材料物理基础习题解答1608

6 8
a
3 a 2
2 a 2
126Βιβλιοθήκη 2aa面心立方
12
6
a
1.2.2 如果等体积的刚球分别排成下列结构，设填充率 x 为原子刚球所占体积与 总体积比，证明： 填充率 x 结构 填充率 x 结构 简单立方

6
0.52
六方密排
2 0.74 6 3 0.34 16
体心立方
3 0.68 8 2 0.74 6
1.2.3 如果定义面密度是指单位面积上的等效原子数，设立方体边长为 a，对于 体心立方结构，求面密度最大的面，并求该面的面密度。对于面心立方结构， 求面密度最大的面，并求该面的面密度。 解：很容易看出，体心立方晶格(110)晶面系的格点面密度最大，可以求出此面 密度为 a 2 2 n 2 2a 2 a 2a 面心立方晶格(111)晶面系 图 1.2.3.1 体心立方的密排面
可见简单立方晶格的填隙率是比较低的， 几乎没有单一元素的晶体结构为简 单立方结构。 2. 体心立方结构 体心立方结构如图 1.2.2.2 所示，由于原子球要紧密排列，立方体体对角线 上的原子相切，立方体边长 a 与原子球半径 r 之间满足：
3a 4r 即 r
3 a 4
与简单立方不同，体心立方体单元含有两个原子
1 AE 2 AH 2 a 2 a 2 3 2 a 3
3 2 3 a ， AH AF a 2 3 3
EH
图 1.2.4.1 密排六方结构
密排六方晶体结构单元的高 c 是正四面体高 EH 的两倍。 得到 c 2 EH
8 a ，即 c a 8 3 1.633 3
4 3 2 4 3 a 2 r 3 4 3 0.68 3 所以体心立方的填充率 x 8 a3 a3
3
3 面心立方晶格
图 1.2.2.2 体心立方晶胞
面心立方结构如图 1.2.2.3 所示，面心立方晶格中，立方体面对角线上的原 子相切，因此立方体边长 a 与原子球半径 r 之间满足：
3
4. 六方密排 密排六方晶格中，六边形边上两个原子相切，因此六边形边长 a 与原子球半 径 r 之间满足：a=2r。考虑到图 1.2.2.4 中原子 O、A、B、E 相互接触，形成正 四面体，正四面体的边长等于六边形的边长。找到等边三角形 OAB 的中心 H， 连接 AH 并延长，与 OB 相交与 F，连接 EH。
5
的格点面密度最大，可以求出此面密度为
n
2 3 ( 2a ) 2 4

4 3 3a 2
2a
图 1.2.3.2 面心立方的密排面
1.2.4 证明六方密排结构中，晶格常数之比， c a 8 3 1.633 。 证明：密排六方晶格中，六边形边上两个原子相切，因此六边形边长 a 与原子球 半径 r 之间满足：a=2r。考虑到图 1.2.4.1 中原子 O、A、B、E 相互接触，形成 正四面体，正四面体的边长等于六边形的边长。找到等边三角形 OAB 的中心 H， 连接 AH 并延长，与 OB 相交与 F，连接 EH。 由于 ΔOAB 是等边三角形， AF
相变时金属的质量不变，密度维持不变，根据 m 变。即，V0=V1
N 3 2N 3 a0 a 2 2
1 6 1 6 a a0 0.423 0.377 nm 2 2 c 8 3a 8 3 0.377 =0.616nm
1 1
1.2.6 如将布拉菲格子的格点位置在直角坐标系中用一组数表示(n1,n2,n3)，证明 (1) 对于体心立方格子，ni 全部为奇数或者偶数。 (2) 对于面心立方格子，ni 的和(n1+n2+n3)为偶数。 证明： (1) 体心立方晶格的正格子基矢为： a a a a1 = (－i＋j＋k), a2 = (i－j＋k), a3 = (i＋j－k), 2 2 2 体心立方格子的任意一个格点可以写为： a a a Rl l1a1 l 2 a 2 l3 a l1 (i j k ) l 2 (i j k ) l3 (i j k ) 2 2 2 a [(l1 l 2 l3 )i (l1 l 2 l3 ) j (l1 l 2 l3 )k ] 2 a a a (l1 l 2 l3 ) i (l1 l 2 l3 ) j (l1 l 2 l3 ) k 2 2 2 a a a n1 i n2 j n3 k 2 2 2 如果将体心立方格子的格点位置在直角坐标系中用一组数表示(n1,n2,n3) 有 n1 l1 l2 l3 ， n2 l1 l 2 l3 ， n3 l1 l 2 l3 由于 n1+n2=2l3，为偶数；n1+n3=2l2，为偶数；n2+n3=2l1，为偶数 所以 n1，n2，n3 两两和为偶数，n1，n2，n3 必为全奇数或者全偶数。 (2) 面心立方晶格的正格子基矢为：
