由相关变化率求相关速度
相关变化率
例.求下列曲线的渐近线
（1） y 1 ； 1 x2
解：（1）∵
lim
x
1
1 x
2
0，
∴直线
y
0
是曲线
y
1
1 x
2
的水平渐近线。
∵ lim 1 ， lim 1 ，
x 11 x 2
x11 x2
∴直线 x 1 和x 1 是曲线y 1 的垂直渐近线。 1 x2
（2） y x2 . x 1
( x)
2
(
x
a)
1 3
2
1
,x a
3
3 3 xa
易知f (x)没有驻点,只有一个不可导点 x a. 列表讨论如下:
x
a
f (x)
f (x)
无
极小值
f (a) 2 a
y a
结论:Ox源自(1)当f (a) 2 a 0即a 2时,由零点定理知:
f (x)有二个零点(如右图);
(2)当f (a) 2 a 0即a 2时, f (x)仅有一个零点x a(如右图);
(3)当f (a) 2 a 0即a 2时, f (x)没有零点(如右图).
综上可得:
y
Oa x y
Oa x
(1)当a 2时, (2)当a 2时, (3)当a 2时,
原方程有二个实根; 原方程仅有一个实根; 原方程没有实根.
渐近线
定义：若曲线 y f (x) 上的
y
动点 P(x, y) 沿着曲线无限
则底半径的膨胀速率如何? 解:
(1)V 1 r2h 1 r3, dV r 2 , dV 25
3
3
dr
dr r5
(2) dV r2 dr ,
§4.4 变化率与相关变化率
，如图所示．
h/2
将方程两边关于时间 t 求导数，得 即
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例7 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 解 将方程两边关于时间 t 求导数，得
．
h/2
即
变化率与相关变化率
§4.4 变化率与相关变化率
4.4.1 变化率 4.4.2 相关变化率 内容小结与作业
变化率与相关变化率
4.4.1 变化率
例1 当运动员从10 m 高台跳水时，运动员跳向空中到 进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设 在 t s 时运动员相对水面高度为
问： (1)在2 s 时运动员的下降速度为多少？ (2)运动员跃起后何时上升的速度为0？ (3)运动员入水刹那的速度为多少？
时, C ( x ) 与 C
C C( x 1) C( x) C( x) C
7．01 9．01 11．01 13．01 15．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01
C( x)
7 9 11 13 15
变化率与相关变化率
4.4.2 相关变化率
例6 设直圆锥的底半径 r 、高 h 都是时间 t 的可微
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （1）在 时刻的下降速度为
所以
即在2秒时运动员下降的速度为 表示运动员在下降．
2
，负号
19.6 H (t ) 4.9t t 10 3
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （2）令 ，即
解得
．所以，在
相关变化率一阶高阶导数
解：如图 ，设在任一时刻 t 甲船航行
x
的距离为 x (t)，乙船航行的距离为 y(t) ，
两船的距离为 z(t) , 则
z2 ( 40 x )2 y2
40
z
上式两边对 t 求导 ，得
2z dz 2( 40 x ) dx 2 y dy
y
dt
dt
dt
已知 : 当 x 20 时 ,
dx 15 dt
2
4 1 x2 1
8.x y－2x y 0 ，求y( x)
9.
设2
x arctant y ty2 et
5
求 dy dx
高阶导数问题 1. e xy2 ex y ，求y(0) 2.xe f ( y) e y ( f ( y) 1).求y( x) 3.x y y , 求 d 2 y
4 .设对x, y R,有 f (x y) f (x) f ( y) 2xy，f (0) 2
求f (x).
5.
设 ( x) 在 x = a 处连续，讨论
① f ( x) ( x a) ( x)
② f ( x) | x a | ( x)
③ f ( x) ( x a) | ( x) | 在 x = a 处的可导性
; y 15 时 ,
dy 25 ; 此时 z 25 , 代入上式 , 得 dt
dz 20 15 15 25 3 ( km/h )
dt
25
因为 dz 3 0, 所以观测时两船相距 25 里 , 正以 dt
3 km/h 的速率彼此远离 。
求导问题
一阶导数问题
一.选择题
1.若f (x) e3 x sin 3x，则下列结论正确的是
因此要使 f ( x)连续 只须f ( x)在x 0处连续
20-相关变化率、曲率解读
O
y d dx 2 1 y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y d 1 d y 2 d x 1 y d x 1 y2
x
又
ds
2 1 y d x
d y 从而 k 3 2 ds (1 y ) 2
例5
求直线 y a x b 上任意一点处的曲率 . y a , y 0 ,
此外, V 4 t , 故有
2
12 d h 16 2. dt h
h 3 4 t . 对此式两边关于 t 求导, 得
故当水深 h 5 米时, 其表面上升的速度为
dh 16 16 0.204 (m/ 分) . 2 d t 5 25
例3
设一贴靠在铅直的墙上 ,
y y
y x2.
