用二次函数与一元二次方程不等式的关系课件
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《二次函数与一元二次方程、不等式---第一课时》名师课件
道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
变式训练
高中数学
ZHONGSHUXUE
3.对一切实数，关于的不等式 2 − + < 0 恒成立，
求实数的取值范围.
解：要使 2 − + < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时，原不等式化为−<0，解得 > 0,不合题意；
成立，求的取值范围.
解析
要使 2 − − 1 < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时， < 0 化为-1<0，恒成立,符合题意；
< 0,
⑵当≠0时，则有ቊ
, 解得−4 < < 0.
2
△=(−) + 4 < 0
综合两种情况可得的取值范围为 | − 4 < ≤ 0 .
对a是否为
①当a＝0时，b＝0，c<0；
零要进行
②当a≠0时， ቊ
> 0,
△ < 0.
讨论．
当堂练习
高中数学
ZHONGSHUXUE
1．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是( A )
A.
2
，2
3
C.
3
，2
2
2
B.ቀ−∞， ቃ∪[2，＋∞)
3
D.
2
− ，2
3
2
3
2
3
解析：原不等式等价于(x－ )(x－2) ≤0，解得 ≤x≤2，故选A.
y = 2 + +
(>0)的图象
方程 2 + + = 0
（>0）的根
变式训练
高中数学
ZHONGSHUXUE
3.对一切实数，关于的不等式 2 − + < 0 恒成立，
求实数的取值范围.
解：要使 2 − + < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时，原不等式化为−<0，解得 > 0,不合题意；
成立，求的取值范围.
解析
要使 2 − − 1 < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时， < 0 化为-1<0，恒成立,符合题意；
< 0,
⑵当≠0时，则有ቊ
, 解得−4 < < 0.
2
△=(−) + 4 < 0
综合两种情况可得的取值范围为 | − 4 < ≤ 0 .
对a是否为
①当a＝0时，b＝0，c<0；
零要进行
②当a≠0时， ቊ
> 0,
△ < 0.
讨论．
当堂练习
高中数学
ZHONGSHUXUE
1．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是( A )
A.
2
，2
3
C.
3
，2
2
2
B.ቀ−∞， ቃ∪[2，＋∞)
3
D.
2
− ，2
3
2
3
2
3
解析：原不等式等价于(x－ )(x－2) ≤0，解得 ≤x≤2，故选A.
y = 2 + +
(>0)的图象
方程 2 + + = 0
（>0）的根
《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第1课时)
实数
特别提醒：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数图象与轴交点的横坐标. （2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.
A
3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的对应关系
设 ，方程 的判别式
判别式
解不等式 或 的步骤
求方程 的根
.
典例精讲
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
题型2 应用“三个二次”之间关系求参数
.
典例精讲
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
题型2 应用“三个二次”之间关系求参数
方法指导
运用“三个二次”之间的关系求参数方法根据解集判断二次项系数的符号.一元二次不等式解集的两个端点值即对应一元二次方程的两个根.根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求参数.
因为
方程=0的解为
则二次函数草图为
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为R不等式的解集为不式的解集为不等式的解集为
不等式的解集为R
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为
方法指导
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
解一元二次不等式的一般方法化标准：不等式右侧化为0，二次项系数化为正整数.判别式：确定对应一元二次方程有无实根.求实根：若有根，求根. 作草图：作出对应二次函数的草图.写解集：结合图像写一元二次不等式的解集.
_ _____________
____
_________________
____
____
或
续表
注意：对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，需先把二次项系数化为正数再求解.
.
典例精讲
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
特别提醒：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数图象与轴交点的横坐标. （2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.
A
3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的对应关系
设 ，方程 的判别式
判别式
解不等式 或 的步骤
求方程 的根
.
典例精讲
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题型2 应用“三个二次”之间关系求参数
.
典例精讲
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题型2 应用“三个二次”之间关系求参数
方法指导
运用“三个二次”之间的关系求参数方法根据解集判断二次项系数的符号.一元二次不等式解集的两个端点值即对应一元二次方程的两个根.根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求参数.
