概率论第3章

(3)求条件概率：
1 1 3 1 P{Y | X }, P{Y | X } 4 2 4 2
18
第3章 多维随机变量及其分布
习题13
解：已知联合概率密度为
cx y, x y 1 f ( x, y ) 其他 0,
2 2
边缘概率密度分别为
1 2 4 cx ( 1 x ), f X ( x) 2 0, 1 x 1 其他
Y
0 1
X
0 0 0
1 0 6/35
2 3/35 12/35
3 2/35 2/35
P{Y=n}
5/35 20/35
2
P{X=m}
1/35
1/35
6/35
12/35
3/35
18/35
0
4/35
10/35
1
2
第3章 多维随机变量及其分布
2(2) 在(1)中求P{X＞Y},P{Y=2X},P{X+Y=3},P{X＜3-Y}. Y 0 1 X
3
1
3

1.5

dx dyf ( x, y )

2
27 27 dx dyf ( x, y ) k 2 4 32
4
(4)
4 2 0
P{ X Y 4} dx
0
4 x
2
16 2 dy f ( x, y ) k 3 3
4
2
4
X
第3章 多维随机变量及其分布
10
第3章 多维随机变量及其分布
习题6
联合分布律表(含边缘分布)
X 0 1/8 1/8 0 0 1 0 1/4 1/4 0 2 0 0 1/8 1/8 P{Y=j} 1/8 3/8 3/8 1/8
Y
0 1 2 3
P{X=i}
1/4
1/2
1/4
1
11
第3章 多维随机变量及其分布 8. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
P{ X n, Y m} m m Cn p (1 p)n m , P{ X n}
p 0.51
则
m m P{Y m | X 20} C20 p (1 p)20m , p 0.51
17
第3章 多维随机变量及其分布
习题13
13. 在第9题中
(1)求条件概率密度 f X |Y ( x | y)，特别，写出Y=1/2时X 的条件概率密度。 (2)求条件概率密度 fY | X ( y | x) ，特别，分别写出当 X=1/3, X=1/2时的Y的条件概率密度。
14 n e14 n! e 14 (7.14) m (6.86) n m n! m 0 n ! m !( n m)! n
15
第3章 多维随机变量及其分布
11(2)求条件分布律 已知联合分布律：
习题11
e14 (7.14)m (6.86)nm e1414n m m P{ X n, Y m} Cn p (1 p)nm m!(n m)! n!
e1414n 边缘分布律： P{ X n} n!
根据条件分布律的计算式可得：
7.14 m e (7.14) ， P{Y m} m!
(泊松分布)
P{ X n, Y m} e6.86 (6.86)nm P{ X n | Y m} P{Y m} (n m) !
0 y
12
第3章 多维随机变量及其分布
习题9
9. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
cx2 y, x 2 y 1 f ( x, y ) 其他 0,
(1) 确定常数c; (2) 求边缘概率密度.

(1) 解：根据概率密度的归一性要求可得
4c 21 c 1 dx dyf ( x, y ) dx 2 dycx y 1 x 4 21
概率论与数理统计
作业习题解答
教材：盛骤 等《概率论与数理统计》 第4版. 高等教育出版社, 2008
第3章 多维随机变量及其分布
习题2(1)
2(1)盒子里装有3只黑球、2只白球、2只红球，在其中任取4只球。以X表示取 到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数。求X,Y的联合分布律。
解： 联合分布律为
n 4 m n C3mC2 C2 P{ X m, Y n} , m 0,1, 2,3; n 0,1, 2 4 C7
1 1 2
13
第3章 多维随机变量及其分布
习题9(2)
(2) 解：根据边缘概率密度的定义可得
f X ( x)

1 2 2 1 4 cx x2 ydy cx (1 x ), f ( x, y ) dy 2 0,
1 x 1 其他
y 2 5/ 2 2 cy y x dx cy , 0 y 1 f Y ( y) f ( x, y)dx 3 其他 0,
e y , 0 x y f ( x, y ) 0, 其他
习题8
求边缘概率密度. 解： f X ( x) f ( x, y)dy x e y dy e x , x 0
fY ( y) f ( x, y)dx e y dx ye y , y 0
81y 2y ， 1 4 40 fY | X ( y | x ) 1 (1 / 3) 3 0,
求边缘分布函数. 解：根据二维连续型随机变量边缘分布函数的定义式
1 e x , x 0 FX ( x) F ( x, y ) 其他 0,
1 e y , y 0 FY ( y ) F ( x , y ) 其他 0,
9
第3章 多维随机变量及其分布
12 e 1x2 y , x 0, y 0 f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) 其他 0,
7
第3章 多维随机ห้องสมุดไป่ตู้量及其分布
习题4(2)
y 1x2 y
所求概率计算如下：
P{X Y } f ( x, y)dxdy dy dx12e
P{ X n, Y m} m m P{Y m | X n} Cn p (1 p)n m P{ X n} p 7.14 /14 0.51
16
第3章 多维随机变量及其分布
11(3)特别，写出当X=20时，Y的条件分布律 解：已经求得条件分布律
习题11
P{Y m | X n}
习题2(2)
3
2/35 2/35
0
0 0
1
0 6/35
2
3/35 12/35
P{Y=n}
5/35 20/35
2
P{X=m}
1/35
1/35
6/35
12/35
3/35
18/35
0
4/35
10/35
1
解：观察分布律表： P{X ＞Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}+…+P{X=3,Y=2}=19/35 P{Y=2X}=P{X=1,Y=2}=6/35 P{X+Y=3}=P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=1}+P{X=3,Y=0}=20/35
0 0