例2
向一个上顶的直径为 8 米, 深为8 米的圆锥形容器内匀速
注水. 若注水的速度为 4 m3 /分, 求当水深 5 米时水表面上
升的速度?
解 设注水t 分钟后, 水深为h 米. 此时, 水面的直径也是h 米,
1 h 3 容器内水的体积为 V h h . 3 2 12
例1 解
加热一金属圆板 , 其半径以 0.01 cm/秒的速度均匀增加 . 问当半径为 200 cm 时, 圆板面积的增加率为多 少?
设圆板的半径为 x , 面积为 y, 则
(1) dx 显然, x, y 都是 t 的函数, 且 0.01 cm/ 秒 . dt dy 现要求 x 200 cm 时, ? dt 将 (1) 式两边关于 t 求导, 得 dy dx 2 x , dt dt 故在 x 200 时, 圆板面积的增加率为 dy 2 200 0.01 4 (cm/ 秒). dt
与加速度有关的所有公式
与加速度有关的所有公式加速度是物体在单位时间内速度变化率的量度。
它是物理学中一项非常重要的概念，与运动、力和质量等密切相关。
下面是与加速度有关的一些公式：1.加速度的定义公式：a=(v-u)/t其中，a表示加速度，v表示物体最终的速度，u表示物体初始的速度，t表示运动的时间。
2.相对速度公式：a=(v1-v2)/t其中，a表示相对加速度，v1表示物体1的速度，v2表示物体2的速度，t表示运动的时间。
3.加速度与质量和力的关系：F=m*aF表示作用在物体上的力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
4.力的定律：F = d(mv) / dt其中，F表示力，m表示物体的质量，v表示物体的速度，t表示时间，也可以写成 F = ma。
5.牛顿第二定律：F = ma其中，F表示物体所受的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
6.平均加速度公式：a=(v-u)/(t2-t1)其中，a表示平均加速度，v表示物体最终的速度，u表示物体初始的速度，t2表示最终的时间，t1表示初始的时间。
7.速度与时间、加速度的关系：v = u + at其中，v表示物体的末速度，u表示物体的初速度，a表示物体的加速度，t表示时间。
8.位移与初速度、加速度、时间的关系：s = ut + (1/2)at^2其中，s表示物体的位移，u表示物体的初始速度，a表示物体的加速度，t表示时间。
9.速度与加速度和位移的关系：v^2 = u^2 + 2as其中，v表示物体的速度，u表示物体的初始速度，a表示物体的加速度，s表示物体的位移。
这些公式描述了加速度与速度、时间、质量、力和位移之间的关系。
它们在物理学和工程学中得到广泛应用，帮助人们理解和解决各种与运动和力有关的问题。
相关变化率——精选推荐
2.4.3相关变化率相关变化率问题是指：在某一变化过程中变量 ,,y x ，它们都与变量t 有关，且它们之间有关系式0),,(= y x F ，知道了其中一些变量对t 的变化率，要求另外一些变量对t 的变化率。
求相关变化率的步骤：（1）建立变量 ,,y x 之间的关系式0),,(= y x F ；（2）将关系式0),,(= y x F 两边对t 求导（注意到 ,,y x 都是t 的函数），从而得各变量对t 的变化率之间的关系式；（3）将已知的变化率（包括一些已知数据）代入并求出所要求的变化率。
例1．一架直升飞机在m 500高空，以s m /50的均匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线与地面夹角θ 为。
求当3π=θ时，t 对θ的变化率。
解：以直升飞机飞过观察者头顶时算起的距离为x ， 显然x ，θ均为t 的函数，已知飞机的速度50=dt dx 米/秒，求3π=θ时的dtd θ。
θ=ctg x 500，dt d dt dx θθ-=)csc (5002， dtdx dt d θ-=θ2sin 5001， 当3π=θ时，23sin =θ，50=dt dx米/秒，代入上式得075.03-=θπ=θdtd 弧度/秒，负号表示θ随时间 t 增加而减少。
例2．某人以m 2/s 的速度通过一座桥，桥面高出水面m 20，在此人的正下方有一条小船以m 34/s 的速度在与桥垂直的方向航行，求经s 5后，人与小船相分离的速度。
解：设经t 秒钟后船与人的距离为m s ，人行走距离为m x ，船航行距离为m y ， 则222220)()()(++=t y t x t s ，所建立的方程并不是s 与t 的直接函数关系， 但因为所求的是dt ds v =，且已知2=dt dx，34=dt dy ，所以可借助于相关变化率来求。
dt dy ydt dx x dt ds s222+=， ∵当5=t 时，10=x ，320=y ， ∴37020)320(10222=++=s ， ∴)/(2126370343202105s m dt ds t =⋅+⋅==. §2.5高阶导数与高阶微分2．5．1显函数高阶导数定义 若函数)(x f y =的导数)(x f y '='在x 点可导，则称)(x f y '='在x 点的导数为)(x f y =在x 点处的二阶导数，记作)(x f ''，或y ''，或22dxy d ，即xx f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆)()(lim)(0，)(''=''y y ， ])([)(''=''x f x f ，)(22dxdy dx d dx y d =。
