数字信号处理教程 程佩青 课后题答案

第一章 离散时间信号与系统
2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2
（4）
3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n
，通过直接计算卷积和的办法，试确定
单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。

4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：
)
6
()( )( )n 313
si n()( )()8
73cos(
)( )(πππ
π-==-=n j e n x c A n x b n A n x a
分析：
序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，
n
m
m m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 3
1 2 5 . 0 ) ( 0
1
当 3 4
n m n
m m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1
⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 a
a a n y n a a a
n y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m n
n
m m
n -=
=
->-=
=
-≤=<<--==∑∑--∞
=---∞=--1)(11)(1)
(*)()(1
0,)1()()()(:1
时当时当解
①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；
②；
为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P Q
P =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。

解：（1）014
2/3
πω=，周期为14 （2）06
2/13
πω=
，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）
[][]12121212()()()
()()()[()()]()()()()[()][()]
T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+
所以是线性的
T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的
y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。

（x 括号内表达式满足小于等于y 括号内表达式，系统是因果的）
│y(n)│=│g(n)x(n)│<=│g(n)││x(n)│x(n)有界，只有在g(n)有界时，y(n)有界，系统才稳定，否则系统不稳定 （3）T[x(n)]=x(n-n0)
线性，移不变，n-n0<=n 即n0>=0时系统是因果的，稳定 （5）线性，移变，因果，非稳定 （7）线性，移不变，非因果，稳定 （8）线性，移变，非因果，稳定 8.
不稳定。

是因果的。

时当解：∴∞⇒++=
∴=<•••∑
∞
-∞
=,11
01|)(| ,0)( , 0 )1(
2
2n n h n h n
稳定。

！！！是因果的。

时，当∴=+++++<++++=+
++=∴=<••••
•••
••∑∞
-∞
=3
8
1
4121111*2*31
1*211121
1101|)(| ,0)(0 )2(n n h n h n 不稳定。

是因果的。

时，当∴∞
⇒+++=∴=<•••∑∞
-∞
=2
10
333
|)(| ,0)(0 )3(n n h n h n
稳定。

是非因果的。

时，当∴=
+++=∴≠<•••--∞
-∞
=∑
2
3333|)(|,0)(0)4(210n n h n h n 系统是稳定的。

系统是因果的。

时，当∴=
+++=∴=<•••∑
∞
-∞
=7103.03.03.0|)(|,0)(0 )5(2
10n n h n h n
系统不稳定。

系统是非因果的。

时，当∴∞
⇒++=∴≠<•••--∞
-∞
=∑
213.03.0|)(|0)(0 )6(n n h n h n
系统稳定。

系统是非因果的。

时，当∴=∴≠<∑∞
-∞=1
|)(|0)(0 )7(n n h n h n
第二章 Z 变换
1． 求以下序列的z 变换，并画出零极点图和收敛域。

（7）
分析：
Z 变换定义
∑∞
-∞
=-=
=n n
z
n x z X n x Z )()()]([，n 的取值是)(n x 的有值范围。

Z 变换的收敛域是满足∞
<=∑∞
-∞
=-M z
n x n n
)(的z 值范围。

解：(1) 由Z 变换的定义可知：
∞
====<<<<z z a
z a z a
z a z a az ,0 1
, 1
1,1 零点为：极点为：即：且
收敛域：
解：(2) 由z 变换的定义可知：
n n n z n u z X -∞
-∞=∑=)()2
1
()(
n
n n
z
a
z X -∞
-∞
=⋅=
∑)(n
n n n
n n z a z
a
-∞
=---∞
=-∑∑+=
1
n
n n n
n n z a z a -∞
=∞
=∑∑+=0
1)
)(1
()1()1)(1(1111212a z a
z a z a az az a z
a az az ---=
---=
-+-=-)
(21)()2(n u n x n
⎪⎭
⎫
⎝⎛=)
(21)()
2(n u n x n
⎪⎭
⎫
⎝⎛=)
1(21)()
3(--⎪⎭
⎫
⎝⎛-=n u n x n
)1(,1
)()
4(≥=n n
n x 为常数）
00(0,)
sin()()5(ωω≥=n n n n x 1
0,)
()cos()()
6(0<<+=r n u n Ar n x n Φω)1||()()
1(<=a a n x n
∑∞
=-=0)2
1(n n
n z
12
111
--=
z 2
1
1121
><⋅z z 即：收敛域：
0 2
1
==z z 零点为：极点为：
解:（3）
n
n n z n u z X -∞
-∞=∑---=)1()21()(∑--∞
=--=1
)21(n n n z
∑∞
=-=
1
2n n n z z
z
212--
=
12
111
--=
z 2
1 1
2 <<z z 即：收敛域：
0 2
1
==z z 零点为：极点为：
解： (4) ∑
-⋅∞
==1
1)(n n
z n z X
∑∞--=-=•
•
•11
)(1)(n n z n n dz z dX 2
1)(1
1z z z n n -=-=∑
∞
=-- ，1||>z )
1(21)()3(--⎪⎭
⎫
⎝⎛-=n u n x n
)1(,1
)()4(≥=
n n
n x。