因为
方程=0的解为
则二次函数草图为
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为R不等式的解集为不式的解集为不等式的解集为
不等式的解集为R
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为
方法指导
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解一元二次不等式的一般方法化标准：不等式右侧化为0，二次项系数化为正整数.判别式：确定对应一元二次方程有无实根.求实根：若有根，求根. 作草图：作出对应二次函数的草图.写解集：结合图像写一元二次不等式的解集.
_ _____________
____
_________________
____
____
或
续表
注意：对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，需先把二次项系数化为正数再求解.
.
典例精讲
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高三一轮复习-二次函数与一元二次方程、不等式课件
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 ⇔ b2－4ac<0.
考点一 二次函数图像性质
例1(1)(202X•泸县校级模拟)设m∈R,则“m≤2”是“函数f(x)
=x2-mx在[1，+∞)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B也不必要条件
a2－a>0，解得a<0或a>1.
3.(202X·河南郑州联考改编)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集 是(－1，3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1，0]，不等式f(x)＋t≤4 恒成立，则实数t的取值范围是________.
2＝b，
b＝4，
由题可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，即
˂
sin2θ
˂
3 2
θ∈[-
π 4
,
3π 4
]，
2θ∈[-
π 2
,
3π 2
]，
-
π 6
˂2θ˂
π 3
或
2π 3
˂2θ˂
7π 6
θ∈(-
1π2,
π 6
)∪(
π 3
,
7π 12
)
考点一 一元二次不等式的解法
例2(1)(202X•江西模拟)已知集合A={x|(2a-x)(x-a)˂0},若2∈ A，
则的取值范围为( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞)
B. [1,2)
C.(1,2)
D.[1,2]
因为2∈A，(2a-2)(2-a)0，(2a-2)(a-2)≤0， 1≤ a≤ 2
(2)(202X•岳阳二模)已知关于x的不等式ax2+2bx+4˂0的解集为
考点一 二次函数图像性质
例1(1)(202X•泸县校级模拟)设m∈R,则“m≤2”是“函数f(x)
=x2-mx在[1，+∞)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B也不必要条件
a2－a>0，解得a<0或a>1.
3.(202X·河南郑州联考改编)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集 是(－1，3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1，0]，不等式f(x)＋t≤4 恒成立，则实数t的取值范围是________.
2＝b，
b＝4，
由题可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，即
˂
sin2θ
˂
3 2
θ∈[-
π 4
,
3π 4
]，
2θ∈[-
π 2
,
3π 2
]，
-
π 6
˂2θ˂
π 3
或
2π 3
˂2θ˂
7π 6
θ∈(-
1π2,
π 6
)∪(
π 3
,
7π 12
)
考点一 一元二次不等式的解法
例2(1)(202X•江西模拟)已知集合A={x|(2a-x)(x-a)˂0},若2∈ A，
则的取值范围为( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞)
B. [1,2)
C.(1,2)
D.[1,2]
因为2∈A，(2a-2)(2-a)0，(2a-2)(a-2)≤0， 1≤ a≤ 2
(2)(202X•岳阳二模)已知关于x的不等式ax2+2bx+4˂0的解集为
第04课二次函数与一元二次方程不等式(课件)
| 综上，当 a>2 或 a<－2 时，原不等式的解集为 x
a－ a2－4≤x≤a＋ a2－4
2
2
；当 a＝2 时，原不等式的解集为{1}；当
a＝－2 时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a<2 时，原不等式的解集为∅. 【反思】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与 0 的关系判断根的个数．
＝－1－t2. 4
③当 t ≤－1，即 2
t≤－2
时，f(x)在[－1，2]上单调递增，所以
f(x)min＝f(－1)＝t.
t，t≤－2，
综上，g(t)＝ －1－t2，－2＜t＜4， 4 3－2t，t≥4.
【反思】闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指
解得－2<a<2.综上可得，a 的取值范围为(－2,2]．
【反思】恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在 R 上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分 离参数求最值或分类讨论．
一、【考点逐点突破】
故选 C.
【反思】注意二次项的系数是正还是负.
