第四章 偏微分方程的有限差分法

稳定性：
误差在运算过程中不会失控，即累计误差不 会无限增加。
4.1 有限差分法原理
计
从物理上讲，描述物理问题的微分方程仅
算 适用于描述在一个连续体或物理场的内部发生
物 的物理过程，仅靠这些微分方程不足以确定物
理 学
理过程的具体特征。
从数学上讲，没有限制的微分方程会有 无穷多个解，不能构成一个定解问题。
4.1 有限差分法原理
1 第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
计
算
u u0 (r,t)
物 理
热传导问题：边界Г上温度分布已知
学 2 第二类边界条件（诺依曼Neumann）
u n q0 (r ,t)
u u n u i n u j n
n
x
y
n表示Γ的外法线 q0定义在Γ上的已知函数
2h 2
dx 2!
d2 f dx2
2h 3
3!
d3 f dx3
(2)
二阶向后差商: 式(2)-式(1)X2
2 f x2
f (x) 2 f (x h) h2
f (x 2h)
4.1 有限差分法原理
计 2 f f (x 2h) 2 f (x h) f (x)
算 物
x2
h2
理
学
f (x h)
f (x) h df dx
h2 d 2 f 2! dx2
h3 3!
d3 f dx3
一阶向前差商：
2 f x2
d2 f dx2
f f (x 2h) 4 f (x h) 3 f (x)
x
2h
4.1 有限差分法原理
计
2 f f (x) 2 f (x h) f (x 2h)
算 x2
微分方程变为一组相应的差分方程，进一步可
以求解离散节点上的函数值。
4.1 有限差分法原理
差商公式的构造
计
算
利用泰勒级数展开定义差商
物 理 学
df h2 d 2 f h3 d 3 f
f (x h)
f (x) h dx
2!
dx2
3!
dx3
f (x h)
f
(x)
h
df dx
h2 2!
d2 f dx2
热传导问题：通过边界Г单位面积上的热流量已知
4.1 有限差分法原理
计 算
由热力学傅立叶定律得 ：
物 单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于
理 该界面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传
学 递的方向则与温度升高的方向相反。
热流量 ：
Q kS u
t
n
K: 热传导系数
h2
物
理 学
f (x h)
f
(x)
h
df dx
h2 2!
d2 f dx2
h3 3!
d3 f dx3
一阶向后差商：
2 f x2
d2 f dx2
f f (x 2h) 4 f (x h) 3 f (x)
x
2h
4.1 有限差分法原理
计 算
f (x h)
f
(x)
h
df dx
h2 2!
d2 f dx2
算
dx 2! dx2 3! dx3
物 理 学
f (x h)
f
(x)
h
df dx
h2 2!
d2 f dx2
h3 3!
d3 f dx3
二阶中心差商：
2 f f (x h) 2 f (x) f (x h)
x2
h2
o
4.1 有限差分法原理
差分格式的收敛性和稳定性
计
算 物
收敛性：
理 学
当步长h−→0时，差分方程的解趋向于微分方 程的解。
t
2t
cu au f
上式中a,c,f以及未知函数u为定义在求解区域上的实（复）函数
4.1 有限差分法原理
有限差分解法
计
算 差分近似代替微分，差商近似代替微商
物
理 学
f x
df dx
2
f
d2 f
数学基础 泰勒（Taylor）展开
x2
dx2
这样就把求解区域内连续分布函数离散化成
求网络节点上的分立函数值，从而把所需求解的
f (x) f (x h)
x
h
4.1 有限差分法原理
计 误差为O(h2)差商公式：
算 物 理
f (x h)
df h2 d 2 f f (x) h dx 2! dx2
h3 d 3 f 3! dx3
(1)
学
f (x 2h)
f (x) 2h df
2h2
dx 2!
d2 f dx2
2h 3
因此，要想解决实际的物理问题，必须
知道一个连续体或物理场的初始状态和边界 受到的外界影响。
4.1 有限差分法原理
计Hale Waihona Puke Baidu偏微分方程的定解条件
算
物 初始条件：与时间相联系
理
学
u t 0
f1(x, y, z)
u t t0 f2 (x, y, z)
边界条件：边界受到外界的影响
常见的物理问题可以归结为三大类边界条件
算
df h2 d 2 f h3 d 3 f
物 理
f (x h)
f (x) h dx
2!
dx2
3!
dx3
学
f (x h) f (x) h df h2 d 2 f h3 d 3 f
dx 2! dx2 3! dx3
一阶向前差商： f f (x h) f (x)
x
h
f
一阶向后差商：
3!
d3 f dx3
(2)
二阶向前差商：式(2)-式(1)X2
2 f x2
f (x 2h) 2 f (x h) h2
f (x)
4.1 有限差分法原理
计 算
f (x h)
f
(x)
h
df dx
h2 2!
d2 f dx2
h3 3!
d3 f dx3
(1)
物 理 学
f (x 2h)
f (x) 2h df
h3 d 3 f 3! dx3
物
理 学
f (x h)
f
(x)
h
df dx
h2 2!
d2 f dx2
h3 3!
d3 f dx3
一阶中心差商：
f f (x h) f (x h)
x o
2h
4.1 有限差分法原理
计 f (x h) f (x) h df h2 d 2 f h3 d 3 f
计
算 第四章 偏微分方程的有限差分法
物
理
学
4.1 有限差分法原理
4.2 热传导方程的差分解法
4.3 波动方程的差分解法
4.1 有限差分法原理
计 算
物理学中许多物理规律都用偏微分方程描述， 偏微分方程主要分为以下三类：
物
理
抛物线形
双曲型
椭圆形
学
不可逆过程
可逆过程
平衡过程
热传导方程
波动方程
位势方程
d u cu au f d 2u cu au f
h3 d 3 f 3! dx3
df 2h2 d 2 f 2h3 d 3 f
f (x 2h) f (x) 2h dx
2!
dx2
3!
dx3
f (x 2h)
f (x) 2h df dx
2h2
2!
d2 f dx2
2h 3
3!
d3 f dx3
4.1 有限差分法原理
计 误差为O(h)差商公式：