的收敛域为故的收敛域相同，
的收敛域和因为1||)()
()(1ln
)1ln(ln )(>-=--=∴z z X dz
z dX z X z z z z z X ∞===z 1,0 零点为：
极点为：z z
解：(5) 设 )()sin()(0n u n n y ⋅=ω
则有 1||cos 21sin )()(2
010
1>+-=⋅=
----∞
-∞
=∑z z z z z
n y z Y n
n ，ωω 而 )()(n y n n x ⋅=
∴)()(z Y dz d
z z X ⋅-=1||,)cos 21(sin )1(2201021>+--=----z z z z z ωω
因此，收敛域为 ：1>z
∞
==-====-z z z z e z e z j j ,0,1,1 , 00零点为：（极点为二阶）极点为：ωω
解：(6)
1
,cos 21)cos(cos cos 21sin sin cos 21cos 1cos )( )()sin(sin )()cos(cos )
(]sin )sin(cos )[(cos( )
()cos()( 2
01
012
010
12
010100000>+---=
+-⋅-+--⋅=∴⋅⋅-⋅⋅=⋅-⋅=⋅+=---------z z
z z z z z z z z z Y n u n n u n n u n n n u n n y ωωφφωωφωωφωφωφφωφωφω设 []。

：的收敛域为则而的收敛域为则 || )( cos 21)cos(cos )()( )()( 1 )( 220101r z z X z r r z r z A r z
Y A z X n y Ar n x z z Y n >+---=⋅=∴⋅=>---ωωφφ
（7）Z[u(n)]=z/z-1
为常数）
00(0,sin )()5(ωω≥=n n n n x 1
0),()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n φω
Z[nu(n)]=2
-z
[]1(1)d z z
dz z z =
-- 2
2
23
Z[n u(n)]=-z [](1)(1)d z z z dz z z +=
--
零点为z=0,±j,极点为z=1
1
1211
123.,,()1111212 (1) (), z (2) (), z 11241144
111114 (3)(), z (4) (), z 8115311515
X z z z
z X z X z z z z z a X z X z az a z z --------
-=>=<----=>=<<
--+用长除法留数定理部分分式法求以下的反变换
分析：
长除法：对右边序列（包括因果序列）H （z ）的分子、分母都要按
z 的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H （z ）的分子、分 母都要按z 的升幂排列。

部分分式法：若X （z ）用z 的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分
式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z 反变换可得 x （n ）。

