对数平均不等式在极值点偏移中应用

2 对 数 平 均 不 等 式 的 典 型 应 用

极值点偏移问题的母题

对数、指数平均不等式与高考中的一类热点，即极值点的偏移（类对称或淮对称）问题具有深该的内在联系，利用对数

与

指数平均不等式可建立极值点的偏移母题如下.

［母题结构］：（!）（对数模型）设 P （x”yJ 、Q （X 2, y 2）是函数

f （X ）=mlnx+a X 2+bx+c （m

HO ）图像上的任意两点，则当m>0时"（伴）5;当m<0时，/ （伴）畑

(II)(指数模型)设 P(x” Y1)、Q(X 2, yj 是函数 f(x)=me x +ax 2+bx+c(m^0)图像上的任 意两点，则当m>0时，f （今）<也;当m<0时，厂（宁）>気

A B

]：(

m - +a (xi+x ：) +b => 心厂 r ( )=m( — X\ ■ X? 2 X| ~ X2 式.a 十b 〉a-b = Inxj -lnx 2〉

・ 2 \na-lnb x } -x 2

n 当m 〉0时，f （宁）〈也;当nKO 时，/（呼）>扁;

- X|*X 2 (II )由 f (x)二me^+ax^+bx+c =>『(x)二me”+2ax+b => r (土Hl) =me +a (xi+xj +b; 乂 由

1£疋二「w 巴二m ・八一"+ X|-X 2 X| - x 2

心+刈+」"八宁）讹罟-e 〒），由指数平均不等

u+6 r r

亍 n =>eh n 当 m>0 时， 厂（宁）&• 1. 对数模型

子题类型I : （2011年辽宁高考试题）已知函数f （x ）二lnx-/+（2-a ）x ・ （1）f (x)二mlnx+ax~+bx+c => f (x)二—+2ax+b => y z (山十“ x 2 ）二 2m

勺+忑

+a(xi+x2)+b;又 由 ）,由对数平均不等 式：V>e

a-b

讨论巩幻的单调性;

2

(II)设a>0,证明：当0f(l-x);

a a a

(III)若函数y=f(x)的图像与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x。,证明：厂(xo)

［解析］：(I )f(x) 的定义域为(0,+ -> ),由

f (x)=lnx - ax~+(2 - a) x=> f f (x) =- i (axT);①当a WO 时，广(x) >0n f (x)在(0, +°°) x

上递增；②当a>0时,f (x)在(0,丄)上递增，在(丄，+8)递减；

a a

(II ) 令g(x)=f(丄+x)-f(丄- x)二ln(l+ax) - ln(l-ax)-2ax, 则a a

(x)=宀+宀-2a=吝>0 n g(x)在［0,丄)上递增

n g(X)>g (0)二0 n f (丄+X) >f (丄-X)；

a a

(III)设A(x】,0), Bg, 0),则k«=0,由f (伴)<血二On f (xo) <0.

［点评］:若连续函数f(x)在区间g,xj内有唯一的极值点X。,且f (X1)=f(X2),研究

宁与X。的大小或判断f (宁)的符号，统称为极值点的偏移问题;母题结论具有

解决极值点偏移问题的根本性.

2.指数模型

子题类型H ： (2010年天津高考试题)已知函数f(x)=xe-s(xeR).

(I )求函数f(x)的单调区间和极值；

(II)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x二1对称，证明：当x>l 时，f (x) >g(x);

(III)如果XiHx?,且f (x x)=f (x:),证明:X I+X2>2.

表知f(x)在(-oo, 1)

内是增函数，在(1,+s)内是减函数，函数f(x)在x=l处取得极大值f(l),且

(II)由函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x二1对称og(x)=f (2-x) = (2-x) e'-2; 当x>l 时，令F (x)二f (x) -g (x)二x「+(x-2) e", 则

尸(x) = (x-l) (e^-De^O n 函数F(x)在［1, + )是增函数

=>F(x) >F(l)=O=>f(x)>g(x);

(III)设P (xi, yo), Q(X2, yo)，由xiHxz,且f (xj =f (xj,则Xi, x：>0;令

g (x) =lnf (x) =lnx-x,则g' (-)〈也二0n

2 X| + x2

On X X+X2>2・

［点评］:指数与对数函数模型不仅具有相似的结论，实质上，由函数y二e=与y二lnx的对称性知，母题中，指数与对数函数模型的结论是等价的；把指数函数问题转化为对数函数问题是解决指数函数问题的常用方法.

3.切线背景

子题类型皿：(2005年湖南高考试题)已知函数f (x)二lnx, g(x)Jax2+bx, aHO.

■

(I )若b二2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

(II)设函数f(x)的图象G与函数g(x)图象C：交于点P、Q,过线段PQ的中点作x 轴的垂线分別交G, G于点M、N,证明:G在点M处的切线与C：在点N处的切线不平行.

［解析］：( I ) 当b二2

时,h(x) =f (x)-g(x) =lnx-1 ax：-2x => /f (x)二丄-ax-2二-丄(ax_+2xT) (x>0);所以,h(x)

2 x x

存在单调递减区间o h' (x) WO在(0, +°°)内有解集区间o T (x) =ax'+2x-l^0在(0, + °°)内有解集区间o a>0,或a<0,且4+4a>0o

a的取值范围是(T, 0) U (0, +oo)；

II

P (xi, yi), Q (xz, yj, A (xi, 0), B (x：, 0), h (x)二f (x) -g (x)二

lnx一1 ax2+bx => 力’(x) = f (x) 一f (x) n h1 ( “十也)=

一2

f (4)-0 (4)%B=0n f (宁)

2 2 2 一