重要抽样方法

重要抽样方法

直接蒙特卡罗方法用于估计结构的失效概率，通用性强，简单直观，但计算效率很低，为了达到一定的模拟精度，需要抽取大量的样本点。为提高计算效率，一系列的方差缩减技术得到应用，从而产生了一系列的数值模拟算法。重要抽样方法是其中最基本也是最重要的一种，能够大幅度的缩减模拟所需抽取的样本点数量，广泛应用于各种结构的可靠性分析之中。

重要抽样方法的基本概念

造成直接蒙特卡罗方法估计失效概率效率低的主要原因，是按原概率密度函数生成的样本点，落入失效域的比例过低，也就是说，样本点中绝大部分对失效概率值的贡献是零。如果能够提高样本点落入失效域的比例，从而提高样本点对失效概率的贡献，则能够提高模拟效率，降低样本点数量。

重要抽样方法的基本原理是在保持原有样本期望值不变的情况下，改变随机变量的抽样重心，改变了现有样本空间的概率分布，使其方差减小，这样，使对最后结果贡献大的抽样出现的概率增加，抽取的样本点有更多的机会落在感兴趣的区域，使抽样点更有效，以达到减小运算时间的目的。

我们假设一个关于随机变量x 的概率密度函数为()h x ，那么，()1x X

h x ∈=∑可

以得到以下的式子：

()()()()()()[()/]()x X x X

E g x g x f x g x f x h x h x ∈∈==∑∑

从上式中我们可以这样假设出一个新的函数()*g x ，并且，令

()()()()*g x g x f x h x =，

这个新的函数的期望值和原先的()g x 的期望值完全相同，但是它们的方差却是完全不相同的：

()()()()()()*2[()/]()x X

Var g x g x f x h x E g x h x ∈=-∑

可以很明显的看出，如果方差越小，那么计算的工作量就会越小，我们把()h x 例称作为重要抽样分布函数。

重要抽样的基本思路，那就是寻找一个新的分布函数，通过这个函数，我们能够达到保持期望值不变而方差减小的目的，从而提高运算的效率。

当()h x 取最优值的时候，会出现()()*0Var g x =的情况，而这种情况是最理

想的一种情况，在这样的情况下，只需要进行一次抽样就可以完成估计。

但是，这种情况毕竟只是一种理想的状态，因为()()Var g x 的真实值我们是无法知道的，所以在实际的计算中我们只能采用近似的最优分布来逼近()()Var g x ，从而来实现减小方差的目的。而重要抽样分布函数算法的选择就成了制约计算时间的关键问题。

根据重要抽样方法的原理，重要抽样方法的具体描述如下：

将结构失效概率积分公式改写为

()()()[()]()[()]()[()][()]()()()f f x f x P I g x f x dx I g x h x dx E I g x E I g x R x h x h x +∞+∞-∞-∞⎛⎫==== ⎪⎝

⎭⎰⎰

()R x 称为重要抽样权函数：

()()()

f x R x h x =

()h x 必须满足如下条件： ()0,,()1h x x F h x dx +∞

-∞>∀∈=⎰ {}|()0x h x Ω=>称为抽样域，

易知F ∈Ω，按照重要抽样概率密度函数()h x 抽取的样本点12,,...,N x x x ，全部落在Ω内。抽样域Ω和失效域F 越是接近，则按照概率密度函数()h x 抽取的样本点落入失效域的比例越大。

结构失效概率通过下式进行估计：

1111()

[()]()[()]()N N f f k k f x P P I g x R x I g x N N h x ==≈==∑∑

容易验证估计值f P 是无偏的，即

[]111[()]()[()]()N f f k E P E I g x R x N E I g x R x P N N

=⎡⎤⎡⎤==⋅⋅=⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑ 估计的方差为

()()11[()]()f Var P Var I g x R x N N

==∆ 其中△为重要抽样估计的单位方差，与样本量N 无关，

()

()()()2222

22

[()]()[()]()[()]()[()]()[()]()()f f Var I g x R x E I g x R x E I g x R x E I g x R x P I g x R x h x dx P +∞

-∞∆=⎡⎤=-⎡⎤⎣

⎦⎣⎦=-=-⎰ 使()f Var P 取得最小值的ISD 函数被称为最优ISD 函数，易知最优ISD 函数为

下式所示的概率密度函数：

()()()()()

|opt f I g x f x h x f x F P ==

()opt h x 对应的估计方差为0。

尽管()opt h x 存在，但用()opt h x 作为ISD 函数的重要抽样方法无法应用，其原因有：（1）()opt h x 中包含失效概率f P ，其值为未知；（2）生成服从概率密度

函数为()opt h x 的分布的样本点，通常是一件很困难的事。

重要抽样方法的核心在于ISD 函数的构造，如果构造的ISD 函数不合适，可能导致对失效概率进行估计的方差非常大。构造ISD 函数应当兼顾以下两个方面：

（1）增加有效抽样的比例；（2）增加有效抽样中对f P 值贡献大的抽样出现的

概率。增加有效抽样的比例，即增加抽取的样本点落在失效域内的比例，可以通过使抽样域。尽量接近失效域F 来达到；对失效概率f P 值贡献大的抽样点，即使

()|f x F 值较大的样本点。此外，构造的ISD 函数还需要满足能够较容易地生成样本点的要求。

重要抽样法在构造抽样函数的时候不需要考虑极限状态曲面的形状。由于计算简便，并不需要在计算之前做过多的准备工作，实际中的应用比较广泛。

常规的抽样方法关注了抽样点之间的相对位置，而没有考虑样本点的整体位置，这样在随机变量整个定义域内无中心点的抽样方式会使大部分样本点落入安全域内，失效样本过少，效率太低。重要抽样法通过改变抽样重心，可使抽样区域整体移向失效域，使样本点落入失效域的概率大大增加，大大提高了抽样效率和结果的可信度。简单抽样，单纯以参数的统计分布进行抽样，使得样本点大部分落于安全域内，抽样效率低，这种缺点在可靠性较高的产品上更为明显；重要抽样方法将抽样中心移至验算点P 点，使样本点落入失效域的概率大大增加，提