留数定理法：。

号（负号）”数时要取“用围线外极点留，号（负号）”必取“用围线内极点留数时不）（。

现的错误这是常出，相抵消）（来和不能用，消的形式才能相抵的表达式中也要化成因而注意留数表示是）（ 2 )1/(1 )/(1 )( )()()
)(( Re 1111
1-----=-==----k k k n k
n k k
n z z z z z z z z X z z z z X z z z z z z X s
（1）（i ）长除法：
1
21
2
111411211)(---+=
--
=z z z
z X
,2/1||,2/1>-=z z 而收敛域为：极点为
按降幂排列
分母要为因果序列，所以分子因而知)(n x
•
••-+---214
12
11z z
1
1
2
1112
11--++
z z
2
11
4
12121------
z z z
24
1-z
∑
∞
=---⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-+-
=•••02
121 4
1211)(n n
n
z
z z z X
所以：)(21)(n u n x n
⋅⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
（1）(ii)留数定理法：
⎰--+=c n dz z z j n x 11
2
111
21)(π, 设 c 为 2
1
>z 内的逆时针方向闭合曲线：
当0≥n 时，
n
n z z z z 211112111+=+--在c 内有 2
1
-=z 一个单极点
则0 ,2121Re )(2
1≥⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+=-=n z z s n x n n z
，是因果序列由于 )( n x
0)( 0 =<n x n 时，故
)(21)( n u n x n
⋅⎪⎭
⎫
⎝⎛-=所以
（1）(iii)部分分式法：
2
12111411211)(121
+=
+=--=---z z z z z z X
因为 2
1
>
z 所以 )(21)(n u n x n
⋅⎪⎭⎫
⎝⎛-=
（2）(i). 长除法：
41
,41<=z z 而收敛域为由于极点为 ,
因而 )(n x 是左边序列,所以要按z 的 升幂排列：
•••+++2112288z z
z
z z 8224
1
---
2
2877z
z z -
3
2
2
1122828z
z z -
∑∑--∞
=--∞
=⋅⋅+
=⋅⋅+=+++=•
••1
1
24
78 478 112288)(n n
n
n n
n z z z z z X
所以 )1(417)(8)(--⋅⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅+⋅=n u n n x n
δ
（2）(ii)留数定理法:
4
1
)( 21)(1，为设<=
⎰
-z c dz z z X j
n x c n π 内的逆时针方向闭合曲线 时：当 0 <n
1)(-n z z X 在c 外有一个单极点4
1
=
z
)
0( ,)4
1
(7 ])([Re )(4
11<⋅=-=∴=
-n z z X s n x n z n
时：当 0 =n
1)(-n z z X 在c 内有一个单极点0=z
∴0,8])([Re )(01====-n z z X s n x z n
，内无极点在时：当 )( 0 1c z z X n n ->
0,0)( >=n n x 则：
综上所述，有：
)1()4
1
(7)(8)(--+=n u n n x n δ
(2)(iii). 部分分式法：
417
8)41(2)(--+
=--=z z z z z z z X 则 14117
84
178)(---=-
-=z z z z X 因为 4
1
<z 则)(n x 是左边序列
所以 )1()4
1
(7)(8)(--+=n u n n x n δ
(3)(i). 长除法： 因为极点为a
z 1
=
，由a z 1>可知,)(n x 为
因果序列, 因而要按 z 的降幂排列: •••+-+-+-
--221)1
(1)1(11z a a a
z a a a a a
z a z az 11-
-+-
1
)1(1)1()
1(--+----z
a
a a a a a
a
•
•••••----+-
---2211)1
(1)1(1
)1(1z a a a
z a a a
z a
a a 则∑∞=-⋅⎪⎭⎫
⎝⎛-+-=11)1(1)(n n n
z a a a a z X
所以
)1(1)1()(1)(-⋅⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅-+⋅-=n u a a a n a n x n
δ
(3)(ii). 留数定理法:
a
z dz z z X j n x c n 1 c )(21)(1>=
⎰
-为，设π 内的逆时针方向闭合曲线。

[]
[]
[])
1(1)1()(1)( 0)( )( 01 1 )(Re )(Re )0(1
,0 c )( 0 )
0(,1)1( 11 )(Re )( 1
)( 0 0
111111111
-⋅⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⋅-==<-=--
=+==
==>⎪⎭⎫
⎝⎛⋅-=⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅-
--===>=------===n u a a a n a n x n x n x n a
a a a z z X s z z X s x a
z z z z X n n a a a z a z a z a z z X s n x a
z c z z X n n
n n n n
n n n z a
z a
z a
z δ所以。

此时是因果序列，时：由于当两个单极点内有在时：当一个单极点
内有在时：
当
(3)(iii). 部分分式法：
az
a z a az z a z z z X --+-=--=11)1()(2
则1
111
)1()(--⋅-+-=z a
a a a z X
所以
)(1)1()()()(n u a a a n a n x n
⋅⎪⎭⎫
⎝⎛⋅-+⋅-=δ
)1(1)1()(1-⋅⎪⎭⎫
⎝⎛⋅-+⋅-=n u a a a n a n
δ
(4)
1()
4
1111()()
35
3
5
z X z A B z
z z z z -==+
----
A=5/8, B=3/8
5
3()118
8
35
5131
()()(1)()()
8385
n n z z X z z z x n u n u n =
+--=---+
5．对因果序列,初值定理是
)
(lim )0(z X x z ∞
→=,如果序列为 0>n 时0)(=n x ,问相应的
定理是什么? 讨论一个序列x(n)，其z 变换为：
() (0) X z x 的收敛域包括单位圆，试求其值。