有关加速度的公式
有关加速度的公式加速度是物体速度变化率的量度，物体的加速度可以用不同的公式来计算。
下面将介绍一些与加速度相关的重要公式。
一.加速度的定义和计算公式加速度是一个矢量量，通常用字母a表示，单位是米每秒平方(m/s^2)。
它可以用速度的变化率来表示，即：a=Δv/Δt其中，a表示加速度，Δv表示速度的变化量，Δt表示时间的变化量。
这个公式适用于不连续变化的速度，例如物体在t1时刻的速度v1，和在t2时刻的速度v2，这个时间段内的加速度可以表示为：a=(v2-v1)/(t2-t1)二.匀加速运动和加速度的关系在匀加速运动中，物体的加速度是恒定的。
如果物体的起始速度为v0，终止速度为v，运动时间为t，那么加速度可以表示为：a=(v-v0)/t在匀加速运动中，物体的位移和时间、初速度、加速度之间也有公式关系：s = v0t + (1/2)at^2其中，s表示位移，v0表示初速度。
这个公式可以简化为：s=v0t+(1/2)a(t^2)三.自由落体和加速度的关系自由落体是指物体在只受到重力作用下的运动。
在地球表面，物体的自由落体加速度约等于9.8m/s^2，通常用字母g表示。
自由落体的加速度是一个常量，与物体的质量无关。
自由落体的速度和时间的关系可以表示为：v = gt自由落体的位移和时间的关系可以表示为：s = (1/2)gt^2四.初速度为0的运动和加速度的关系在一些物理实验或一些情况下，物体的起始速度v0为0。
在这种情况下，我们可以使用下面的公式计算加速度：v = at其中，v表示运动的速度，t表示时间。
这个公式可以简化为：v = at五.加速度和力的关系牛顿第二定律描述了力和加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与它所受的力成正比，与物体的质量成反比。
这个关系可以表示为：F = ma其中，F表示力，m表示物体的质量，a表示加速度。
根据这个公式，当物体受到的力增加时，加速度也会增加。
六.加速度和质量的关系根据牛顿第二定律，加速度与物体的质量成反比。
相关变化率问题题目
相关变化率问题题目
2.一辆汽车以60km/h的速度行驶，在 10 秒后加速到 80km/h，求此过程中汽车的加速度。
3. 已知 y = e^x，求当 x = 1 时，y 的变化率。
4. 求函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 在 x = -1 处的导数和变化率。
5. 一根杆的长度为 10m，下端固定在地面上，上端固定在墙上，当地面与杆之间的距离为 6m 时，墙与杆之间的距离变化的速率是0.2m/s，求地面与杆之间的距离的变化速率。
6. 已知函数 y = x^2 + 2x，求当 x = 3 时，y 的导数和变化率。
7. 一架飞机以 800km/h 的速度飞行，在 5 秒后加速到
1000km/h，求此过程中飞机的加速度。
8. 求函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1 在 x = 0 处的导数和变化率。
9. 已知 y = ln(x)，求当 x = 2 时，y 的变化率。
10. 一张正方形的边长为 5cm，在此正方形的四个角落各铺一只蚂蚁，当蚂蚁开始沿着正方形的边爬行时，正方形的面积的变化率是多少？
- 1 -。
相关变化率
仰角增加率
αБайду номын сангаас
河水以 8米 3 / 秒的体流量流入水库中 , 水库 例2 形状是长为 4000 米 , 顶角为 120 的水槽 , 问水深
0
20米时 , 水面每小时上升几米 ?
解 设时刻 t水深为 h( t ), (t 水库内水量为 V ( t ), 则 V ( t ) = 4000 3h2 dV dh 上式两边对 t求导得 dt = 8000 3h ⋅ dt dV Q = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, 米时 dt dh 水面上升之速率 ≈ 0.104米 / 小时 dt
米的正圆锥形容器中， 2、 注入水深 8 米， 上顶直径 8 米的正圆锥形容器中， 立方米， 米时， 其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其表 面上升的速率为多少？ 面上升的速率为多少？
1、-2.8(公里/小时). 2.8(公里/小时). 公里 16 ≈ 0.204 (米/分). 2、 25π
例1 一汽球从离开观察员 500 米处离地面铅直
上升 , 其速率为 140 米 / 秒 .当气球高度为 500 米时 , 观察员视线的仰角增加 率是多少 ? 解 设气球上升 t秒后 , 其高度为 h, 观察员视线
的仰角为 α , 则 h tanα = 500
2
500米
dα 1 dh 500米 = ⋅ 上式两边对 t求导得 sec α ⋅ dt 500 dt dh Q = 140米 / 秒, 当 h = 500米时, sec 2 α = 2 dt dα
相关变化率
设 x = x ( t )及 y = y( t )都是可导函数 , 而变量 x与 dx y之间存在某种关系 , 从而它们的变化率 与 dt dy 之间也存在一定关系 , 这样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化率 .