y
dy dxf X ( x ) f Y ( y ) 0 0
y
因为X是非负的， 故其分布函数为
FX ( x) f X (t )dt
0 x
dyFX ( y) fY ( y)
0

dxFX ( x) f Y ( x)
0

得证。
6
第3章 多维随机变量及其分布
14
第3章 多维随机变量及其分布
e14 (7.14)m (6.86)nm P{ X n, Y m} , m!(n m)!
习题11
m 0,1, 2, , n; n 0,1, 2,
11. 以X记某医院一天出生的婴儿的个数，Y记其中男婴的个数，设X,Y的 联合分布律为
(1)求边缘分布律； (2)求条件分布律； (3)特别，写出当X=20时，Y的条件分布律 解：(1)根据边缘分布律的计算式
2 4
(1)

0
dx dyf ( x, y) 1 8k 1 k 1/ 8
2
(2) P{ X 1, Y 3} (3) P{ X 1.5}
Y

1

dx dyf ( x, y) dx dyf ( x, y) 3k 3 / 8
0 2
1.5 0
P{X＜3-Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+…+P{X=2,Y=0}=10/35
3
第3章 多维随机变量及其分布
3. 设随机变量(X,Y)的概率密度为
习题3
k (6 x y ), 0 x 2, 2 y 4, f ( x, y ) 其他 0,
(2)求P{X＜1,Y＜3}； (3)求P{X＜1.5}； (4)求P{X+Y≤4} (1)确定常数k； 解：根据概率密度的性质和含义
G 0 0

1 2
1
Y G
y=x
O
X
x 0, y 0 G: y x
8
第3章 多维随机变量及其分布
5. 设随机变量(X,Y)具有分布函数
习题5
1 e x e y e x y , x 0, y 0, F ( x, y) 其他 0,
2 5/ 2 cy , 0 y 1 fY ( y ) 3 其他 0,
19
第3章 多维随机变量及其分布
习题13
(1)
cx2 y 3 2 3 / 2 2 x y ，x y 1 f ( x, y ) 2 5 / 2 2 f X |Y ( x | y ) cy fY ( y ) 3 其他 0,
1 3 2 1 3 / 2 2 2 3 2 x ，x 1 x ( ) f X |Y ( x | y ) 2 2 2 2 其他 0,
20
第3章 多维随机变量及其分布
习题13
(2)
cx2 y 2y 2 ， x y 1 4 f ( x, y ) 1 2 f Y | X ( y | x) cx (1 x 4 ) 1 x f X ( x) 2 其他 0,
习题4(2)
4. 设X, Y都是非负的连续型随机变量，它们相互独 立. (2) 设X,Y相互独立，其概率密度分别为
1e 1x , x 0 f X ( x) 其他 0,
2e 2 y , y 0 fY ( y) 其他 0,
求P{X<Y}.
(2) 解：联合概率密度为

nm
e14 (7.14) m (6.86) n m P{Y m} P{ X n, Y m} m !(n m)! nm nm

e14 (7.14) m 6.86 e7.14 (7.14) m e m! m! n n e14 (7.14) m (6.86) n m P{ X n} P{ X n, Y m} m !(n m)! m0 m0
习题6
6. 将一枚硬币掷3次，以X表示前2次中出现的H的 次数，以Y表示3次中H出现的次数。求X,Y的联合 分布律以及(X, Y)的边缘分布律。 解：根据乘法定理
P{X i, Y j} P{Y j | X i}P{X i}
0, j i or j i 2 1 i 1 i 1 2 i C2 ( ) (1 ) , i 0,1,2; j i or i 1 2 2 2
Y
y=x
所求概率计算如下：
P{ X Y } f ( x, y ) dxdy
G
G
O
x 0, y 0 G: y x
X
5
第3章 多维随机变量及其分布
P{ X Y } f ( x, y ) dxdy
G
习题4(1)
dy dxfX ( x) fY ( y)
习题4(1)
4. 设X, Y都是非负的连续型随机变量，它们相互独 立. (1) 证明 P{X Y } 0FX ( x) fY ( x)dx 其中FX(x)是X的分布函数，fY(y)是Y的概率密度. (1) 证：因为相互独立，故联合概率密度为

f ( x, y) f X ( x) fY ( y)