大学物理 静电场练习题及答案

练习题

7-1 两个点电荷所带电荷之和为Q ，它们各带电荷为多少时，相互间的作

用力最大?

解: 这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q ，则另一个点电荷带电， 两点电荷之间的库仑力为

q Q - ()2

41

r q

q Q F -=

πε由极值条件，得

0d d =q F

Q

q 2

1=又因为

<0

2

02221

d d r q F πε-=这表明两电荷平分电荷Q 时，它们之间的相互作用力最大。

7-2 两个相同的小球，质量都是m ，带等值同号的电荷q ，各用长为l 的细线挂在同一点，如图7-43所示。设平衡时两线间夹角2很小。θ（1）试证平衡时有下列的近似等式成立：

3

102

2⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=mg l q x πε式中x 为两球平衡时的距离。

(2)如果l = 1.20 m ，m =10 g ，x =5.0 cm ，则每

个小球上的电荷量q 是多少?

(3)如果每个球以的变化率失去电

图7-43 练习题7-2图

-19s C 1001⋅⨯-.荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率d x /d t 是多少?

解：(1)带电小球受力分析如图解所示。小球

平衡时，有

F T =θsin mg

T =θcos 由此二式可得

mg

F =

θtan

因为很小，可有，再考虑到

θ()l x 2tan ≈θ2

024x q F πε=

可解得

3

1

022⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=mg l q x πε （2）由上式解出

C 1038228

2

13

0-⨯±=⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛±=.l mgx q πε（3）由于

t

q q x t q q mg l t x d d 32d d 322d d 313

10=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-πευ带入数据解得

-1

3s m 10401⋅⨯=-.υ合力的大小为

2

2

2

2

20

1222412cos 2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⋅

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⋅

⋅

===d x x d x e F F F x πεθ()

2

32

22043241d x x

e +=

πε令，即有

0d d =x F

()

(

)

0482341

8252

22

2

32

2

02=⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+⋅

-+d x x d x e πε由此解得粒子受力最大的位置为

α2

2d x ±

=

b

7-4 由相距较近的等量异号电荷

组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。因此，电偶极子是

一个十分重要的物理模型。图7-45所

示的电荷体系称电四极子，它由两个

电偶极子组合而成，其中的和均为q l 已知，对图7-44中的点(平行于P OP 正方形的一边)，证明当x » l 时

4

043

x pl E p πε≈其中，p=ql 称电偶极矩。

解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。设左边和右边两个电偶极子在P 点产生的场强分别为E 左和E 右，由教材例题7-3可知

()

()

302

4l p E x πε=+

左方向向下()

()

302 4l p E x πε=

-

右方向向上其中，p =ql 。

点处的合场强为

P ()

()

()()3

22

33

3

2200022

232444l

l l l x l p

p p E E E x x x πεπεπε+=-=

-

=

-+

⎡⎤-⎣⎦

右右由于x » l

上式可简化为

()4

03 4pl

E x

πε=方向向上证毕。

图

n

g n

b e

7-5 如图7-46所示，长为l 的细直线OA 带电线密度为，求下面两种λ情况下在线的延长线上距线的端点O 点为b 的P 点的电场强度： (1)为常量，λ且>0；(2) =kx ，k 为大于零的常量，(0≤x ≤1)。λλ

解：(1)将带电直线分割成无数个长度元d x ，d x 的坐标是x 。它所带的电荷元d q =d x ，d q 在P 点产生的电场强度的大小为

λ()2

d 41d b x x

E +⋅

=

λπε因为所有电荷元产生的场强方向都相同，所以场强的矢量叠加可用代数方法相加。于是带电直线在P 点产生的电场强度为

()⎰

+⋅

=l

b x x

E 0

2

d 41λπε⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=

l b b 1140πελ()

l b b l +=

04πελ方向沿x 轴的负方向。

(2) 同样取电荷微元d q =d x =kx d x

λ ()2

d 41

d b x x

kx E +⋅

=

πε同理

()⎰

+⋅

=l

b x x

kx E 0

2

d 41

πε⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+=

b l l b l b k ln 40πε方向沿x 轴的负方向。