一、【考点逐点突破】
【考点 7】含参数的一元二次不等式解法
【典例】解关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
一、【考点逐点突破】
【考点 7】含参数的一元二次不等式解法 【解析】由题意知，Δ＝a2－4，①当 a2－4>0，即 a>2 或 a<－2 时，方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x＝a± a2－4，
二次函数与一元二次方程及不等式(课件)
记忆口诀： (前提a>0). 大于取两边，小于取中间
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
随堂检测
(1) (x-1)(x-3)>0的解集是 {x∣x<1或x>3}.
(2) x2-3x+4≥0的解集是
R
.
(3) (x-1)(2-x) ≥0的解集是 {x∣1≤ x≤ 2 } .
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
y=ax2+bx+c(a>0) 的图象
y
x1 x2
y
x
x1(x2) x
y x
⊿=b2-4ac
⊿>0
方程
ax2+bx+c=0 的根
有两个不等实 根 x1,x2(x1<x2)
ax2+bx的+c解>0集（a>0）{x|x<x1或x>x2}
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
{x|x1<x<x2}
⊿=0 有两个 相等实 根x1=x2
高考见真章
（2014 课标卷理 2）设集合M={x∣x2-3x-4<0} ，N={x∣0≤x<5} ，则M∩N=（B ）.
A． (0,4] B． [0,4) C．[-1,0) D．(-1,0]
（2015 课标卷理 1）已知集合A={-2，-1,0,1,2} ，B={x∣（x-1）（x+2）<0} ，则
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
感谢各位聆听
The best preparation for tomorrow is doing your best today.
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
随堂检测
(1) (x-1)(x-3)>0的解集是 {x∣x<1或x>3}.
(2) x2-3x+4≥0的解集是
R
.
(3) (x-1)(2-x) ≥0的解集是 {x∣1≤ x≤ 2 } .
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
y=ax2+bx+c(a>0) 的图象
y
x1 x2
y
x
x1(x2) x
y x
⊿=b2-4ac
⊿>0
方程
ax2+bx+c=0 的根
有两个不等实 根 x1,x2(x1<x2)
ax2+bx的+c解>0集（a>0）{x|x<x1或x>x2}
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
{x|x1<x<x2}
⊿=0 有两个 相等实 根x1=x2
高考见真章
（2014 课标卷理 2）设集合M={x∣x2-3x-4<0} ，N={x∣0≤x<5} ，则M∩N=（B ）.
A． (0,4] B． [0,4) C．[-1,0) D．(-1,0]
（2015 课标卷理 1）已知集合A={-2，-1,0,1,2} ，B={x∣（x-1）（x+2）<0} ，则
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
感谢各位聆听
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2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)课件(人教版)
(2)x2-4x+4≤0;
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
第21章 二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
人教高中数学必修一A版《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件
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典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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方法指导
含参一元二次不等式的解法
➢ 判定二次项系数是否为零，分别讨论； ➢ 在二次项系数不为零的条件下，讨论判别式与0的关系； ➢ 在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出对应二次方程的根； ➢ 比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集； ➢ 综上所述，按照参数的范围分别写出解集．
学习目标
➢ 掌握一元二次不等式在实际应用问题中的应用； ➢ 初步掌握解决实际问题的一般步骤.
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典例精讲
题型 一元二次不等式的实际应用
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典例精讲
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典例精讲
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变式训练
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方法指导
一元二次不等式实际应用解题的方法： ➢ 选取合适的字母设题中的未知量； ➢ 由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； ➢ 求解所列出的不等式（组）； ➢ 结合题目的实际意义下结论.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第3课时
学习目标 典例精讲 课堂小结 随堂检测
学习目标
➢ 会解含参一元二次不等式.（重难点）
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题型1 含参一元二次不等式的解集
角度1 参数影响对应方程根的大小
典例精讲
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典例精讲
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典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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课堂小结
➢一个题型
一元二次不等式实际应用题 注意实际问题的具体范围
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随堂检测
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随堂检测
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典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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方法指导
含参一元二次不等式的解法
➢ 判定二次项系数是否为零，分别讨论； ➢ 在二次项系数不为零的条件下，讨论判别式与0的关系； ➢ 在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出对应二次方程的根； ➢ 比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集； ➢ 综上所述，按照参数的范围分别写出解集．
学习目标
➢ 掌握一元二次不等式在实际应用问题中的应用； ➢ 初步掌握解决实际问题的一般步骤.