微积分3.4.3相关变化率 2
3.4.3 相关变化率若两个变量之间有某种关系，并且两个变量又是另外一个变量t 的函数。
0),(=y x F ，并且)()({t x x t y y ==。
若已知变化率dt x d ，去推倒另外一个变量的变化率dt dy ，我们称之为 相关变化率问题。
解决相关变化率问题的步骤： 1、利用几何或者物理等方面条件建立两个变量间的函数关系；2、等式的两边对时间t 求微商；3、将已知的指定时刻t 的相关值代入等式；4、由给定的条件求出相关变化率。
例1：一气球从离开观察员500米处离地面垂直上升，其速率为140米/秒。
当气球高度为500米时，观察员视线仰角的增加率是多少？解：设气球上升t 秒后，高度为x ，观察员仰角为θ。
根据题意，则有：θtan 500x =（步骤1）。
在等式的两边对时间求微商，则有dtd dt x θθ⋅=2sec d 5001。
（步骤2） 将已知的条件：140dx =dt，045=θ代入等式。
(步骤3） 求得dt θd =507。
（步骤4） 故，观察员视线仰角的增加率为7/50(弧度/秒）。
对应习题：一长为5米的梯子斜靠在墙上，如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁，试求： （1）梯子下端离墙3米时，梯子上端向下滑落的速度； （2）梯子与墙的夹角为3π时，该夹角的增加率。
AOBO ，微积分STYLE孩子，简单吧。
微积分就这样，好好学吧，加油哦！例2：河水以秒米/83的体流量流入水库中，水库的形状是长为4000米，顶角为0120的水槽，问水深为20米时，水面每个小时上升几米？解：设水面高为h,水库内的水的体积为V ，时间为t 。
由体积公式得234000h V =，由题意得到t V 28800t 36008=⋅⋅=即234000t 28800h =，同时对方程两边求微商，得到dt dh ⋅⋅=h 3800028800，将h=20代入其中，得到h m dtdh /104.0≈对应习题：注入水深8米，上顶直径8米的正圆锥形容器中，其速率为每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速率是多少？小结习题1.在中午十二点整甲船以6公里/小时的速率向东行驶，乙船在甲船的北面16公里，以8公里/小时的速率向南行驶，问下午一点整两船距离的变化速率是多少？2.一块石头投入水中使平静的湖面产生波纹。
曲线运动关键速度计算公式
曲线运动关键速度计算公式在物理学中，曲线运动是一种常见的运动形式，它不像直线运动那样简单，而是具有一定的复杂性。
在曲线运动中，我们经常需要计算关键速度，以便更好地理解和描述物体的运动规律。
本文将介绍曲线运动关键速度的计算公式，并探讨其在实际应用中的意义。
曲线运动关键速度计算公式的推导。
在曲线运动中，物体的速度是一个矢量，它包括大小和方向两个方面。
为了方便计算，我们通常将速度分解为沿曲线方向和垂直于曲线方向的两个分量。
假设物体在曲线运动中的速度为v，曲线的曲率半径为R，曲线的切线方向为t，曲线的法线方向为n。
根据速度的定义，物体在曲线上的速度可以表示为v = v_t t + v_n n，其中v_t为沿曲线方向的速度分量，v_n为垂直于曲线方向的速度分量。
在曲线运动中，物体的加速度也是一个矢量，它包括大小和方向两个方面。
加速度的方向与速度的方向有关，当物体在曲线上做匀速圆周运动时，加速度的方向指向曲线的圆心，大小等于速度的平方除以曲率半径，即a = v^2 / R。
根据速度和加速度的关系，我们可以得到曲线运动关键速度的计算公式。
假设物体在曲线运动中的速度为v，曲线的曲率半径为R，曲线的切线方向为t，曲线的法线方向为n，物体在曲线上的加速度为a，则曲线运动关键速度的计算公式为v = sqrt(R a)。
曲线运动关键速度计算公式的实际应用。
曲线运动关键速度计算公式在实际应用中具有重要意义。
首先，它可以帮助我们理解和描述物体在曲线上的运动规律。
通过计算曲线运动关键速度，我们可以确定物体在曲线上的最大速度，从而更好地掌握物体的运动特点和规律。
其次，曲线运动关键速度计算公式还可以指导工程设计和生产实践。
在一些工程和生产过程中，物体需要在曲线上进行运动，比如汽车在公路上行驶、飞机在空中飞行等。
通过计算曲线运动关键速度，我们可以确定物体在曲线上的最大速度，从而指导工程设计和生产实践，确保物体在曲线上的安全运动。
此外，曲线运动关键速度计算公式还可以为科学研究提供理论支持。
化学反应的速度方程求解方法
化学反应的速度方程求解方法在化学反应中，反应速度是指单位时间内反应物消耗或生成物增加的量。
为了研究和描述反应速度，化学领域发展了速度方程的求解方法。
本文将介绍几种常见的化学反应速度方程求解方法。
