·相列》说人的相法，手足欲深细明直，行步欲安稳覆载([8]310页)。也用于说明车辆行走安定平稳。《晋书·志第十五》解释天子车的五牛旗的含义，牛之为义，盖取其负重致远而安稳也([9]754页)。

稳定性是个重要而基本的科学概念，在其发展过程中已经有含义丰富。我们先从最基本的平衡的稳定性谈起，随后说明运动稳定性。

1 稳定性的概念

物理学中有平衡的概念，物体受合力为零，就处于平衡状态。在惯性系(满足牛顿第一运动定律的参考系)中，若物体原先没有运动，平衡就意味着静止。一支铅笔，末端用一根细线吊起来，就处于平衡状态，因为细线对铅笔的拉力与铅笔自身的重力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，因此合力为零。如果

把铅笔笔尖朝下立在水平桌面上，理论上如果铅笔立的足够直，仍然有桌面对铅笔的支撑力与铅笔的重力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，合力为零，故铅笔可以保持直立状态。但事实上，这与我们的生活经验相悖，不论我们怎样努力地尝试，很难把铅笔笔尖向下直立在在桌面上。

从上面铅笔的例子中，我们知道平衡其实有两类。一类平衡是物理上有可能实现的，这种平衡称为稳定的。稳定平衡的特征是，如果初始受到扰动而偏离了平衡位置，只要初始的偏离足够小，对平衡位置的小偏离不会随着时间的推移而变大。另一类平衡是物理上很难实现的，这种平衡称为不稳定的。不稳定平衡的特征是，不论初始受到扰动的而偏离平衡位置多么小，对平衡位置的偏离在一定时间后总会大于事先给定的范围。因此，刻画平衡的稳定性其实包含两个基本度量，一个是初始偏离的幅值，另一个是随后时间中对平衡位置的最大偏离。对于学过数学分析的读者，可以联想到函数极限的e-d定义或者函数连续e-d的定义，从而给出更确切的数学描述。

仍以前面提到的铅笔为例。笔尖向下的铅笔之所以不可能直立在桌面上，是因为由于不可避免的扰动存在，例如铅笔周围空气的流动、桌面的轻微振动等，直立的位置要受到扰动而有所偏离；一旦偏离，重力作用线就不再过支撑点，重力对支撑点的力矩将使铅笔倾倒，这种偏离会迅速放大，导致平衡状态破坏；因此这种平衡是不稳定的。而末端用细线吊着的的铅笔，尽管也受空气流动、细线抖动等扰动而会偏离平衡位置；在重力作用线偏离捆绑点后，重力对细线捆绑点的力矩将是铅笔回到直立的位置；这种偏离不会扩大，因此能保持平衡状态；这种平衡是稳定平衡。

平衡只是要求初始的误差不扩大，但没有涉及初始的误差是不是减小。如果扰动导致的初始偏离不仅不增大，反而在时间足够大后能回到平衡位置，这种稳定性称为渐近稳定性。例如，一粒小米放在半球形的碗里，则碗的最低位置是平衡位置。被移开最低位置的小米不会走的更远，因此平衡是稳定的。若小米与碗没有摩擦，小米也不会回到平衡位置，而是在平衡位置周围振荡，因此平衡不是

渐近稳定的。若小米与碗之间存在模型，则小米最后会重新停在平衡位置上，这就是不仅是稳定而且也是渐近稳定了。

根据所涉及问题的需要，平衡的稳定性还可以进行更细致的刻画。如果平衡的稳定只是对很小的初始偏离成立，这种稳定性成为局部稳定性；如果对任意大的初始偏离都成立的稳定性成为全局稳定性。平衡意味着，对于任意时间的运动偏差范围，都存在一个初始偏差范围，在这个范围内，运动偏差幅值小于给定的值。一般而论，运动偏差幅值与初始偏差范围的对应数量关系，与初始时刻有关；如果这种对应关系与初始时刻的选择无关，相应的稳定性称为一致稳定性。稳定的各种性质可以累加，例如有全局一致渐近稳定。

回到开始铅笔能否以笔尖立住的问题。虽然在固定的桌面上铅笔不能直立，但如果把笔尖放在手指头上，手适当运动，还是有可能保证铅笔直立。当然，这需要练习以掌握技巧。这种通过主动输入使得原来不稳定的平衡变成稳定的过程，称为镇定。镇定是很典型的一类控制问题。

2 平衡稳定性的判断

无论在理论研究还是工程应用中，稳定性的判断都是一个重要的问题。建立稳定性的判据有两种途径。一种是发展一般的判别方法，并应用于具体系统。这方面的代表性工作是俄罗斯数学家和力学家李雅普诺夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov,1857-1918)1892年在其博士论文中提出的直接方法又称第二方法。他的博士论文是划时代的工作，其中给出了稳定性的严格数学定义，提出了利用线性化系统本征值判断稳定性的第一方法和构造后来一个专门函数判断稳定性的第二方法。《国际控制杂志》在该文发表100年后，重新发表该文英文译文([10])。另一种途径就是针对具体的物理系统，发展相应的判别方法。以下介绍后一类型工作的例子，所研究的具体系统是保守系统。