目 录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 晶格结构········································································································1 金属自由电子费米气体模型······································································26 能带论··········································································································46 电子在电磁场中的运动··············································································62 晶格振动与晶格热性质··············································································84 晶体结合····································································································105
6
六方密堆积结构时，晶胞体积 Ω1 6 将 c a 8 3 ，代入有 Ω1
3 2 3 3 2 a c a c 4 2
3 3 2 8 a a 3 2a 3 2 3
六方密堆积晶格每个晶胞含 6 个原子，设晶体有 N 个原子，则晶体晶胞数 为 N/6。晶体中体积为 V1
N 2N 3 3 2a 3 a 6 2 m ，相变时金属体积不 V
金刚石
面心立方 证明：1. 简单立方
图 1.2.2.1 简单立方结构晶胞
2
设原子半径为 r，立方体单元的边长为 a，可以计算简单立方晶格的填充率。 由图 1.2.2.1，立方体棱边上两个原子球相切，可以得到 a 与 r 之间的关系：
a=2r，由于简单立方的晶胞仅含一个原子
4 4 1 r 3 1 r 3 所以简单立方的填充率 x 33 3 3 0.52 ( 2r ) 6 a
2 a 4r 即 r
2 a 4
面心立方结构中，立方体单元含有四个原子
3
(a)
(b)
图 1.2.2.3 面心立方结构示意图 (a) 俯视图, (b) 侧视图, (c)晶胞, (d)晶胞
(c)
4 2 4 4 r 3 4 3 4 a 2 0.74 。 3 所以面心立方的填充率 x 3 3 6 a a
1.2.5 金属 Na 在 273K 因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构。 设相变 时金属的密度维持不变，设立方相的晶格常数 a0=0.423nm，设六角密堆积结构 相的 c a 8 3 1.633 ，求其晶格常数。
3 解：体心立方时，晶胞体积 Ω0 a0 。
体心立方晶格每个晶胞含 2 个原子，设晶体有 N 个原子，则晶体晶胞数为 N 3 N/2。晶体中体积为 V0 a0 2
密排六方结构的晶胞(六棱柱单元)含有 6 个原子，因此
4 1 4 6 a 6 r 3 3 2 3 填充率 x 3 2 3 2 8 a c 6 a a 6 4 4 3
5 金刚石结构
3
2 0.74 6