一、实验法实验法是最常用的求解速度方程的方法之一。
通过分析反应体系中反应物浓度随时间的变化，可以推导出反应速度与反应物浓度之间的关系。
常见的实验方法包括初始速率法、变温法、光度法、电化学法等。
初始速率法是最常用的实验方法之一。
在该方法中，反应开始时，测量反应物浓度与时间的关系，并确定反应速率与反应物浓度之间的关系。
通过多次实验，可以确定速度方程中各项指数的值。
二、差式法差式法是通过差分计算来求解速度方程的方法。
将反应物浓度随时间的变化量进行差分，可以获得反应物浓度随时间的变化率。
通过分析变化率与反应物浓度的关系，可以推导出速度方程。
差式法的一个常见应用是利用差分数据计算速度常数。
通过测量反应物浓度随时间的变化，得到一组反应速率数据。
然后，利用差分计算这些速率数据的变化率，并通过拟合方法求解速度常数。
三、积分法积分法是通过积分计算来求解速度方程的方法。
当化学反应遵循一定的动力学规律时，可以通过对速度方程进行积分来获得反应物浓度随时间的函数关系。
积分法的一个常见应用是求解一阶反应和二阶反应的速度方程。
对于一阶反应，其速度方程可以表示为ln[A] = -kt + ln[A]0的形式，其中[A]表示反应物浓度，k表示速度常数。
对速度方程进行积分，即可得到反应物浓度随时间的函数关系。
对于二阶反应，也可以使用类似的方法求解速度方程。
总结：化学反应的速度方程求解方法主要包括实验法、差式法和积分法。
实验法通过实验测量反应物浓度随时间的变化来推导速度方程；差式法通过差分计算反应物浓度的变化率来求解速度方程；积分法通过积分计算速度方程来获得反应物浓度随时间的函数关系。
不同的反应体系和需求可以选择不同的方法来求解速度方程。
在实际应用中，还可以结合多种方法进行综合分析和求解。
相关变化率问题的求解方法及应用
相关变化率问题的求解方法及应用1. 引言相关变化率问题是数学中一个重要而复杂的概念，涉及到微积分和函数的导数。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到各种各样的相关变化率问题，比如物体的速度、加速度、成本的边际变化等等。
掌握相关变化率问题的求解方法对于理解和解决实际问题至关重要。
本文将从基础概念入手，逐步展开相关变化率问题的求解方法及应用。
2. 相关变化率问题的基本概念相关变化率问题涉及到两个变量之间的关系，通常表现为一个变量随着另一个变量的变化而变化。
一个物体的位移随着时间的变化而变化，这就涉及到了速度的概念。
相关变化率的求解方法是通过求取两个变量的导数来得到它们之间的关系。
在数学中，相关变化率通常通过函数的导数来呈现，这需要我们熟练掌握导数的求解方法。
3. 相关变化率问题的求解方法相关变化率问题的求解方法主要涉及到求取函数的导数。
对于给定的函数，我们首先需要求取它关于自变量的导数，然后根据具体问题中的变量关系，进一步求取相关变化率。
常见的求导方法包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等等，我们需要根据具体的函数形式和问题需求，灵活运用这些求导法则。
另外，对于一些复杂的函数，我们还需要运用链式法则、乘积法则、商法则等高阶导数的求法则来求取相关变化率。
4. 相关变化率问题的应用相关变化率问题的应用非常广泛，涉及到物理、经济、生物、工程等各个领域。
在物理学中，我们可以用相关变化率来求取物体的速度、加速度、力的功率等等，进而解决各种运动问题。
在经济学中，相关变化率可以被用来求取成本的边际变化率、收益的边际变化率，帮助企业制定最优的生产和经营策略。
在生物学和工程学中，相关变化率可以帮助我们理解各种生物体的生长规律，以及设计各种工程结构和装置。
5. 个人观点和总结相关变化率问题是微积分中一个非常有意义和应用价值的内容，掌握相关变化率的求解方法对于理解和解决实际问题至关重要。
通过学习和熟练运用相关变化率的求解方法，我们可以更好地理解和应用微积分知识，解决我们在生活和工作中遇到的各种问题。
(2.6) 第六节 变化率问题举例及相关变化率(少学时简约版)
当 t = 2 时，
v( 2 )=[ 3t 2 - 12 t + 9 ]t=2 = 32 2 - 12 2 + 9 = -3 m /s，
当 t = 4 时，
v( 4 )=[ 3t 2 - 12 t + 9 ]t=4 = 34 2 - 12 4 + 9 = 9 m /s y dx
?
dx
dy
dt
dt
(2) 相关变化率问题分析
设已知变量 x，y 间的关系满足方程 F( x ,y )= 0 . 若变量 x、y 还和另一变量 t 之间存在函数关系：
x = ( t )，y = ( t )，
则三变量 x、y 、t 间的关系满足方程
F( x ,y )= F[( t ),( t )]= 0 .