分析：
这道题讨论如何由双边序列Z 变换)(z X 来求序列初值)0(x ，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，[它们各自由)(z X 求)0(x 表达式是不同的]，将它们各自的)0(x 相加即得所求。

)
0()(lim )2()1()0( )()(:
,0)(,00
20
x z X z x z x x z
n x z X n x n z n n
=+-+-+==
=>→--∞
=-•
••∑所以此时有：有时当序列满足解：
若序列)(n x 的Z 变换为：
2
11
2
5
12419127)(---+--=
z z z z X
2
1
,2 )()()(2
1 3
2 4 )
21)(2(24191272512419127)(21212211=
=∴+=-+-=---=+--=---z z z X z X z X z z z z z z z z z z z z X 的极点为）
（）
（
由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆,则其收敛域应该为：
22
1
<<z 31
)0()0()0(3
1
213lim )(lim )0(024lim
)(lim )0( )( 0 )( 2122010121=
+=∴=
-===-==≤∞→∞→→→x x x z z z X x z z
z X x n x n n x z z z z ）
（）
（为因果序列：
时为有值左边序列，为则
6.有一信号)(n y ，它与另两个信号)(1n x 和)(2n x 的关系是:
)1()3()(21--*+=n x n x n y ，其中)(21)(1n u n x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=，)(31)(2n u n x n
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=，已知1
11
)]([--=az
n u a Z n ，a z >，利用z 变换性质求y(n)的z 变换Y(z)。

解：
)z 3)(2
1-(z 3z )z 311)(21-(z z 3112111)]1n (x [3 13 3
3
11)()1(31 3
111)()(21 2
111)()3(3
111)()( 2111)()(5
513212112211221
31311
22111-=
-=-⋅-⋅
=--⋅+=--+=<-=−→←-->
-=−→←->
-⋅=−→←+⇒-=−→←-=
−→←-------z
z
z z Z )](n Z[x Y(z))
n ()*x (n x y(n)z z
z z zX n x z z
z X n x z z z z X z n x z z X n x z z X n x Z
Z
Z
Z
Z 所以而
8. 若)(),(21n x n x 是因果稳定序列，求证：
⎰⎰⎰-
-
-
=π
πω
π
π
ωπ
π
ωωωπ
ωπ
ωπ
})(21}{
)(21{
)()(212121d e
X
d e X d e X e X j j j j
分析：
利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解
ωπ
ωωπ
π
ωd e e X e X n x n x n j j j )()(21)(*)(2121⎰
-=
，
而 )()(21 )
0()0(0
)
(*)( 212121ωπ
ωπ
π
ωd e X e X x x n n x n x j j ⎰-
=
==
再利用)()(21n x n x 、的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。

证明:
⎰-
∴⋅=∴⋅=*=π
π
ωωωωωωω
π
d e e X e X e X e X e Y z X z X z Y n x n x n y n j j j j j j )()(21
)()()( )()()( )()()( 21212121则设
)
()()()(2121n x n x n y d e e Y n j j *===⎰-ππ
ωωωπ
)
0()0( )()( |)()( )()(21
210
0210
2121x x k n x k x n x n x d e X e X n n k n j j ⋅=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=*=∴===-∑
⎰
π
π
ωωωπ ⎰⎰-
-
=
=
••
•
π
π
ωωπ
π
ωωω
π
ωπd e e X n x d e e X n x n j j n j j )(21
)( )(21)(2211
∴⎰-=
ππω
ωπd e X x j )(21)0(11 ⎰-=π
π
ωωπd e X x j )(21)0(22
⎰⎰⎰---=∴
ππ
ωππωππω
ωωπωπωπ})(21
}{)(21{)()(212121d e X d e X d e X e X j j j j 10. 分析：
利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式。