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典例精讲
题型 一元二次不等式的实际应用
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典例精讲
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典例精讲
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变式训练
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方法指导
一元二次不等式实际应用解题的方法： ➢ 选取合适的字母设题中的未知量； ➢ 由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； ➢ 求解所列出的不等式（组）； ➢ 结合题目的实际意义下结论.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第3课时
学习目标 典例精讲 课堂小结 随堂检测
学习目标
➢ 会解含参一元二次不等式.（重难点）
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题型1 含参一元二次不等式的解集
角度1 参数影响对应方程根的大小
典例精讲
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典例精讲
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典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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课堂小结
➢一个题型
一元二次不等式实际应用题 注意实际问题的具体范围
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随堂检测
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随堂检测
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人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
高中数学人教A版必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式课件
1 3 1 3
2 a
b a
，解得
a b
12 2
，
所以 2x2 bx a 0 可化为 x2 x 6 0 ，即 (x 3)(x 2) 0 ，解得 2 x 3 ，
所以不等式 2x2 bx a 0 的解集为{x | 2 x 3} .
11.国家原计划以 2000 元/吨的价格收购某种农产品 m 吨.按规定，农户向国家纳税为： 每收入 100 元纳税 8 元（称作税率为 8 个百分点，即 8%）.为了减轻农民负担，制定 积极的收购政策.根据市场规律，税率降低 x 个百分点，收购量能增加 2x 个百分点. 试确定 x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的 54%.
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
教学目标
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性 及实数根的个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元 二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、 方程的联系.
ax2
bx
c
0
的两根，
2
2
3 3
c
b a
，则
b c
a 6a
，
a
则 a b c 6a 0 ，故 C 错误；
不等式 bx c 0 即 ax 6a 0 ，即 x 6 0 ，解得 x 6 ，故 B 正确；
不等式 cx2
bx
a
0
即 6ax2
ax
a
0
，即 6x2
x
1 0
，解得 x
a
|
2
a
6 5
二次函数与一元二次方程、不等式的关系课件
二次函数与一元二次方程、不 等式的关系课件
二次函数的定义和图像
二次函数是一个以二次项为最高项的函数，其图像通常呈现开口朝上或开口朝下的抛物线形状。 通过改变二次函数的系数，我们可以调整抛物线的形状、位置和方向。
一元二次方程的定义和解法
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知系数。 我们可以使用求根公式或配方法等方法来解一元二次方程。 解方程的解即为满足方程的x值，可以通过代入验证解是否正确。
将一元二次方程转化为二次函数图像
将一元二次方程转化为二次函数图像可以帮助我们更直观地理解方程的解和图像的关系。 通过绘制二次函数的图像，我们可以找到方程的解、顶点和轴。
一元二次不等式的定义和解法
一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式。 我们可以使用二次函数的图像来解一元二次不等式。 解不等式的解集是满足不等式的所有x值的集合。
将一元二次不等式转化为二次 函数图像
将一元二次不等式转化为二次函数图像可以帮助我们更直观地理解不等式的 解和图像的关系。
通过绘制二次函数的图像，我们可以找到不等式的解集、顶点和轴。
比较二次函数、一元二次方程 和一元二次不等式的关系
二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间存在密切的关系，它们互相 影响并可以转换为彼此。
二次函数图像可以帮助我们更好地理解一元二次方程和一元二次不等式的解 和性质。
应用举例和练习题
通过实际应用举例和练习题，我们可以加深对二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的理解。 掌握解法和应用技巧，能够更有效地解决与二次函数和方程相关的数学问题。
二次函数的定义和图像
二次函数是一个以二次项为最高项的函数，其图像通常呈现开口朝上或开口朝下的抛物线形状。 通过改变二次函数的系数，我们可以调整抛物线的形状、位置和方向。
一元二次方程的定义和解法