可见密排六方结构与面心立方结构原子的填充率相等。 金刚石结构如图 1.2.2.5 所示，设金刚石结构单元的立方体长度为 a，原子球 半径为 r，由于金刚石结构体对角线 1/4 长度上两个原子球相切，于是可以得到
0
第一章 晶格结构 一 概念题 1.1.1 什么是晶格？什么是布拉菲格子？什么是配位数？ 晶体中原子排列的具体形式称为晶格。布拉菲格子是矢量 Rl=l1a1+l2a2+l3a3 全部端点的集合，其中 l1, l2, l3 为整数。a1,a2,a3 为原胞基矢。配位数是指一个原 子周围最近邻原子的数目。 1.1.2 什么是原胞？什么是 WS 原胞？什么是晶胞？ 原胞是晶格最小周期性单元。以晶格中某一格点为中心，作其与所有格点的 垂直平分面， 这些垂直平分面所围成的以该点为中心的最小体积单元是该格点的 WS 原胞。 能完整反映晶体内部原子或离子在三维空间分布之化学-结构特征的单 元，其中既能够保持晶体结构的对称性而体积又最小的单位称为晶胞。 1.1.3 什么是基元？什么是原胞基矢？ 每一个格点所代表的物理实体定义为基元。原胞的边矢量就是原胞基矢。 1.1.4 什么是倒格子？ 对布拉菲格子中所有格矢 Rl，满足 Gh·Rl=2nπ 的全部 Gh 的集合，构成该布 拉菲格子的倒格子。 1.1.5 什么是群？什么是点群？什么是晶体空间群？ 定义： 有限或则无限个数学对象(称为元素)E， A1， A2， A3， A4…的集合 G≡{ E、 A1，A2，A3，A4，…… }，其中有一个与次序有关的运算方法，能从集合中任意 两个元 Ai，Aj，得出确定的元 Ak，记为 Ai Aj =Ak。若满足下列四个条件，则这一 集合称为群，集合中的元素称为群元。 1 封闭性：任意两个群元的乘积(包括自身相乘)，都在此集合内。即 任意 Ai , A j G, 则 Ai A j Ak G
图 1.2.2.4 密排六方结构
由于 ΔOAB 是等边三角形， AF
1 AE 2 AH 2 a 2 a 2 3
3 2 3 a ， AH AF a 2 3 3
2 a 3
EH
密排六方晶体结构单元的高 c 是正四面体高 EH 的两倍。
4
得到 c 2 EH
8 a ，即 c a 8 3 1.633 3
1
性。非晶体则类似液体，不具备长程有序性。准晶具有取向序性而不具备平移对 称性。 1.1.8 什么是布拉格平面？ 在 k 空间中，连接原点和某一倒格矢的垂直平分面称为布拉格平面。 1.1.9 什么是几何消光？ 如果基元中原子的相对位置恰好能使某些晶面的几何结构因子为零， 那么相 应晶面的衍射峰消失，这称为几何消光。 二 计算题和证明题 1.2.1 写成简单立方、体心立方和面心立方结构的金属中，最近邻和次近邻的原 子数，若立方体的边长为 a，写出最近邻和次近邻原子间距。 最近邻原子间 次近邻原子间 结构 最近邻原子数 次近邻原子数 距 距 简单立方 体心立方
a 与 r 的关系为：
3 3 a 2r ，即 r a。 4 8
一个金刚石结构单元含 8 个原子，于是可以计算出金刚石结构的填隙率。
4 3 8 4 3 a 8 r 3 8 3 0.34 3 x a3 a3 16
3
图 1.2.2.5 金刚石结构
2 单位元的存在：集合中存在单位元，使集合中的任意元 A，有 EAi=AiE=A 3 逆元的存在：集合中的每一个元 Ai 有逆元 Ai–1，满足 Ai–1Ai=Ai Ai–1= E 4 结合律成立：元素间“乘法”满足 Ai (Aj Ak)=( Ai Aj) Ak 点群即点对称群，由旋转操作、镜面反映、中心反演、旋转反演和旋转镜面 等点对称操作构成群称为点群。 满足晶格要求的转动平移算符构成的群称为晶体空间群，常常简称空间群。 1.1.6 有哪 7 个晶系？有哪 14 种布拉菲格子？ 七个晶系：三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、六角晶系、 立方晶系。 十四种不拉菲格子：简单三斜、简单单斜、底心单斜、简单正交、底心正交、体 心正交、面心正交、简单三角、简单四方、体心四方、简单六角、简单立方、体 心立方、面心立方。 1.1.7 晶体、非晶体和准晶体的差异在哪里？ 晶体中的原子在较长的尺度范围内原子的排列十分有规则，具有长程有序