)()(212
2
∑
⎰∞
-∞
=-=
n j n x d e
x ωπ
π
π
ω
解：
π
πω
ωπ
πω
π
πω
4 )0( 2 )()(
)(6
)()()( )(000
===
==
=⎰⎰∑∑-
-
∞
-∞
=∞
-∞
=⋅-x d e e
X d e
X b n x e
n x e X a j j j n n n
j j
)(c 由帕塞瓦尔公式可得：
∑⎰∞
-
-∞
==n n x d e
X j 2
2
)
(2)(π
ωπ
π
ω
π28=
)(d ∵∑∞
--∞
==
n n
j j e n x e X ωω
)()(
∴
∑
∞
--∞
=-=n n j j e n x jn d e dX ωωω)()()
( 即[]ω
ωd e dX n x jn DTFT j )
()()(=-
由帕塞瓦尔公式可得：
π
ππ
πωωπ
π
ω316)490256491019(2)
(2|)()(|2)
(22
2
2
=++++++++==-=∑∑
⎰∞
∞
-
-∞
=-∞
=n n n x n n x jn d d e dX j
13. 研究一个输入为)(n x 和输出为)(n y 的时域线性离散移不变系统，已知它满足 )()1()(3
10
)1(n x n y n y n y =++-- 并已知系统是稳定的。

试求其单位抽样响应。

分析：
在Z 变换域中求出()()/()H z Y z X z =，然后和题12（c ）一样分解成部分分式分别 求Z 反变换。

解：
对给定的差分方程两边作Z 变换，得：
1110
()()()()3
()1() 101()
(3)()
33
z Y z Y z zY z X z Y z z H z X z z z z z ---
+====-+--则： 3
1
,3 21==z z 极点为，
为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故为1/3<│z │<3 即可求得
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛+---=)(31)1(383)(n u n u n h n
n
14.研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统。

利用方程的零极点图，试求系统单位抽样响应的三种可能选择方案。

)
()1()(2
5
)1(n x n y n y n y =++--
解 :
对题中给定的差分方程的两边 作Z 变 换，得：
)
()()(25
)(1
z X z zY z Y z Y z =+--
因此
)()
()(z X z Y z H =
z z +-=-2
51
1
)
21
)(2(--=
z z z
其零点为
0=z
极点为 21=z ,2
12
=
z
因为该系统不限定为因果，稳定系统,所以其收敛域情况有三种，分别如左图所示。

收敛域情况有： 零极点图一：
2
>z
零极点图二：
221
<<z
零极点图三：2
1
<
z
注：如果想要参看具体题解，请先选择方案，然后单击 解答 按键即可。

(1) 按12题结果(此处z1=2, z2=1/2), 可知当收敛区域为
2
>z ,则系统是非稳定的，但是因果的。

其单位抽样响应为：
)()(1)(212
1n u z z z z n h n
n --=
)()22(32n u n n
--=
(2) 同样按12题，当收敛区域为2
21
<<z ，则系统是稳定的但是非因果的。

其单位抽样响应为：
[]
)
()1(1)(211
2n u z n u z z z n h n
n +---=
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛+---=)(21)1(232n u n u n
n
|)||||(|12z z z <<
(其中 21=z 212=
z )
(3) 类似 , 当收敛区域为21
<
z 时，则统是非稳定的，又是非因果的。

其单位抽样响应为：
[]
)
1()1(1)(211
2------=
n u z n u z z z n h n
n
)
1()22(32
----=-n u n n
(其中
21
,221=
=z z )
第三章 离散傅立叶变换
1.如下图，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。

∑∑=-===
5
6265
0)(~)(~
)(X ~
:n nk j
nk n e
n x W n x k π解 k
j k j k j k
j k
j e e e e e 56
246
236
22626
21068101214πππππ-----+++++=
计算求得:。

339)5(~; 33)4(~ ; 0)3(~; 33)2(~
;339)1(~;60)0(~j X j X X j X j X X +=-==+=-==。

并作图表示试求设)(~),(~)(~ .
))(()(~),()(.264k X n x k X n x n x n R n x == ∑
∑
=-==
=
5
6265
)(~)(~)(~
:n nk
j nk
n e n x W n x k X π解
k j k
j k j e e e πππ---+++=3
231。