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知系数。 我们可以使用求根公式或配方法等方法来解一元二次方程。 解方程的解即为满足方程的x值，可以通过代入验证解是否正确。
将一元二次方程转化为二次函数图像
将一元二次方程转化为二次函数图像可以帮助我们更直观地理解方程的解和图像的关系。 通过绘制二次函数的图像，我们可以找到方程的解、顶点和轴。
一元二次不等式的定义和解法
一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式。 我们可以使用二次函数的图像来解一元二次不等式。 解不等式的解集是满足不等式的所有x值的集合。
将一元二次不等式转化为二次 函数图像
将一元二次不等式转化为二次函数图像可以帮助我们更直观地理解不等式的 解和图像的关系。
通过绘制二次函数的图像，我们可以找到不等式的解集、顶点和轴。
比较二次函数、一元二次方程 和一元二次不等式的关系
二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间存在密切的关系，它们互相 影响并可以转换为彼此。
二次函数图像可以帮助我们更好地理解一元二次方程和一元二次不等式的解 和性质。
应用举例和练习题
通过实际应用举例和练习题，我们可以加深对二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的理解。 掌握解法和应用技巧，能够更有效地解决与二次函数和方程相关的数学问题。
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(共49张PPT)
(
)
A．a＝6，c＝1
B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1
D．a＝－1，c＝－6
解析：选 B.由题意知，方程 ax2＋5x＋c＝0 的两根为 x1＝13，x2＝12，由根与 系数的关系得 x1＋x2＝13＋12＝－5a，x1x2＝13×12＝ac，解得 a＝－6，c＝－1.
4．不等式(2x－5)(x＋3)<0 的解集为________． 答案：x－3<x<25
解不等式应用题的步骤
1．若产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y＝3 000＋20x
－0.1x2(0<x<240)，每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本(销售收入不
小于总成本)时的最低产量是
()
A．100 台
B．120 台
C．150 台
D．180 台
解析：选 C.由题意知 y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0， 即 x2＋50x－30 000≥0， 解得 x≥150 或 x≤－200(舍去)．
6x＋10＝0 无实根，又二次函数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上，所以原不 等式的解集为∅.
解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的 乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解 集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平 方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法， 即判别式法．
含参一元二次不a(a－1)>0，(a∈R)． 解：因为关于 x 的不等式 x2＋x－a(a－1)>0， 所以(x＋a)(x＋1－a)>0， 当－a>a－1， 即 a<12时，x<a－1 或 x>－a， 当 a－1>－a，
《二次函数与一元二次方程》课件
(－1，0)，(－5，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＋c=
x1＝－1，x2＝－5
0的根为_________________．
2.抛物线y＝x2＋2x－3与y轴的交点坐标是_________，
(0，－3)
(1，0) (－3，0)
与x轴的交点坐标是________________.
3．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如下图所示，则
1.在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；
2.观察图象，确定抛物线与 x 轴的公共点的坐标；
3.公共点的横坐标就是对应的一元二次方程的解.
当函数图象与 x 轴有两个公共点，且公共点的横坐标不
是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次
方程的解：
①观察函数图象与 x 轴的一个公共点的横坐标在哪两个
连续整数之间，从而确定这个公共点的横坐标的取值范
围.
②由①可确定方程 ax2+bx+c=0 的一个根在整数 m 和 n
(m<n)之间，再通过取平均数的方法不断缩小根所在的
范围，直到得出的根满足题目要求为止，具体过程如
下：取 m 和 n
+
的平均数
，计算出当
2
=
+
时的
2
函数值y2，将y2与自变量分别为 m 和 n 时的函数值ym，
量x的值时，二次函数问题就转化了一元二
次方程问题.
y=ax2+bx+c(a≠0)0
令y=m
m=ax2+bx+c(a≠0)0
二次函数
转化
思想
一元二次方程
新知探究
知识点1
y=ax2+bx+c(a≠0)0
x1＝－1，x2＝－5
0的根为_________________．
2.抛物线y＝x2＋2x－3与y轴的交点坐标是_________，
(0，－3)
(1，0) (－3，0)
与x轴的交点坐标是________________.
3．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如下图所示，则
1.在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；
2.观察图象，确定抛物线与 x 轴的公共点的坐标；
3.公共点的横坐标就是对应的一元二次方程的解.
当函数图象与 x 轴有两个公共点，且公共点的横坐标不
是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次
方程的解：
①观察函数图象与 x 轴的一个公共点的横坐标在哪两个
连续整数之间，从而确定这个公共点的横坐标的取值范
围.