而在 x = 1 处的线密度为
d dm x21x
0.50kgm .
x1
(1) 相关变化率问题的一般概念
如果有一固定的条件联系着几个变量，这些变量又
都随着另一个变量的改变而改变，那么它们的变化率之
间必然也有一定的关系。具有这种连带关系的变化率就
叫做相关变化率。在这种相关变化率问题中，一个变化
率往往能由其它变化率计算出来。
• 求质点运动过程中的瞬间静止不动点 质点的静止不动点就是速度为零的点，于是令：
v( t )= 3t 2 - 12 t + 9 = 3( t 2 - 4 t + 3 )= 3( t - 1 )( t - 3 )= 0， 解得 t = 1 和 t = 3 是质点的静止不动点。
• 求质点沿数轴正向运动的时间段 质点沿数轴正向运动的时间段就是速度方向与数轴
ch4-5相关变化率
解：设 t 秒后，水面上波纹半径为 rt
则水波纹圆面积S为 r 2
而 dr 4 dt
r 4832 t 8
所以 dS 2rd r23 2 425 6
dt
dt
谢谢！
d dx y t1.4x yd dx x t1.40.87m 5 s
所以下滑速度为 0.875ms , 负号表示下滑
例 2 .向 一 平 静 池 内 投 入 一 石 块 ， 在 水 面 上激起同心圆的波纹，如果最外层波纹
的 转 播 速 度 是 4m / s ， 试 问 8 秒 钟
后水波纹圆面积的增加速率是多少？
例1 长为 5 米的梯子斜靠墙上，假设其下端沿地板
以 3 m s 秒的速度离开墙角而滑动，求当其 下端离墙角 1.4 米时，梯子上端下滑速度。
分析：xyxy((tt)) x2y225
已知
dx 3
dt
x1.4
求 dy
dt
5 yt
xt
解：x2(t)y2(t)25 两边对 t 求导
2xdx2ydy0 dt dt
文件名
尽信书，则不如无书
一、相关变化率的概念
设x x(t)及y y(t)都是可导函, 数 而变量x与 y之间存在某种关 , 从系而它们的变化dx率与
dt dy之间也存在一定关 , 这系样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变.化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
二、相关变化率的求法
关联速度知识点总结
关联速度知识点总结一、速度的定义速度是一个矢量，它具有大小和方向。
在物理学中，速度通常用矢量表示，它的大小即速率，是描述物体单位时间内移动的距离；而方向则表示物体向着哪个方向移动。
通常用符号v表示速度，速度的单位可以是米/秒(m/s)、千米/小时(km/h)等。
二、不同类型的速度1. 瞬时速度瞬时速度是指物体在某一瞬间的速度。
即在某一时刻，我们可以通过计算物体在该时刻的位移和时间的比值，来得到物体在该时刻的瞬时速度。
用数学表示即为v=lim(Δs/Δt)，其中Δs表示位移，Δt表示时间。
当Δt趋近于0时，就是瞬时速度。
2. 平均速度平均速度是指物体在一段时间内的平均速度。
这段时间内，物体移动的总距离除以总时间，就得到了物体的平均速度。
用数学表示为v=Δs/Δt，其中Δs表示总位移，Δt表示总时间。
3. 相对速度相对速度是指两个物体之间相对运动的速度。
当两个物体互相靠近或远离时，它们之间的速度就是相对速度。
相对速度的计算方法比较简单，可以通过两个物体的速度相减来得到。
4. 绝对速度绝对速度是指物体相对于地面或其他基准点的速度。
通常情况下，我们讨论的速度都是相对于地面的速度，即绝对速度。
三、速度的计算1. 瞬时速度的计算：根据瞬时速度的定义，我们可以通过计算物体在某一时刻的位移和时间的比值，来得到物体在该时刻的瞬时速度。
2. 平均速度的计算：平均速度的计算比较简单，就是通过计算物体在一段时间内的总位移和总时间的比值来得到。
3. 相对速度的计算：相对速度的计算比较简单，可以通过两个物体的速度相减来得到。
四、与速度相关的其他物理量1. 位移位移是一个矢量，它描述了物体从一个位置到另一个位置的距离和方向。
位移和速度有着密切的关系，速度是位移与时间的比值。
2. 加速度加速度是描述物体速度变化的物理量，它是速度的变化率。
加速度和速度之间也有着密切的关系，即速度的变化率就是加速度。
3. 时间时间是一个描述事件发生顺序的物理量，速度是描述物体运动过程的物理量，它们之间的关系是物体运动的距离与所用时间的比值。
关联速度公式
关联速度公式
关联速度公式是指在数据分析中，用来计算两个变量之间的相关性的公式。
它可以帮助我们了解两个变量之间的关系，以及它们之间的强度和方向。
在本文中，我们将深入探讨关联速度公式的含义、计算方法和应用。
让我们来了解一下关联速度公式的含义。
关联速度公式是用来计算两个变量之间的相关性的公式。
它可以帮助我们了解两个变量之间的关系，以及它们之间的强度和方向。
在数据分析中，关联速度公式是非常重要的，因为它可以帮助我们预测未来的趋势和变化。
接下来，让我们来看一下关联速度公式的计算方法。
关联速度公式的计算方法非常简单，它可以用以下公式来表示：
r = (nΣxy - ΣxΣy) / sqrt((nΣx^2 - (Σx)^2)(nΣy^2 - (Σy)^2))