计算求得： 3)5(~
; 1)4(~ ; 0)3(~ ;
1)2(~
; 3)1(~ ; 4)0(~j X X X X j X X ====-==
4641,04
3.(),()(2),
()(()),
()(()),
0()() n n x n h n R n x n x n h n h n n x n h n +≤≤⎧==-==⎨⎩设令，其它试求与的周期卷积并作图。

解：在一个周期内的计算值
4.分析：此题需注意周期延拓的数值，如果N 比序列的点数多，则需补零；如果
N 比序列的点数少，则需将序列按N 为周期进行周期延拓，混叠相加形成新序列。

先周期延拓再翻褶、移位 x((-n))5为周期序列{1,0,2,3,1} x((n))6为周期序列{1, 1,3,2,0,0}
x((-n))6R 6(n)为6点有限长序列{1,0,0,2,3,1} x((n))3R 3(n)为3点有限长序列{3,1,3}
x((n-3))5R 5(n)为5点有限长序列{3,2,0,1,1} x((n))7R 7(n)为7点有限长序列{1, 1,3,2,0,0,0} 8. 解：（1）x(n)*x(n)=
4
()()m x m x n m =-∑
x(m)
~()x n m -
n
1 0
2 1
3 0 0 y(n) 0 1 1 1 0 1 0 2 2 0 1
4 3 1 2 0 1 2 4 3 1 2 0 1 10
5 0 3 1 2 0 1 4
6 0 0 3 1 2 0 1 13
7 0 0 0 3 1 2 0 6 8
3
1
2
9
)(~)(~*)(~)(~m n h n h n x n y -==)
(~)(~*)(~)(~m n h n h n x n y -==
(2) x(n)⑤x(n)=4
()(())()550
x m x n m R n m -∑=
(3) (3)x(n)⑩x(n) 与线性卷积结果相同，后面补一个零。

10. ⎩⎨⎧≤≤≤≤+=6n 4 ,03n 0
,1)(n n x ，1, 04()1, 56n y n n -≤≤⎧=⎨≤≤⎩，求f(n)=x(n)⑦y(n)。

解： f(n)=x(n)⑦y(n)=)())(()(76
07n R m n y m x m ∑=-
第四章 快速傅立叶变换
运算需要多少时间。

计算需要多少时间，用，问直拉点的，用它来计算每次复加速度为平均每次复乘需如果一台通用计算机的FFT DFT[x(n)]512s 5 s 50.1μμ 解: 解: ⑴ 直接计算: 复乘所需时间:
复加所需时间:
⑵用FFT 计算: 复乘所需时间:
复加所需时间:
3.
s
N T N 01152.0512log 105log 105 225126
2261=⨯⨯⨯=⨯⨯=--s T T T s N N T 013824.0 002304.0512log 512105.0log 105.0 2126262=+=∴=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=--s T T T s
N N T 441536.1 130816.0)1512(512105.0)1(105.0 21662=+=∴=-⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=--s N T 31072.1 512105 105 26261=⨯⨯=⨯⨯=--
运算量：复数乘法次数（乘±1、±j 不计算在内，要减去系数为±1、±j 的，
即0/4,N W W N N
），即8*4-（1+2+4+8）-（1+2+4）=10 复数加法次数为64次
第五章 数字滤波器的基本结构
1.用直接I 型及典范型结构实现以下系统函数
2
12
14.06.028.02.43)(-----+++=z z z z z H
分析：①注意系统函数H(z)分母的 0
z 项的系数应该化简为1。

②分母)
, 2 , 1( •
•••••=-i z i 的系数取负号，即为反馈链的系数。

解：
2
1212.03.014.01.25.1)(-----+++=z
z z z z H )2.03.0(14.01.25.12121----+--++=z z z z ∵)
()
(1)(1
z X z Y z a z
b z H N
n n
n M
m m
n
=
-=
∑∑=-=- ∴3.01-=a ，2.02=a
5.10=b ，1.21=b ，4.02=b
2.用级联型结构实现以下系统函数)
8.09.0)(5.0()
14.1)(1(4)(2
2++-+-+=z z z z z z z H 试问一共能构成几种级联型网络。