②由①可确定方程 ax2+bx+c=0 的一个根在整数 m 和 n
(m<n)之间，再通过取平均数的方法不断缩小根所在的
范围，直到得出的根满足题目要求为止，具体过程如
下：取 m 和 n
+
的平均数
，计算出当
2
=
+
时的
2
函数值y2，将y2与自变量分别为 m 和 n 时的函数值ym，
量x的值时，二次函数问题就转化了一元二
次方程问题.
y=ax2+bx+c(a≠0)0
令y=m
m=ax2+bx+c(a≠0)0
二次函数
转化
思想
一元二次方程
新知探究
知识点1
y=ax2+bx+c(a≠0)0
(用)二次函数与一元二次方程、不等式的关系课件-新版.ppt
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次函数 y=ax2+bx+c之间的互相转化的关系。体现了数 形结合的思想。
探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
根据 y x2 2x 3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y＜0？
y
• 当 x 取何值时，y＞0？
• 能否用含有x的不等式来 描述两个问题？
§21.3 二次函数与一元 二次方程、不等式的关系
温故知新
？
（1）、一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交 点为（2，0）；与 y 轴的交点为 （0，6） 。 （2）、一元一次方程－3x＋6＝0的根为__X__=_2___
y
你能说说 （1）与 （2）之间 的联系吗？
6
o2 x
方法与规律： 一次函数y＝kx＋b的图象与
-4
-5
九、如何求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y
x1
x2 x
0
y
O
x1
x2 x
当x=x1或x=x2时,y=0 当x<x1或x>x2时,y<0 当x1<x<x2时,y>0
x轴的交点的横坐标就是一元一次方程
kx＋b＝0的根
探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。
y 解：∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0
x1 OA
x2 B
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
根据 y x2 2x 3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y＜0？
y
• 当 x 取何值时，y＞0？
• 能否用含有x的不等式来 描述两个问题？
§21.3 二次函数与一元 二次方程、不等式的关系
温故知新
？
（1）、一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交 点为（2，0）；与 y 轴的交点为 （0，6） 。 （2）、一元一次方程－3x＋6＝0的根为__X__=_2___
y
你能说说 （1）与 （2）之间 的联系吗？
6
o2 x
方法与规律： 一次函数y＝kx＋b的图象与
-4
-5
九、如何求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y
x1
x2 x
0
y
O
x1
x2 x
当x=x1或x=x2时,y=0 当x<x1或x>x2时,y<0 当x1<x<x2时,y>0
x轴的交点的横坐标就是一元一次方程
kx＋b＝0的根
探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。
y 解：∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0
x1 OA
x2 B
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
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解的范围是 （ C ）
Ａ、3＜x＜3.23
Ｂ、3.23＜x＜3.24
Ｃ、3.24＜x＜3.25
Ｄ、3.25＜x＜3.26
二、基础训练
4、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则
a
；若抛物线与x轴有两个交点，则
a
；若抛物线与坐标轴有两个公共点，
则a
；
5、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴至少有一个
可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x 轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题。
在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函 数图象解方程。
三、课后习题
已知二次函数y=x2-kx+k-2.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x2-kx+k-2与x轴有两个不同的交点。 (2)如果二次函数y=x2-kx+k-2与轴两个交点为 A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6 时,求S△ABC .
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物 线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是
x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交
点坐标分别是A（ y
x1，0），
B（x2，0）
x1 x2 OA B
解：△= 3628k
∵ 3628k＞0
∴k的取值为 kf 9 7
解：
x 1 2 x 2 2 (x 1 x 2 )2 2 x 1 x 2 5 0 ,
(6)2 2(7)50,
k
k
解之得：k1 1
k的取值为 k
f
9 7
k2
18 25
18
∴ k1 1 k2 25
要点小结
一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值， 也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。
x x
x1 ＝ x2
x1 =x2 没有实数根 ＝－b/2a
x<或x>x2
x≠ x1的一切 实数
所有实数
x1<x<x2
无解
无解
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: y
<1>①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0.
-1
0
2
X
y= -x2+x+2
<2>①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0.