其中，r表示两个变量之间的相关系数，n表示样本数量，x和y 分别表示两个变量的值，Σ表示求和符号。
让我们来看一下关联速度公式的应用。
关联速度公式可以应用于各种领域，例如金融、医疗、市场营销等。
在金融领域，关联速度公式可以帮助我们预测股票价格的变化趋势。
在医疗领域，关联速度公式可以帮助我们了解不同因素对疾病的影响。
在市场营销领域，关联速度公式可以帮助我们了解不同营销策略对销售额的影响。
关联速度公式是数据分析中非常重要的工具，它可以帮助我们了解两个变量之间的关系，以及它们之间的强度和方向。
通过了解关联速度公式的含义、计算方法和应用，我们可以更好地应用它来解决实际问题。
相关变化率问题的求解方法及应用
相关变化率问题的求解方法及应用赵红杰;李杨;柏继云【摘要】相关变化率问题是高等数学导数部分的一个内容.它广泛地存在于现实生活中.但目前的高等数学教材中,对这部分内容阐述得比较少,只是列举一两个例子,学生不能很好地了解相关变化率问题的应用,甚至对其求解方法感到困惑,因此极大影响了学生的学习兴趣和质量.该文旨在通过展示相关变化率问题的一些实际应用,重点介绍其求解方法,引导学生学会用数学的思维方式观察、分析、解决实际问题,以提高学生学习兴趣、学习质量.【期刊名称】《安徽农业科学》【年(卷),期】2013(041)019【总页数】3页(P8088-8089,8210)【关键词】高等数学;导数;相关变化率;教学方法【作者】赵红杰;李杨;柏继云【作者单位】东北农业大学,黑龙江哈尔滨150030;东北农业大学,黑龙江哈尔滨150030;东北农业大学,黑龙江哈尔滨150030【正文语种】中文【中图分类】S11现实生活中普遍存在着相关变化率问题。
了解它的应用，掌握相关变化率问题的解题方法，不仅可以拓宽学生的知识面，而且可以使学生理论联系实际，学以致用［1］。
所谓的相关变化率问题是这样定义的:设x=x(t)和y=y(t)都是可导函数，而变量x 与y之间存在某种关系，从而变化率dx/dt与dy/dt间也存在一定关系。
这2个相互依赖的变化率被称为相关变化率。
相关变化率问题就是研究这2个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率［2］。
以一个例子来说明相关变化率问题，再具体举例说明求解方法。
假定我们正在对一个球形气球充气，气球的体积和半径都随时间增加。
若气球在某个时刻t的体积为V，半径为r，则利用链式法则求导数，得到相关变化率方程为: 实际上，直接测量体积增加的速率(气球充气的速率)比测量半径增加的速率更加容易。
所以，如果知道气球在给定时刻的半径(r)和体积增加的速率(dV/dt)，那么就能够通过上面的方程求解dr/dt，得到半径在那个时刻增加的速率。
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图2
船速度分析
子探讨由相关变化率 求 相 关 速 度 的 方 法 , 试图以对 比求解的方式加深大家对相关速度的理解 . 1 媒介关联 ʌ ɔ如 图 1 所 示 , 例1 某人在岸边用轻绳以速度
两边对t 求导 , 有
2 x 解得
当绳与河夹角为θ 时 , 船 v 0 匀速拉动小船使之靠岸 , 的速度为多大 ?
ʌ ɔ如图 3 所示 , 例2 长2 0m 的轻杆 A B 靠在高
d H 在 2 2 2 两边对t 求 v . R t Δ A MN 中l =x +h , B y = d t d l d x, 导, 得2 解得 l =2 x d t d t d l / s =3 m d t
H L 两边对 求导得 由 MN ʊ B C得 = , t h l
物理通报 是多少 ?
物理问题讨论
d h 在 所求杆速度v h, . R t Δ A O C 中h2 +x2 =R2 , A= d t d h d x 两边对t求导得2 故v h -2 x 0, v t a n θ. = A= 0 d t d t 小结 : 采用相关变化率法可以避免繁琐的速度 分解 , 只要明确已知 速 度 和 所 求 速 度 分 别 对 应 的 变 化率 , 列出两变量的关系式求导即可得解 . ʌ ɔ 例4 距河岸( 看成直线) 5 0 0m 处有一艘静止的 )
负号表示 x 减小速度向左 .
v 0 v= c o s θ
d x d L L =2 d t d t
小结 : 对轻绳模型求相关速度运动分解法较为 简洁 , 但是在实际学习中 , 学生很难分辨应该分解绳 速还是船速 , 复习时 不 妨 引 入 相 关 变 化 率 法 进 行 一 运动分解法 : 因轻绳不可拉伸 , 故人与小船沿绳
/ v v s i n θ+v c o s θ=3. 2m s B B 1 B 2 y =
向分解 凸 轮 和 杆 的 速 度 得 v 即v c o sθ = A 1 =v 1, A
A M= l
l; 端 离 地 高 度 为 , 其变化率 为d B H 所求向下速度 d t1 1Biblioteka 6图6运动速度分解
2 0 1 8 年第 7 期
2 0 1 8 年第 7 期
物理通报
物理问题讨论
由相关变化率求相关速度
黄
( 重庆巴蜀常春藤学校
鹏
重庆 ) 4 0 1 1 2 7
( ) 收稿日期 : 2 0 1 7 0 7 1 7
摘
速度的步骤和优点 .
