最新专题：平面向量常见题型与解题指导
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x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b
=7a·b－2a2－3b2=7× －2－3=－ ，
又∵x·y=|x||y|cosθ，即－ = × cosθ，∴cosθ=－
点评：①本题利用模的性质|a|2=a2，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设 =b, =a, =2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义，得 = － =2a－b.由余弦定理易得| |= ，即|x|= ，同理可得|y|= .
3、热点分析
对本章内容的考查主要分以下三类：
1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.
2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.
3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝ t3－ t.
法二：∵a＝( ，－1)，b＝( , ),∴. ＝2， ＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x·y＝0，即－k 2＋t(t2－3) 2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝ t3－ t
思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？
解：（1）法一：由题意知x＝( , ),
y＝( t－ k， t＋k)，又x⊥y
故x·y＝ ×（ t－ k）＋ ×( t＋k)＝0.
在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。
（法二）利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x＋2y－5=0，
例2．已知平面向量a＝( ，－1)，b＝( , ).(1)若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b,y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；(2)根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间.
题型二：向量共线与垂直条件的考查
例1．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)，若点C满足 ，其中 ， ∈R且 + =1，求点C的轨迹方程。.
解：（法一）设C(x,y)，则 =(x,y)，由 =(x,y)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α-β,α+3β)
∴ ,（可从中解出α、β）又∵α+β＝1消去α、β得x+2y-5=0
4、复习建议
由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα= .
要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值.
∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4× +1=3，
|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6× +1=7.
点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.
例2：已知|a|=1,|b|=1，a与b的夹角为60°,x=2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少？
思路分析：要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值.计算时要注意计算的准确性.
在解决解斜三角形问题时百度文库一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。
二、常见题型分类
题型一：向量的有关概念与运算
此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.
平面向量常见题型与解题指导
一、考点回顾
1、本章框图
2、高考要求
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b= (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是.
思路分析：与a平行的单位向量e=±
方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1)，则题意可知
，故填( ,- )或( ,- )
方法二与向量b= (-3,4)平行的单位向量是± (-3,4)，故可得a＝±(- , )，从而向量a的终点坐标是(x,y)=a－(3,－1),便可得结果.
=7a·b－2a2－3b2=7× －2－3=－ ，
又∵x·y=|x||y|cosθ，即－ = × cosθ，∴cosθ=－
点评：①本题利用模的性质|a|2=a2，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设 =b, =a, =2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义，得 = － =2a－b.由余弦定理易得| |= ，即|x|= ，同理可得|y|= .
3、热点分析
对本章内容的考查主要分以下三类：
1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.
2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.
3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝ t3－ t.
法二：∵a＝( ，－1)，b＝( , ),∴. ＝2， ＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x·y＝0，即－k 2＋t(t2－3) 2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝ t3－ t
思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？
解：（1）法一：由题意知x＝( , ),
y＝( t－ k， t＋k)，又x⊥y
故x·y＝ ×（ t－ k）＋ ×( t＋k)＝0.
在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。
（法二）利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x＋2y－5=0，
例2．已知平面向量a＝( ，－1)，b＝( , ).(1)若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b,y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；(2)根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间.
题型二：向量共线与垂直条件的考查
例1．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)，若点C满足 ，其中 ， ∈R且 + =1，求点C的轨迹方程。.
解：（法一）设C(x,y)，则 =(x,y)，由 =(x,y)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α-β,α+3β)
∴ ,（可从中解出α、β）又∵α+β＝1消去α、β得x+2y-5=0
4、复习建议
由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα= .
要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值.
∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4× +1=3，
|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6× +1=7.
点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.
例2：已知|a|=1,|b|=1，a与b的夹角为60°,x=2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少？
思路分析：要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值.计算时要注意计算的准确性.
在解决解斜三角形问题时百度文库一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。
二、常见题型分类
题型一：向量的有关概念与运算
此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.
平面向量常见题型与解题指导
一、考点回顾
1、本章框图
2、高考要求
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b= (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是.
思路分析：与a平行的单位向量e=±
方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1)，则题意可知
，故填( ,- )或( ,- )
方法二与向量b= (-3,4)平行的单位向量是± (-3,4)，故可得a＝±(- , )，从而向量a的终点坐标是(x,y)=a－(3,－1),便可得结果.