分析：用二阶基本节的级联来表达（某些节可能是一阶的）。

解： ∏------++=k k k k k z z
z z A z H 2
211221111)(ααββ )
8.09.01)(5.01()
4.11)(1(42
11211------++-+-+=z z z z z z ∴ 4=A
8
.0 ,
9.0 , 0,
5.0 1
,
4.1 , 0 ,1 2212211122122111-=-====-===ααααββββ
由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式，则有四种实现形式。

4．用横截型结构实现以下系统函数：
()()()1111116112161211)(------⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z z z z z z H
分析：FIR 滤波器的横截型又称横向型，也就是直接型。

111111*********
211234
5
11
()(1)(16)(12)(1)(1)2611
(12)(16)(1)26537 (1)(1)(1)
2682052058 1312123H z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ----------------------=-
+-⨯+-=--+⨯+++-=-+⨯++-=+-+--解：
7．设某FIR 数字滤波器的系统函数为：)3531(5
1
)(4321----++++=z z z z z H
试画出此滤波器的线性相位结构。

分析：FIR 线性相位滤波器满足)1()(n N h n h --±=，即对2/)1(-=N n 呈现偶对
称或奇对称，因而可简化结构。

解：由题中所给条件可知：由题中所给条件可知：
)
4(5
1
)3(53 )
2()1(5
3
)(51)(-+-+-+-+=n n n n n n h δδδδδ。

为奇数，处偶对称，对称中心在即则 )5( 22
1
)(1
)2( 6
.05
3
)3()1( 2.051
)4()0( ==-=======
=N N N n n h h h h h h
第六章 无限长单位冲激响应（IIR ）数字滤波器的设计方法 1.用冲激响应不变法将以下
)(s H a 变换为
)(z H ，抽样周期为T。

为任意正整数 ,)()( )2()()( )1(02
2n s s A
s H b a s a s s H n
a a -=+++=
分析：
①冲激响应不变法满足)()
()(nT h t h n h a nT
t a ===，
T 为抽样间隔。

这种变换法必须)(s H a 先用部分分式展开。

②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式
1
!
][+=
n n S
n t L , n a n t s a S S A
s H t u n t Ae t h )
()()()!1()(010-=⇔-=-，
可求出 )()()(kT Th t Th k h a kT t a ===，
又 dz
z dX z
k kx )
()(-⇔
，则可递推求解。

解: (1)
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++
++=+++=
jb a s jb a s b a s a s s H a 1
121 )()(2
2
[]
)( 2
1)()()(t u e e t h t jb a t
jb a a --+-+=
由冲激响应不变法可得：
[]
)( 2
)
()()()(n u e e T nT Th n h nT jb a nT
jb a a --+-+=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-==-----∞
=-∑11
11112 )( )(z e e z e e T z n h z H jbT aT jbT aT n n
2211cos 21cos 1 ------+--⋅=z
e bT z e bT z e T aT aT aT
(2) 先引用拉氏变换的结论[]
1
!+=
n n s n t L 可得： n
a s s A
s H )()(0-=
)()!
1()(1
0t u n t Ae t h n t s a -=-则
)()!
1()()()(1
0k u n kT Ae T Tk Th k h n kT s a -⋅==-
dz
z dX z
k kx az
k u a Z
Z
k )()( , 11
)( 1
-−→←-−→
←-且按
)11
()()!1( )()!1( )()(111
1110
00--∞=---∞
=----=-==
∑∑
z
e dz d z n AT e z k n T TA z k h z H T s n n k k
T s n n k k
可得
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
=-=-=•
••---,3,2)
1(1,1)(11
1
000n z e z e AT n z e AT z H n T s T S n T s ，可以递推求得：
3．设有一模拟滤波器 1
1
)(2
++=
s s s H a 抽样周期T = 2，试用双
线性变换法将它转变为数字系统函数)(z H 。

分析：
双线性变换法将模拟系统函数的S 平面和离散的系统函数的Z 平面之间是一一对应的
关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为1
1
11--+-=z
z c s 。

解：
由变换公式 1
1
11--+-⋅=z z c s 及 T
c 2= 可得： T = 2时：
1
1
11--+-=z z s
1
111|
)()(--+-=
=∴z z s a s H z H
111111
11
2
11
+⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=
----z z z z
2
213)1(--++=z
z。