要: 研究物体系运动时经常涉及到相关速度 , 将相关速 度 归 纳 为 3 类 , 通过例题探讨由相关变化率求相关 相关变化率 运动分解
小结 : 用运动分解法解此例时 , 易错判B 端速度
分解 A 端的速度
图 4 A 端速度分解
2
v v v c o s θ A 1= B 1= A
又 / 则 B 端沿杆速度vB1 = 由 A 端与B 端绕 M 点 3m s . 转动的角速度相等 , 又 且 则
带动从动杆 A v B 沿竖直方向 0 沿水平面向右运动 , 时, A B 杆的速度大小 .
将v B 1 和v B 2 的竖直分量求和得
面法向分速度相等 . 如图 6 所示 , 沿接触面法向和切 则v v s i n θ, v t a n θ. 0 A = 0
和 L 不变 ; 其变化率为 A 端到墙角 N 的距离为x , d x / m s =5 d t
相 关变化率法 : 如图3所示 , MN = h, A B =L, h
关键词 : 相关速度
相关速度 就 是 两 个 通 过 某 种 方 式 联 系 起 来 的 ㊁ 速度 , 它们可以通过媒介 ( 轻绳或轻杆等 ) 直接接触 或不变量相关联 , 在题目中往往已知一个速度求另 一个速度 . 在运动学 中 我 们 把 位 移 对 时 间 的 变 化 率 定义为速度 , 那么求 相 关 速 度 也 可 以 理 解 为 已 知 一 个变化率求另一个变 化 率 , 这正是数学中的相关变 化率问题 . 相关变 化 率 在 数 学 中 是 这 样 定 义 的 :设 x =
1d H Ld l =- 2 h d t t l d
解得 运动分解法 : 因轻杆不可拉伸 , 故 A 端与B 端沿
图3 例 2 题图
负号表示高度减小速度向下 .
/ v 3. 2m s B y =-
杆方向速度相等 . 如图 4 所示 .
/ 竖 直向下 , 在求出v 分解B 端速度即求 3m s后 , B 1= / 出v 其实 B 端 并 未 受 约 束 , 速度并非 3. 7 5m s . B = 向下 . 我们要注意轻 杆 模 型 比 轻 绳 模 型 增 加 了 转 动 而采用相关变化率法 不 仅 可 以 避 开 上 述 陷 阱 , 计算 2 1 题中也出现过 . 也相对简 便 . 此类模型在2 0 1 5年高考全国 Ⅱ 卷第 接触关联 ʌ ɔ 例3 如图5所示 , 半径为R 的半圆凸轮以等速 关联的可能性 , 此时利用两端角速度相等便能得解 .
图1 例 1 题图
题多解 , 以帮助学生突破该难点 , 同时发散学生的思 维.
作者简介 : 黄鹏 ( 1 9 8 5
) , 男, 中学一级 , 主要从事中学物理教学和高考研究 .
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2 0 1 8 年第 7 期
物理通报
物理问题讨论
接触点 M 距B 端 5m, 沿水平方 1 2 m 的墙 MN 上 , / 向以 5 m s速度向右拉 A 端时 , B 端向下的速度为 多大 ?
1] 关系 , 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率 [ .
L 船到滑轮 的 绳 长 为 L, 其 变 化 率d h 不变 ; =-v 0; d t x 船到滑轮水面投影点距离为 x, 所求船速v=d . d t
由勾股定理 , 得
2 2 x2 +h =L
相关变化率法 : 如图1所示 , 滑轮距水面高为h,
方向速度相等 . 如图 2 所示 , 分解船速
v v v c o s θ 1= 0= v 0 v= c o s θ
则
)和 y =y( )都是可导函数 , 而变量 x 和y 之间 x( t t
y 间也存在一定 x 与d 存在某种关 系 , 从 而 变 化 率d d t d t
下面分别通过 3 类不同相关速度的几个经典例
A N 3 c o s θ= = AM 5
上升 , 求: 当 øA O 为凸轮圆心 , P 为其顶点 . O P= θ
/ v rAM = v s i n θ=4 m s A 2 =ω A 4 / v ms B 2= 3 运动分解法 : 因凸轮和杆不分离 , 故它们沿接触
图5 例 3 题图
v rBM B 2 =ω