交点，则a的范围是
。
6、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 （-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
三、拓展应用
练习1. 已知二次函数y=（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 （D ）
A、k＜4
B、k≤4
C、k＜4且k≠3 D、k≤4且k≠3
练习2.关于x的二次函数 y=(k-1)x2-3x-1 的图像全部位于x轴的下方，则k的取值范围 是k＜-5/4 ； 知识小结：
x
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？
Y b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
O
X
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
有两个交点 方程有两个不相等 b2-4ac > 0
的实数根
y .o . x
(1)抛物线 y=ax2+bx+c 全部在x轴上方的 条件：a_＞_0,b2-4ac_＜_0 ；
(2)全部在x轴下方的条件：
a_＜_0,b2-4ac＜__0
能力提升
.已知二次函数 ykx26x7的图像与X轴有
两个不同的交点. （1） 求k的取值范围 （2） 当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等 于50.
__-_2_<_X_<_4__;
(-2,2)
2
-1 O
(4,2)
3
x
联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判 别式解决，那么二次函数与一次函数的交 点个数又该怎么解决呢？
例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝ x＋2有交点吗？有几个？
分析：两个函数的交点是这两个函数的公共 解，先列出方程组，消去y后，再利用判别 式判断即可.
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次函数 y=ax2+bx+c之间的互相转化的关系。体现了数 形结合的思想。
探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
答案: 方程x2 6x90的解是x1 x2 3. 方程x2 x30无实数根.
二、基础训练
1、已知抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上，
则b=
±8。
2、若二次函数y=（m-8）x2+2x+m2-64的图
象过原点，则m= -8
。
3、根据下列表格的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a、b、c为常数）一个
根据 yx2 2x3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y＜0？
y
• 当 x 取何值时，y＞0？
• 能否用含有x的不等式来 描述两个问题？
x y＝x2－2x－3
例题精讲
3.已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图；
(1)方程-x2+3x+4=0的解
y
是_x_=-1,x_=_4_
4
(2)不等式-x2+3x+4>0的解集 3 2
6
o2 x
方法与规律： 一次函数y＝kx＋b的图象与
x轴的交点的横坐标就是一元一次方程
kx＋b＝0的根
探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。
y 解：∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0
x1 OA
x2 B
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
是__-1<x<4__
1
-2
(3)不等式-x2+3x+4<0的解集
-1
o -1
-2
1
2 34
5
x
-3
是_ X<-1或x>_4_
-4
-5
九、如何求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y
x1
x2 x
0
y
O
x1
x2 x
当x=x1或x=x2时,y=0 当x<x1或x>x2时,y<0 当x1<x<x2时,y>0
当x=x1或x=x2时,y=0 当x1<x<x2时,y<0 当x<x1或x>x2时,y>0
1、如图求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y
O
-2
1x
2、、若x为任意实数，则二次函数 y=x2+2x+3的函数值y的取值范围
是 y≥2。
⊿>0
y
⊿＝0
y
⊿＜ y0
X1 0 X2 x
O X1= X2 x O
y
只有一个交点 方程有两个相等 b2-4ac = 0
的实数根
o
x
y
没有交点 方程没有实数根 b2-4ac < 0
o
x
简单运用
观 察 下 列 图 象 ， 分 别 说 出 一 元 二 次 方 程 x 2 6 x 9 0 ,
x 2 x 3 0 的 根 的 情 况 。
y=x2 6x9
y=x2 x3
§21.3 二次函数与一元 二次方程、不等式的关系
用数学视觉观察世界 用数学思维思考世界
温故知新
？
（1）、一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交 点为（2，0）；与 y 轴的交点为 （0，6） 。 （2）、一元一次方程－3x＋6＝0的根为__X__=_2___
y
你能说说 （1）与 （2）之间 的联系吗？
<3>①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; ③-x2+x-2<0.
y
y
O2
x
0
X
拓广：
• 函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么
1）方程ax2+bx+c=2的根是 _X_1_=_-_2_; _X_2_=_4;
2）不等式ax2+bx+c>2的解集是
_X_<_-_2_;_X_>_4_;
y
3）不等式ax2+bx+c<2的解集是